學必求其心得，業必貴于專精課時分層作業（二十一）簡單線性規劃(建議用時：60分鐘）一、選擇題1．不等式組錯誤!表示的平面地域是(）A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形[不等式組錯誤!?錯誤!或錯誤!那么利用不等式表示的地域可知，獲取的地域為三角形，應選B．］2．若x，y∈R，且錯誤!則z＝x＋2y的最小值等于( )A．2B．3C．5D．9［可行域如圖陰影部分所示，則當直線x＋2y－z＝0經過點M(1，1）時，z＝x＋2y獲取最小值，為1＋2＝3．]3．在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組錯誤!所表示的地域上一動點，則直線OM斜率的最小值為（)A．2B．1-1-學必求其心得，業必貴于專精C．－錯誤!D．－錯誤![以下列圖,錯誤!所表示的平面地域為圖中的陰影部分．由錯誤!得A（3,－1）．當M點與A重合時，OM的斜率最小,kOM＝－錯誤!．]4．在平面直角坐標系中，若不等式組錯誤!表示一個三角形地域，則實數k的取值范圍是( )A．（－∞，－1）B．(－1,2）C．（－∞，－1）∪(2，＋∞)．（2，＋∞)［作出不等組錯誤!表示的平面地域，如圖中陰影部分所示，注意到直線y＝k(x－1)－1恒過點A（1,－1)，要使題中不等式組表示的地域為三角形地域，第一必定使k<0(由于若k≥0，則不可以能獲取三角形地域），爾后考慮兩臨界狀態,即圖中的直線l1與l2，易-2-學必求其心得，業必貴于專精得k的取值范圍是(－∞,－1）．]y≥0，5．實數x,y滿足不等式組x－y≥0，則W＝錯誤!｛2x－y－2≥0，的取值范圍是（)A．錯誤!B．錯誤!C．錯誤!D．錯誤!D[畫出題中不等式組所表示的可行域以下列圖，目標函數W＝錯誤!表示陰影部分的點與定點A(－1,1)的連線的斜率，由圖可知點A(－1，1)與點(1,0)連線的斜率為最小值，最大值趨近于1,但永遠達不到1，故－錯誤!≤W<1．]二、填空題6．如圖中陰影部分的點滿足不等式組錯誤!在這些點中,使目標函數z＝6x＋8y獲取最大值的點的坐標是．-3-學必求其心得，業必貴于專精(0,5）［第一作出直線6x＋8y＝0，爾后平移直線，當直線經過平面地域內的點（0，5）時截距最大,此時z最大．]7．設x，y滿足拘束條件錯誤!則z＝2x＋3y－5的最小值為．－10［作出不等式組表示的平面地域，如圖中陰影部分所示，由圖知當z＝2x＋3y－5經過點A(－1,－1）時，z獲取最小值,zmin＝2×(－1）＋3×（－1)－5＝－10．］8．已知實數x，y滿足錯誤!則x2＋y2的取值范圍是．錯誤![不等式組所表示的平面地域是以點(0，2),(1,0），(2，3)為頂點的三角形及其內部，以下列圖．由于原點到直線2x＋y－2＝0的距離為錯誤!，所以（x2＋y2）min＝錯誤!，又當(x，y)取點（2,3)時，x2＋y2獲取最大值13，故x2＋y2的取值范圍是錯誤!．-4-學必求其心得，業必貴于專精]三、解答題9．已知f(x）＝（3a－1）x＋b－a,x∈［0，1]，若f（x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．[解］由于f(x)≤1在［0，1]上恒成立,所以錯誤!即錯誤!將a，b對應為平面aOb上的點(a，b），則其表示的平面區域以下列圖，其中A錯誤!，求a＋b的最大值轉變成在拘束條件下，目標函數z＝a＋b的最值的線性規劃問題，作直線a＋b＝0，并且平移使它經過可行域內的A點，此時z＝a＋b獲取的最大值為錯誤!．10．若實數x,y滿足錯誤!求：（1）z＝2x＋y的最小值;（2)z＝x2＋y2的取值范圍；-5-學必求其心得，業必貴于專精(3）z＝錯誤!的最大值．［解]作出滿足已知條件的可行域為△ABC內（及界線）地域，以下列圖,其中A（1，2),B(2,1），C(3，4）．1）目標函數z＝2x＋y,表示直線l:y＝－2x＋z，z表示該直線的縱截距，當l過點A時縱截距有最小值，故zmin＝4．2）目標函數z＝x2＋y2表示地域內的點到坐標系原點的距離的平方,又原點O到AB的距離d＝錯誤!＝錯誤!,且垂足D錯誤!,錯誤!在線段AB上，故OD2≤z≤OC2,即z∈錯誤!，25．(3)目標函數z＝錯誤!＋1，記k＝錯誤!．則k表示地域中的點與坐標原點連線的斜率，當直線過點A時，斜率最大，則kmax＝2，即zmax＝錯誤!max＝3．1．已知x,y滿足錯誤!目標函數z＝2x＋y的最大值為7，最小值為1，則b，c的值分別為( )A．－1，4B．－1,－3C．－2，－1D．－1,－2-6-學必求其心得，業必貴于專精［由題意知，直線x＋by＋c＝0經過直線2x＋y＝7與直線xy＝4的交點，且經過直線2x＋y＝1和直線x＝1的交點，即經過點（3,1)和點（1，－1)，∴錯誤!解得錯誤!］2．已知x，y滿足拘束條件錯誤!使z＝x＋ay（a〉0)獲取最小值的最優解有無數個，則a的值為（)A．－3B．3C．－1D．1[如圖，作出可行域，作直線l:x＋ay＝0，要使目標函數z＝xay(a>0)獲取最小值的最優解有無數個,則將l向右上方平移后與直線x＋y＝5重合，故a＝1，選D．]3．已知平面直角坐標系xOy上的地域D由不等式組錯誤!給定．若M（x，y)為D上的動點，點A的坐標為（錯誤!，1）,則z＝錯誤!·錯誤!的最大值為．［由線性拘束條件錯誤!畫出可行域如圖中陰影部分所示，-7-學必求其心得，業必貴于專精目標函數z＝錯誤!·錯誤!＝錯誤!x＋y，將其化為y＝－錯誤!x＋z，結合圖形可知,目標函數的圖像過點（錯誤!，2）時,z最大，將點（錯誤!，2)代入z＝錯誤!x＋y，得z的最大值為4．]4．滿足｜x｜＋|y|≤2的點（x，y）中整點（橫縱坐標都是整數）有個．［|x｜＋|y|≤2可化為x＋y≤2x≥0，y≥0，｛x－y≤2x≥0，y<0，，－x＋y≤2x<0y≥0，－x－y≤2x<0，y<0，作出可行域為如圖正方形內部（包括界線)，簡單獲取整點個數為13個．]5．若實數x，y滿足錯誤!且x2＋y2的最大值為34，求正實數a的-8-學必求其心得，業必貴于專精值．［解]在平面直角坐標系中畫出拘束條件所表示的可行域如圖（形狀不定)．其中直線ax－y－a＝0的地址不確定,但它經過點A(1,0),斜率為a．又由于x2＋y2＝（x