2023屆高考數學一輪保基卷：直線與圓一、選擇題（共16小題）TOC\o"1-5"\h\z1.已知圓產+y2+血％一］=o與拋物線f=4%的準線相切，則m=（）1 3A.i B.- C.1 D. 22 4.過點（0,1）的直線與圓/+y2=4相交于AtB兩點，則|AB\的最小值為（ ）A.2 B.2V3 C.3 D.275.已知圓C的半徑為2,圓心在工軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為（）A.%2+y2—2%—3=0 B.x24-y24-4x=0C.x24-y24-2%—3=0 D.x2+y2-4x=0TOC\o"1-5"\h\z.圓/+V-2y=0與曲線y=|xI-1的公共點個數為（ ）A.4 B.3 C.2 D.0.圓/+y2-4刀=o在點p（i,V5）處的切線方程是（）A.x4-V3y-2=0 B.x4-V3y—4=0C.x-V3y4-4=0D.x-V3y4-2=0.由直線y=x+1上的點向圓（x—3尸+（y+2）2=1引切線，則切線長的最小值為（ ）A.V17 B.3V2 C.Vl9 D.2遙.已知x,y,z為正實數，則鬲金的最大值為（）A.逗 B* C.t D/5 2 5 3.已知點P為雙曲線《一卷=1（（1>0,匕>0）的右支上一點，Fi，尸2為雙曲線的左、右焦點.若（而+西）?（而一網=0（。為坐標原點），且|西|=8|兩則雙曲線的離心率為（）A.V2+1 B.V3+1 C.V6+1 D.竽.已知圓C:"+y2=2,直線,：x-y+m=0,則“與C相交”是“m<2”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.圓（x—27+（y—1尸=3關于直線3x+5y+ 6 =0對稱的圓的方程為（）A.（x+2）2+（y+3）2=3 B.（x—I）24-y2=3C.（%+I）2+（y+4）2=3 D.（%+3）24-y2=3TOC\o"1-5"\h\z.圓/+y2+2%+4y-3=o上到直線x4-y+ 1 =0的距離為V2的點共有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個.直線1:%-%丫+憶-1=0與圓。:％2+丫2=3的位置關系為（ ）A」與。相交 B」與C相切C.I與C相離 D.以上三個選項都有可能.已知拋物線C：y2=2px,p>0的焦點為F,過焦點的直線1交拋物線C與M,N兩點，設MN的中點為G,則直線0G的斜率的最大值為（）TOC\o"1-5"\h\zA-T B* C.1 D.2.過點A（ll,2）作圓x2+y2+2x-4y-164=0的弦，其中弦長為整數的共有（ ）A.16條 B.17條 C.32條 D.34條.自點4（一3,4）作圓（X—2產+0-3）2=1的切線，則4到切點的距離為（ ）A.V5 B.3 C.V10 D.5.設橢圓冬+3=l（a>b>0）的左、右焦點分別為后，尸2，P是橢圓上一點，IPFX|=A\PF2\g<A<2）,AF,PF2=p則橢圓離心率的取值范圍為（）兒（。曰 B.［患］ C.［消 D停1）二、填空題（共6小題）.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為-+y2-8》+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值為..雙曲線《一\=1（￡1>0/>0）的左右焦點分別是尸1，F2,以Fi為為圓心，IF/2I對為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點4,在第二象限交于點B,若IBF2I=4|4尸2|,則雙曲線的離心率為..已知圓C：x2+y2+6x-8y+16=0,則圓心C的坐標為；設4（-m,0）,B（7n,O）（7n>0）,若圓C上存在點Q,使得4Q_LQ8,則m的取值范圍是.—y4-2>0,.過平面區域y+2NO,內一點P作圓O:/+y2=i的兩條切線，切點分別為a,8,記（%+y4-2<0,乙APB=a,當a最小時，此時點P坐標為..直線y=kx+3與圓（x—4）2+（丫-3）2=4相交于時，N兩點，IMN總2百，則k的取值范圍是..已知實數右，x2,丫2滿足：*+資=1,詔+董=1,Xi?+y1y2=：，則必募+場鏟的最大值為.三、解答題（共8小題）.直線，:（t為參數），圓C:p=2&cos（6+m（極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同）.（1）求圓心C到直線，的距離；（2）若直線1被圓C截的弦長為空，求a的值..在平面直角坐標系xOy中，直線1過點P(l,0),傾斜角為a.以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為psiMe=2cos8.(1)寫出直線/的參數方程及曲線C的直角坐標方程；(2)若I與C相交于4,B兩點，M為線段AB的中點，且|PM|=g,求sina..已知過點4(0,1)，且方向向量為1=(l,k)的直線，與圓C:(x-2產+(y-3尸=1相交于不同的兩點M,N.(1)若k=2時，求線段MN的長；(2)若麗?麗=12,求k的值..圓C通過不同的三點P(k,O),(2(2,0),R(0,l),已知圓C在點P處的切線斜率為1,試求圓C的方程..如圖所示，為保護河上古橋。A,規劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓且古橋兩端0和4到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經測量，點4位于點。正北方向60m處，點C位于點。正東方向170m處(OC為河岸)，tanzBCO=(單位：m)(1)求新橋8c的長；(2)當。M多少時，圓形保護區的面積最大？.已知圓C：(x-+(y+2)2=20,點p(一3,0)為圓C上一點.(1)過點P的直線I與圓C相切，求直線I的方程.(2)Q是圓C上一動點(異于點P),求PQ中點M的軌跡方程..已知圓C的方程為"+3-4)2=4,點。是坐標原點，直線，:y=kx與圓C交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍；(2)設Q(m,n)是線段MN上的點，且1八3=1;小+請將n表示為m的函數.|OQrlOMr\ONr.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點P(p,&p)滿足|PF|=3.(1)求拋物線的方程；(2)過點(一1,0)的直線，交拋物線于4,B兩點，當|FA|=3|FB|時，求直線I的方程.答案B【解析】由圓心（一梟o）到準線的距離等于半徑知：卜￡一（一1）|=：而彳1,所以m=2BD【解析】設圓C的圓心坐標為（Q,0）,則d=叱誓：；4|=2、。=2或。=一=（舍），于是圓心為V34+4/ 3（2,0）,所以圓的方程為（工一2尸+y2=22.DD【解析】圓/+y2-4%=0的圓心為（2,0）,則孚9=一百，1-2故切線的斜率為當，由點斜式得切線方程為丫一百=乎（》一1）,即x-何+2=0.A【解析】要使切線長最小，需直線y=x+l上的點和圓心之間的距離最短，此最小值即為圓心（3,-2）到直線y=x+1的距離d,d=」等「=3>/2,故切線長的最小值為Vd2—r2=V18—1=V17.B【解析】因為x，y,z為正實數，所以/+”之&移，z2+|y2>V2yz,所以/+y2+z??y[2xy+>[2yz=V2（xy+yz）,所以君金0爭當且僅當x=z=苧y時取等號，故瓷等7的最大值為冬xz+y2+z2 2B【解析】由（。+西?（而一網=0得I函=|函I，又西=網=c,所以APF/z為直角三角形，且|PFzl=c.由勾股定理求出IP&I=V3c,根據雙曲線的定義有IPFil—IPF2I=2a,即V3c—c=2a,c=（V3+l）a,所以雙曲線的離心率e=-=V3+l,a故選B.A

【解析】“I與C相交"=瑞<夜，解得一2<m<2.所以"與C相交"是“m<2”的充分不必要條件.C【解析】設對稱圓的圓心為(a,切，b-1 5則依題意得a-2則依題意得a-2 3解得｛:二所以所求的圓的方程為(x+1)2+(y+4)2=3.CA【解析】因為直線i:x-ky+k-l=0可化為：x+fc(-y+l)-l=0,所以對于任意實數上直線】過定點(1,1).因為12+M=2<3,所以點(1,1)在圓C內，所以直線/與圓C相交.A【解析】拋物線C：產=的焦點坐標為：尸?,0),當直線i與x軸垂直時，MN的中點為F,此時G與F重合，直線。G的斜率為0,當直線，與x軸不垂直時，設直線I的方程為：x=my+^,代入y2=2px得：y2-2pmy-p2=0,則y]+y2=2pm，yi72=~p2>則Xi+x2= +y2)+P=2pm2+p,則MN的中點為G的坐標為：(pmZ+^p'pm),CDB【解析】設Fi(-c,0),Fz(c,0),由橢圓的定義可得，|PFjI+1PF2|=2a,可設IPF2l=t-可得IPBl=",即有Q+l)t=2a……①，由ZF/F2=3可得IPF1F+|pf2|2=4c2,即為(乃+1卜2=4c2……②，由②十①2,可得e2=*.另m=4+l,可得4=m—1,由三442,可得弓即握上一則當m=2時，”取得最小值3當m=|或m=3時，e2取得最大值即g三e?解得y<e<y-~【解析】圓C的方程可化為（x—4）2+y2=i,所以圓心為（4,0）,半徑為1.由題意知直線y=kx-2上至少存在一點4（x（）,kxo—2）,使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有交點，所以存在x0eR,使得ACmin<1+1=2.又ACmin為點C到直線y=kx-2的距離，則舒W2,解得0Wkw￡所以k的最大值為點因為|BFJ=\AFX\=2c,所以4m—2c=2c—m=2q,所以m=gc,所以a=-c,所以e=-=a3(-3,4)，[2,8]【解析】圓C：x2+y2+6x—8y+16=0,即：(x+3)2+(y-4)2=9,

則圓心C的坐標為(一3,4)；設4(一m,0),B(m,O)(m>0),若圓C上存在點Q,使得AQJ.Q8,則以4B為直徑的圓和圓C有交點，故兩圓的圓心距大于或等于半徑之差小于或等于半徑之和.而以AB為直徑的圓的圓心為原點，半徑為?n,所以I3—m區內(-3)2+42<m+3,BPI3-m|<5<m+3,求得2WmW8,故答案為：(—3,4)；[2,8].(-4,-2)VTsVisi【解析】當a最小時，則P。最大，做出不等式所表示的平面區域.則D點和P點重合時，則過點P做圓的兩條切線，使得a最小，所以此時點P(—VTsVisi21.V3+V2(1)把化為普通方程為x+2y+2—a=0,把p=27Icos(8+：)化為直角坐標系中的方程為x2+y2-2x+2y=0,所以圓心C(l,-1)到直線的距離為誓色.(2)由已知圓的半徑為女，弦長的一半為意所以，(—？+(鬻)2=(。)所以a?—2a=0,q=0或q=2.(1)直線1的參數方程為tZ (t為參數)，曲線C的直角坐標方程為y2=2x.(2)將號二代入丫？=2%整理得t2sin2a_2tcosa-2=0,設“，tz分別為48對應的參數，則“+t2=5巖(sinaWO),因為M為線段的中點，所以-”|=中=駕=；,2 sin2a 3解得sin2a=因為0WaVit,從而sina=.4 2(1)由題可知直線M,N的方程，:y-l=2(x-0)=2x-y+l=0.故圓心c到直線’的距離八簧等=專故線段MN的長|MN|=2八一㈤*=奈=等.即|MN|=等.(2)由題直線M,N的方程I:y—1=k(x—0)=y=kx+1.設M(Xi，%),/V(x2,y2)>聯立^-2y+(y-3尸=1=(1+I)--(4k+4)x+7=0.Xi+x2=XiX2=^5."=(4k+4)2-4(1+fc2)x7>0=> <k<又OM?ON=xxx2+y02=(1+^2)xix2+k(X[4-x2)+1=12.即(l+l)X占+kx提+1=12,解得k=l滿足r<k<竽.故k=L26.設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則k,2為/+Dx+f=0的兩根，所以k+2=-D,2k=F,即D=-（k+2）,F=2k又圓過R（0,l）,故l+E+F=0.所以E=-2k-l故所求圓的方程為x2+y2—（k+2）x—（2k+l）y+2k=0.圓心坐標為（學,等）因為圓C在點P處的切線斜率為1,所以hp=-1=箸所以k——3.所以D=1,E=5,F=-6.所以所求圓C的方程為x2+y2+x+5y-6=0另解：線段RQ的垂直平分線方程為：4x-2y-3=0；直線PC的方程為：y=-x+ki聯立可得圓心C：（靜，等）且|CP|2=|CQI2,可得2（等）、（萼丫+（等）2.解得k=-3或k=2（舍）（1）如圖所示，以。為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy.由條件知4(0,60),C(170,0),直線BC的斜率kBC=—tanzBCO=—g.又因為4BJ.BC,所以直線4B的斜率以8=：.4設點B的坐標為(a,b),則媼=蔑=4%=詈W解得a=80,b=120.所以BC=J(170-80)2+(0-120)2=150.因此新橋BC的長是150m.(2)設保護區的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm(0<d<60).由條件知，直線BC的方程為y=-g(x-170),即4x+3y-680=0.由于圓M與直線BC相切，故點M(0,d)到直線BC的距離是r,日n_I3d-68O|_680-3d即r=■^聲=—-因為。和4到圓M上任意一點的距離均不小于80m,所以《一吃8%即產F-d>80,卜F_(60_d)>80解得104d435.故當d=10時，「=力網最大，即圓面積最大.所以當OM=10m時，圓形保護區的面積最大.(1)圓C：(x-l)2+(y+2)2=20的圓心為C(l,-2),半徑r=9，因為(-3-I/+(0+2)2=20所以點P(-3,0)在圓C上，所以11PC,因為kpc=-所以?=2,所以直線I的方程為y-0=2(x+3),即y=2x+6.(2)設M(x,y),則Q(2x+3,2y),

因為點Q在圓C上，代入圓的方程可得(2%+3- +(2y+2)2=20,整理得(x+l)2+(y+l)2=5,故PQ中點M的軌跡方程為(x+I)2+(y+I)2=5(%H3).(1)將y=kx代入x24-(y—4)2=4中，得(1+k2)%2—8kx+12=0.(*)由4=(-8k)2-4(1+fc2)xl2>0,得k2>3,所以k的取值范圍是(-oo,-V3)U(V3,