北師大版·數學·八年級（下）第6章平行四邊形6.4多邊形的內角和與外角和第2課時

多邊形的外角和1.了解多邊形的外角定義,并能準確找出多邊形的外角。2.掌握多邊形的外角和公式,利用內角和與外角和公式解決實際問題。學習目標三角形的外角和是多少?復習導入小強是這樣思考的：如圖，跑步方向改變的角分別是∠l，∠2，∠3，∠4，∠5.∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEA＝180°，合作探究新知一多邊形的外角和∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋

∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°.∵五邊形的內角和為(5－2)×180°＝540°，即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA

＝540°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.你的思路與小強一樣嗎？與同伴交流.想一想如果廣場的形狀是六邊形、八邊形，那么結果會怎樣?1.定義：多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和．2.定理：多邊形的外角和都等于360°.例1由四邊形外角和定理和各外角之間的比例關系可求出各外角．導引：已知四邊形的四個外角度數比為1∶2∶3∶4，求各外角的度數．設四邊形的最小外角為x°，則其他三個外角分別為2x°，3x°，4x°.根據四邊形外角和等于360°，得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.所以x°＝36°，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°.所以四邊形各外角的度數分別為36°，72°，108°，144°.解：(1)用多邊形外角和定理求內(外)角或求正多邊形的邊數，一般可利用方程思想通過列方程解決，都是列出外角和的字母表達式：各個外角的和(如本例)或邊數×正多邊形每個外角的度數，再說明它們等于360°，即可求出；(2)由于多邊形的外角和等于360°，因此有些正多邊

形的內角問題也可以轉化為外角問題來解決．歸納小結1五邊形的外角和等于(

)A．180°B．360°C．540°D．720°【中考·孝感】已知一個正多邊形的每個外角等于60°，則這個正多邊形是(

)A．正五邊形B．正六邊形C．正七邊形D．正八邊形2BB鞏固新知3【中考·十堰】如圖，小華從點A出發，沿直線前進10m后向左轉24°，再沿直線前進10m，又向左轉24°……照這樣走下去，他第一次回到出發地點A時，一共走的路程是(

)A．140mB．150mC．160mD．240mB多邊形的內(外)角和與邊數間的關系：(1)多邊形的內角與邊數有關，且隨著邊數的增加而增加．(2)多邊形的外角和恒等于360°，與邊數的多少無關，其作用是：①已知正多邊形外角的度數，求正多邊形的邊數；②已知正多邊形的邊數，求各相等外角的度數．合作探究新知二多邊形的內角和與外角和的關系一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？例2設這個多邊形是n邊形，則它的內角和是(n－2)·180°，外角和等于360°.根據題意，得(n－2)·180°＝3×360°.解得n＝8.所以，這個多邊形是八邊形.解：如圖，小亮從A點出發，沿直線前進10m后向左轉30°，再沿直線前進10m，又向左轉30°……照這樣走下去，小亮第一次回到出發地A點時，他一共走了________．例3由題意知，當小亮第一次回到出發地A點時，所走過的路線構成一個邊長為10m，每個外角都是30°的正多邊形．由多邊形的外角和定理知這個多邊形的邊數是360°÷30°＝12，所以小亮一共走了120m.導引：120m本題運用了建模思想，從“轉彎”的實際問題中抽象出正多邊形的數學問題是解題的關鍵，然后利用多邊形外角和定理進行解答．歸納小結1一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是幾邊形？如果這個多邊形的每個內角都相等，那么每個內角等于多少度？設它是n邊形，根據題意，得(n－2)×180°＝360°×2，解得n＝6，所以它是六邊形.360°×2÷6＝120°，所以如果這個多邊形的每個內角都相等，那么每個內角等于120°.解：鞏固新知2【中考·南通】已知一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形的邊數為(

)A．3B．4C．5D．6B1.多邊形的外角和為360°.2.多邊形的內(外)角和與邊數間的關系：(1)多邊形的內角與邊數有關，且隨著邊數的增加而增加．(2)多邊形的外角和恒等于360°，與邊數的多少無關，其作用是：①已知正多邊形外角的度數，求正多邊形的邊數；②已知正多邊形的邊數，求各相等外角的度數．歸納新知1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P＝( )B2．如圖，在四邊形ABCD中，將四邊形沿直線MN折疊，使點A，B分別落在四邊形的內部的點A1，B1處，若∠1＝30°，∠2＝80°，則∠C＋∠D＝( )A．110°

B．125°

C．130°

D．135°B3．把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的CD邊重合，按照如圖所示的方式疊放在一起，延長LG交AF于點P，則∠APG＝( )A．141°B．144°C．147°D．150°B4．(2018·臨安區)用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個結，如圖①所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖②所示的正五邊形ABCDE，其中∠BAC＝______度．365．如圖，小明從點A出發，前進10

m后向右轉20°，再前進10

m后又向右轉20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發點A為止，他所走的路徑構成了一個多邊形．(1)小明一共走了多少米？(2)這個多邊形的內角和是多少度？解：(1)∵所經過的路線正好構成一個外角是20度的正多邊形，∴360÷20＝18，18×10＝180(米)．∴小明一共走了180米．(2)根據題意，得(18－2)×180°＝2

880°，∴這個多邊形的內角和是2

880度．6．“轉化”是數學中的一種重要思想，即把陌生的問題轉化成熟悉的問題，把復雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題．(1)請你根據已經學過的知識求出下面星形圖①中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數；(2)若對圖①中星形截去一個角，如圖②，請你求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數；(3)若再對圖②中的角進一步截去，你能由題(2)中所得的方法或規律，猜想圖③中的∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度數嗎？(只要寫出結論，不需要寫出解題過程)解：(1)∵∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.(2)∵∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F，∠1＋∠A＋∠C＋∠D＝360°，∴∠