第四章動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第四章動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析11穩(wěn)定性基本概念2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性3李雅普諾夫第一法4李雅普諾夫第二法5線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法1穩(wěn)定性基本概念2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性3李雅21.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)定性概念2.熟練掌握李氏第一法,李氏第二法3.掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析方法重點內(nèi)容：

李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別教學(xué)要求：1.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)定教學(xué)要求：3研究的目的和意義：穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個重要特征。要求：在受到外界擾動后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動消失后，仍然能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用u無關(guān)。經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一、二階非線性系統(tǒng))研究的目的和意義：穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是41982年，俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量來描述，適用于單變量，線性，非線性，定常，時變，多變量等系統(tǒng)。應(yīng)用：自適應(yīng)，最優(yōu)控制，非線性控制等。主要內(nèi)容：李氏第一法（間接法）：根據(jù)線性系統(tǒng)特征值或極點來判別穩(wěn)定性。若是非線性系統(tǒng)，需先線性化。李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造Lyapunov標量函數(shù)。1982年，俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量5一、穩(wěn)定性基本概念

1.自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng)=Ax+Bu(u=0)2.初態(tài)：=f(x,t)的解為初態(tài)3.平衡狀態(tài)：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)a.線性系統(tǒng)

第一節(jié)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義A非奇異：解唯一,平衡點只有一個一、穩(wěn)定性基本概念第一節(jié)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義A非奇異：6令例：b.非線性系統(tǒng)A奇異：令例：b.非線性系統(tǒng)A奇異：74.孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。系統(tǒng)不一定都存在平衡點；但系統(tǒng)也可能有多個平衡點；平衡點多數(shù)在狀態(tài)空間的原點，可通過適當(dāng)?shù)淖鴺俗儞Q移到原點（針對孤立平衡點）；穩(wěn)定性問題都是相對于某個狀態(tài)而言的，對多平衡點問題需針對各狀態(tài)討論。說明：4.孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的系統(tǒng)不一定都存8二、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義4-2：

二、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義4-2：9幾何意義：

實際上，工程中的李氏穩(wěn)定是臨界不穩(wěn)定無摩擦，等幅振蕩幾何意義：實際上，工程中的李氏穩(wěn)定是臨界不穩(wěn)定無摩擦10定義4-3(漸近穩(wěn)定)：

球受外力離開平衡點,存在摩擦力時,小球最終靜止在A點。幾何意義物理意義定義4-3(漸近穩(wěn)定)：球受外力離開平衡點,存在摩擦11定義4-4(大范圍漸近穩(wěn)定)：

必要條件：只有一個平衡點。定義4-4(大范圍漸近穩(wěn)定)：必要條件：只有一個平衡12定義4-5(不穩(wěn)定)：

說明：

(1)若系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則對于x’=Ax而言，A特征值應(yīng)均有負實部。定義4-5(不穩(wěn)定)：說明：(1)若系統(tǒng)漸13(2)若系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，則其必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡點。(5)線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定等價于大范圍漸近穩(wěn)定。對非線性系統(tǒng),一般只考慮吸引區(qū)為有限定范圍的漸近穩(wěn)定。(2)若系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，則其必要條件是在整個狀態(tài)空間中14第二節(jié)李雅普諾夫間接法李氏間接法利用系統(tǒng)矩陣A的特征值或者說系統(tǒng)極點來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。對非線性系統(tǒng)，首先要在平衡點附近線性化，得到一近似的線性化方程，然后再進行判斷。一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性(1)李氏穩(wěn)定

A的約當(dāng)標準形J中，實部為0的特征值所對應(yīng)的約當(dāng)塊的維數(shù)是一維的，其余特征值均有負實部。第二節(jié)李雅普諾夫間接法李氏間接法利用系統(tǒng)矩陣A的特征15說明：

例：

李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定說明：例：李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定16李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定17李氏穩(wěn)定(2)漸近穩(wěn)定

A的特征值均具有負實部。(3)不穩(wěn)定

A的特征值中至少有一個有正實部。說明：

(1)勞斯判據(jù)依然適用。(2)狀態(tài)穩(wěn)定(內(nèi)部的穩(wěn)定)與BIBO穩(wěn)定(輸出穩(wěn)定性)。李氏穩(wěn)定(2)漸近穩(wěn)定A的特征值均具有負實部。(3)18例：

求A的特征值：得A特征值：不穩(wěn)定例：

判xe=0平衡點的穩(wěn)定性。解A的特征值：對應(yīng)約當(dāng)塊是二維。例：求A的特征值：得A特征值：不穩(wěn)定例：判x19例：

判xe=0平衡點的穩(wěn)定性。解A的特征值：實部為0的特征值對應(yīng)約當(dāng)塊是一維的.例：判xe=0平衡點的穩(wěn)定性。解A的特征值：實部為020BIBO穩(wěn)定:若輸入u(t)有界，則輸出y(t)也有界。稱有界輸入有界輸出穩(wěn)定。BIBO穩(wěn)定性由G(s)極點決定。系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性由A的特征值決定。零點多項式極點多項式BIBO穩(wěn)定:若輸入u(t)有界，則輸出y(t)也有界。零點21例：

判xe=0平衡點的漸近穩(wěn)定與BIBO穩(wěn)定。說明：漸近穩(wěn)定是真正的系統(tǒng)穩(wěn)定，包含BIBO穩(wěn)定。BIBO穩(wěn)定可能內(nèi)部狀態(tài)不穩(wěn)定，不包含漸近穩(wěn)定。例：判xe=0平衡點的漸近穩(wěn)定與BIBO穩(wěn)定。說明：22二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般是局部的。用間接法判斷時，應(yīng)先線性化。高階導(dǎo)數(shù)項二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般是局部的。用23

判定法：

說明：(2)并不是對所有的非線性系統(tǒng)都可用間接法判別;判定法：說明：(2)并不是對所有的非線性系統(tǒng)都可用間24例：

兩個負實根，漸近穩(wěn)定和例：兩個負實根，漸近穩(wěn)定和25

有一個正實根，不穩(wěn)定例：有一個正實根，不穩(wěn)定例：26所以，系統(tǒng)在處不穩(wěn)定實部為0，不能由A來判斷穩(wěn)定性所以，系統(tǒng)在處不穩(wěn)定實部為0，不能由A來判斷穩(wěn)定性27第三節(jié)李雅普諾夫直接法李氏直接法通過找一個能量函數(shù)V(x)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果V(x)能量減小，系統(tǒng)可能穩(wěn)定；V(x)增大，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。但并不是所有的系統(tǒng)都可以找到能量函數(shù)。一、函數(shù)的定號性第三節(jié)李雅普諾夫直接法李氏直接法通過找一個能量函數(shù)V28例：例：29二、二次型二、二次型30例：V(x)的定號性完全由P來確定。P的正負判定：通過P的主子式的正負來判斷。P的順序主子式：希爾維斯特判據(jù)例：V(x)的定號性完全由P來確定。P的順序主子式：希爾維斯31第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論匯總課件32例：∵P的順序主子式都大于0∴P是正定的∴V(x)正定例：∵P的順序主子式都大于033例：不定例：負定例：不定例：負定34Lyapunov直接法通過構(gòu)造能量函數(shù)來判斷，建立在用能量分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上。例：①若無摩擦能量不變李氏穩(wěn)定②有摩擦能量減小漸近穩(wěn)定能量變化始終>0不穩(wěn)定Lyapunov直接法通過構(gòu)造能量函數(shù)來判斷，建立35例：如圖所示機械系統(tǒng)：彈簧K，阻尼器B，質(zhì)量M用V(x)表示系統(tǒng)的能量：例：如圖所示機械系統(tǒng)：彈簧K，阻尼器B，質(zhì)量M用V36∴

V(x)隨時間減小，從而運動的軌跡也將隨時間增大而趨于坐標原點。∴

坐標原點是漸近穩(wěn)定。∴V(x)隨時間減小，從而運動的軌跡也將隨時間增大而趨于坐37定理4-2：定理4-2：38對李氏函數(shù)的討論：(1)V(x)是一正定標量函數(shù)，且對x具有一階連續(xù)偏導(dǎo)。(2)對于一給定系統(tǒng)，若V(x)可找到，那么通常是非唯一的，但這并不影響結(jié)論的一致性。(3)V(x)的最簡單形式是二次型函數(shù)，其中P為實對稱方陣，它的元素可以是定常的，可以是時變的，但V(x)并不一定都是簡單的二次型。(4)V(x)函數(shù)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某鄰域內(nèi)局部運動的穩(wěn)定情況，但絲毫不能提供鄰域外運動的任何信息。(5)由于V(x)構(gòu)造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用于那些使用別的方法無效或難以判斷其穩(wěn)定性的問題，如高階非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)。(6)只有V(x)可判穩(wěn)定性時，才稱其為李氏函數(shù)。對李氏函數(shù)的討論：(1)V(x)是一正定標量函數(shù)，且對x具39例：解：顯然是正定的,且有連續(xù)一階偏導(dǎo)判穩(wěn)定性。例：解：顯然是正定的,且有連續(xù)一階偏導(dǎo)判穩(wěn)定性。40第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論匯總課件41例：判穩(wěn)定性。始終位于圓上狀態(tài)與平衡點的距離例：判穩(wěn)定性。始終位于圓上狀態(tài)與平衡點的距離42例：判穩(wěn)定性。(1)(2)(*)解：例：判穩(wěn)定性。(1)(2)(*)解：43(3)代入方程(*)中(3)代入方程(*)中44由上例可以看出：關(guān)鍵是尋找合適的李氏函數(shù)。例：判穩(wěn)定性。解：由上例可以看出：關(guān)鍵是尋找合適的李氏函數(shù)。例：判穩(wěn)定性。解：45說明：系統(tǒng)的穩(wěn)定域在單位圓內(nèi)。說明：系統(tǒng)的穩(wěn)定域在單位圓內(nèi)。46例：判穩(wěn)定性。解：例：判穩(wěn)定性。解：47二、克拉索夫斯基方法(構(gòu)造李氏函數(shù)的方法)定理4-3：進一步：證明：二、克拉索夫斯基方法(構(gòu)造李氏函數(shù)的方法)定理進一步：證明：48說明:

(1)這種方法并不適用于所有系統(tǒng);說明:49例：判穩(wěn)定性。解：例：判穩(wěn)定性。解：50第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論匯總課件51例：線性定常系統(tǒng)判穩(wěn)定性。解：例：線性定常系統(tǒng)判穩(wěn)定性。解：52例：線性定常系統(tǒng)判穩(wěn)定性。解：若用克拉索夫斯基方法：無法判定進一步說明此方法并不是適用于所有的系統(tǒng)。例：線性定常系統(tǒng)判穩(wěn)定性。解：若用克拉索夫斯基方法：無法判定53三、李雅普諾夫方程P應(yīng)為正定實對稱矩陣則任意確定一正定矩陣Q，則可求出P線性定常系統(tǒng)判別穩(wěn)定性的充要條件。三、李雅普諾夫方程P應(yīng)為正定實對稱矩陣則任意確定一正定矩陣Q54定理4-4：說明：定理說明：55例：線性定常系統(tǒng)判穩(wěn)定性。解：例：線性定常系統(tǒng)判穩(wěn)定性。解：56順序主子式說明：線性定常系統(tǒng)用李氏方程判穩(wěn)定性并不一定方便，但提供了一種思維方式。順序主子式說明：線性定常系統(tǒng)用李氏方程判穩(wěn)定性并不一定方便，57例：如圖所示控制系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)漸穩(wěn)，試確定增益

K取值范圍。解：寫出狀態(tài)方程：設(shè)R＝0(不影響穩(wěn)定性)例：如圖所示控制系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)漸穩(wěn)，試確定增益解：寫出狀態(tài)方58第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論匯總課件59第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論匯總課件60第四章動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第四章動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析611穩(wěn)定性基本概念2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性3李雅普諾夫第一法4李雅普諾夫第二法5線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法1穩(wěn)定性基本概念2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性3李雅621.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)定性概念2.熟練掌握李氏第一法,李氏第二法3.掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析方法重點內(nèi)容：

李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別教學(xué)要求：1.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)定教學(xué)要求：63研究的目的和意義：穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個重要特征。要求：在受到外界擾動后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動消失后，仍然能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用u無關(guān)。經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一、二階非線性系統(tǒng))研究的目的和意義：穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是641982年，俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量來描述，適用于單變量，線性，非線性，定常，時變，多變量等系統(tǒng)。應(yīng)用：自適應(yīng)，最優(yōu)控制，非線性控制等。主要內(nèi)容：李氏第一法（間接法）：根據(jù)線性系統(tǒng)特征值或極點來判別穩(wěn)定性。若是非線性系統(tǒng)，需先線性化。李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造Lyapunov標量函數(shù)。1982年，俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量65一、穩(wěn)定性基本概念

1.自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng)=Ax+Bu(u=0)2.初態(tài)：=f(x,t)的解為初態(tài)3.平衡狀態(tài)：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)a.線性系統(tǒng)

第一節(jié)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義A非奇異：解唯一,平衡點只有一個一、穩(wěn)定性基本概念第一節(jié)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義A非奇異：66令例：b.非線性系統(tǒng)A奇異：令例：b.非線性系統(tǒng)A奇異：674.孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。系統(tǒng)不一定都存在平衡點；但系統(tǒng)也可能有多個平衡點；平衡點多數(shù)在狀態(tài)空間的原點，可通過適當(dāng)?shù)淖鴺俗儞Q移到原點（針對孤立平衡點）；穩(wěn)定性問題都是相對于某個狀態(tài)而言的，對多平衡點問題需針對各狀態(tài)討論。說明：4.孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的系統(tǒng)不一定都存68二、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義4-2：

二、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義4-2：69幾何意義：

實際上，工程中的李氏穩(wěn)定是臨界不穩(wěn)定無摩擦，等幅振蕩幾何意義：實際上，工程中的李氏穩(wěn)定是臨界不穩(wěn)定無摩擦70定義4-3(漸近穩(wěn)定)：

球受外力離開平衡點,存在摩擦力時,小球最終靜止在A點。幾何意義物理意義定義4-3(漸近穩(wěn)定)：球受外力離開平衡點,存在摩擦71定義4-4(大范圍漸近穩(wěn)定)：

必要條件：只有一個平衡點。定義4-4(大范圍漸近穩(wěn)定)：必要條件：只有一個平衡72定義4-5(不穩(wěn)定)：

說明：

(1)若系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則對于x’=Ax而言，A特征值應(yīng)均有負實部。定義4-5(不穩(wěn)定)：說明：(1)若系統(tǒng)漸73(2)若系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，則其必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡點。(5)線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定等價于大范圍漸近穩(wěn)定。對非線性系統(tǒng),一般只考慮吸引區(qū)為有限定范圍的漸近穩(wěn)定。(2)若系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，則其必要條件是在整個狀態(tài)空間中74第二節(jié)李雅普諾夫間接法李氏間接法利用系統(tǒng)矩陣A的特征值或者說系統(tǒng)極點來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。對非線性系統(tǒng)，首先要在平衡點附近線性化，得到一近似的線性化方程，然后再進行判斷。一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性(1)李氏穩(wěn)定

A的約當(dāng)標準形J中，實部為0的特征值所對應(yīng)的約當(dāng)塊的維數(shù)是一維的，其余特征值均有負實部。第二節(jié)李雅普諾夫間接法李氏間接法利用系統(tǒng)矩陣A的特征75說明：

例：

李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定說明：例：李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定76李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定77李氏穩(wěn)定(2)漸近穩(wěn)定

A的特征值均具有負實部。(3)不穩(wěn)定

A的特征值中至少有一個有正實部。說明：

(1)勞斯判據(jù)依然適用。(2)狀態(tài)穩(wěn)定(內(nèi)部的穩(wěn)定)與BIBO穩(wěn)定(輸出穩(wěn)定性)。李氏穩(wěn)定(2)漸近穩(wěn)定A的特征值均具有負實部。(3)78例：

求A的特征值：得A特征值：不穩(wěn)定例：

判xe=0平衡點的穩(wěn)定性。解A的特征值：對應(yīng)約當(dāng)塊是二維。例：求A的特征值：得A特征值：不穩(wěn)定例：判x79例：

判xe=0平衡點的穩(wěn)定性。解A的特征值：實部為0的特征值對應(yīng)約當(dāng)塊是一維的.例：判xe=0平衡點的穩(wěn)定性。解A的特征值：實部為080BIBO穩(wěn)定:若輸入u(t)有界，則輸出y(t)也有界。稱有界輸入有界輸出穩(wěn)定。BIBO穩(wěn)定性由G(s)極點決定。系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性由A的特征值決定。零點多項式極點多項式BIBO穩(wěn)定:若輸入u(t)有界，則輸出y(t)也有界。零點81例：

判xe=0平衡點的漸近穩(wěn)定與BIBO穩(wěn)定。說明：漸近穩(wěn)定是真正的系統(tǒng)穩(wěn)定，包含BIBO穩(wěn)定。BIBO穩(wěn)定可能內(nèi)部狀態(tài)不穩(wěn)定，不包含漸近穩(wěn)定。例：判xe=0平衡點的漸近穩(wěn)定與BIBO穩(wěn)定。說明：82二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般是局部的。用間接法判斷時，應(yīng)先線性化。高階導(dǎo)數(shù)項二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般是局部的。用83

判定法：

說明：(2)并不是對所有的非線性系統(tǒng)都可用間接法判別;判定法：說明：(2)并不是對所有的非線性系統(tǒng)都可用間84例：

兩個負實根，漸近穩(wěn)定和例：兩個負實根，漸近穩(wěn)定和85

有一個正實根，不穩(wěn)定例：有一個正實根，不穩(wěn)定例：86所以，系統(tǒng)在處不穩(wěn)定實部為0，不能由A來判斷穩(wěn)定性所以，系統(tǒng)在處不穩(wěn)定實部為0，不能由A來判斷穩(wěn)定性87第三節(jié)李雅普諾夫直接法李氏直接法通過找一個能量函數(shù)V(x)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果V(x)能量減小，系統(tǒng)可能穩(wěn)定；V(x)增大，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。但并不是所有的系統(tǒng)都可以找到能量函數(shù)。一、函數(shù)的定號性第三節(jié)李雅普諾夫直接法李氏直接法通過找一個能量函數(shù)V88例：例：89二、二次型二、二次型90例：V(x)的定號性完全由P來確定。P的正負判定：通過P的主子式的正負來判斷。P的順序主子式：希爾維斯特判據(jù)例：V(x)的定號性完全由P來確定。P的順序主子式：希爾維斯91第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論匯總課件92例：∵P的順序主子式都大于0∴P是正定的∴V(x)正定例：∵P的順序主子式都大于093例：不定例：負定例：不定例：負定94Lyapunov直接法通過構(gòu)造能量函數(shù)來判斷，建立在用能量分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上。例：①若無摩擦能量不變李氏穩(wěn)定②有摩擦能量減小漸近穩(wěn)定能量變化始終>0不穩(wěn)定Lyapunov直接法通過構(gòu)造能量函數(shù)來判斷，建立95例：如圖所示機械系統(tǒng)：彈簧K，阻尼器B，質(zhì)量M用V(x)表示系統(tǒng)的能量：例：如圖所示機械系統(tǒng)：彈簧K，阻尼器B，質(zhì)量M用V96∴

V(x)隨時間減小，從而運動的軌跡也將隨時間增大而趨于坐標原點。∴

坐標原點是漸近穩(wěn)定。∴V(x)隨時間減小，從而運動的軌跡也將隨時間增大而趨于坐97定理4-2：定理4-2：98對李氏函數(shù)的討論：(1)V(x)是一正定標量函數(shù)，且對x具有一階連續(xù)偏導(dǎo)。(2)對于一給定系統(tǒng)，若V(x)可找到，那么通常是非唯一的，但這并不影響結(jié)論的一致性。(3)V(x)的最簡單形式是二次型函數(shù)，其中P為實對稱方陣，它的元素可以是定常的，可以是時變的，但V(x)并不一定都是簡單的二次型。(4)V(x)函數(shù)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某鄰域內(nèi)局部運動的穩(wěn)定情況，但絲毫不能提供鄰域外運動的任何信息。(5)由于V(x)構(gòu)造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用于那些使用別的方法無效或難以判斷其穩(wěn)定性的問題，如高階非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)。(6)只有V(x)可判穩(wěn)定性時，才稱其為李氏函數(shù)。對李氏函數(shù)的討論：(1)V(x)是一正定標量函