江蘇專用2022版高考物理一輪復習第13章振動波動實驗18用單擺測量重力加速度的大小學案江蘇專用2022版高考物理一輪復習第13章振動波動實驗18用單擺測量重力加速度的大小學案PAGE22-江蘇專用2022版高考物理一輪復習第13章振動波動實驗18用單擺測量重力加速度的大小學案實驗十八用單擺測量重力加速度的大小1．實驗目的用單擺測量重力加速度的大小.2．實驗原理單擺在擺角很小(小于5°)時的擺動，可看成簡諧運動，其固有周期T＝2πeq\r(\f（l,g)）,可得g＝eq\f（4π2l，T2)，通過實驗方法測出擺長l和周期T，即可計算得到當地的重力加速度.3．實驗器材帶孔小鋼球一個、細線一條(約1m長)、鐵架臺、米尺、停表、游標卡尺(或三角板）.4．實驗步驟(1）讓線的一端穿過小球上的小孔，然后打一個比小孔大一些的線結，做成單擺。（2)把線的上端固定在鐵架臺的鐵夾上，讓鐵夾伸到桌面以外,讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標記。（3）用米尺量出懸線長l′(準確到mm)，用游標卡尺(或米尺和三角板)測出擺球的直徑d(準確到mm)，然后計算出懸點到球心的距離l＝l′＋eq\f(d,2)即為擺長.(4)把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度（不超過5°），然后放開小球讓它擺動，用停表測出單擺完成30或50次全振動的時間，計算出平均完成一次全振動的時間，這個時間就是單擺的振動周期。(5)改變擺長重做幾次。（6)將實驗器材放回原處.5．注意事項（1)實驗所用的單擺應符合理論要求，即線要細且彈性要小，擺球用密度和質量較大的小球,并且要在擺角不超過5°的情況下進行實驗.（2)要使單擺在豎直平面內振動,不能使其形成圓錐擺，方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放.（3）測量擺長時，擺長應為懸線長與擺球半徑之和。（4）測單擺周期時，應從擺球通過平衡位置開始計時，并且采用倒數到0開始計時的方法，4、3、2、1、0、1、2、3…在數“0”的同時按下秒表開始計時計數。(5）要注意進行多次測量，并取平均值。實驗原理與操作1．適當加長擺線可以使周期大些，減小擺長與周期的測量誤差，從而減小實驗誤差。2．擺線上端需牢固地固定于O點,振動中出現松動,使擺長變大。3．測長度時用米尺測出單擺自然下垂時擺線長度。［題組訓練］1．實驗小組的同學們用如圖所示的裝置做“用單擺測定重力加速度”的實驗。（1）測出懸點O到小球球心的距離(擺長)L及單擺完成n次全振動所用的時間t,則重力加速度g＝________(用L、n、t表示）。(2）實驗時除用到秒表、刻度尺外，還應該用到下列器材中的________（選填選項前的字母).A．長約1m的細線B．長約1m的橡皮繩C．直徑約1cm的均勻鐵球D．直徑約10cm的均勻木球(3)選擇好器材，將符合實驗要求的單擺懸掛在鐵架臺上，應采用圖________中所示的固定方式.甲乙（4)某實驗小組組裝單擺時，在擺線上端的懸點處，用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖所示。這樣做的目的是________(填字母代號).A．保證擺動過程中擺長不變B．可使周期測量得更加準確C．需要改變擺長時便于調節D．保證擺球在同一豎直平面內擺動（5）他組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺量得從懸點到擺球的最低端的長度L＝0。9990m，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖所示，則該擺球的直徑為________mm。（6）將單擺正確懸掛后進行如下操作,其中正確的是________（選填選項前的字母)。A．測出擺線長作為單擺的擺長B．把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放,使之做簡諧運動C．在擺球經過平衡位置時開始計時D．用秒表測量單擺完成1次全振動所用時間并作為單擺的周期(7)甲同學多次改變單擺的擺長并測得相應的周期，他根據測量數據畫出了如圖所示的圖象，但忘記在圖中標明橫坐標所代表的物理量。你認為橫坐標所代表的物理量是________（選填“l2”“l”或“eq\r（l）”），若圖線斜率為k，則重力加速度g＝________(用k表示)。(8）乙同學測得的重力加速度數值大于當地的重力加速度的實際值，造成這一情況的原因可能是________（選填選項前的序號）。A．開始擺動時振幅較小B．開始計時時，過早按下停表C．測量周期時,誤將擺球（n－1）次全振動的時間記為n次全振動的時間D．測量擺長時從懸點到小球下端邊緣的距離為擺長［解析］（1）單擺的周期：T＝eq\f(t，n）由單擺周期公式：T＝2πeq\r(\f(L,g))可知，重力加速度:g＝eq\f（4π2L，T2)＝eq\f（4π2n2L，t2）;（2）擺線選擇較細且結實的線為便于測量周期和減小空氣阻力,則選取1m左右的細線，故選擇A線；為了減小空氣阻力的影響，擺球選擇質量大體積小的，故選擇C球；故選A、C；(3）為了避免運動過程中擺長發生變化，懸點要固定,不能松動,則為圖乙；(4）這樣做的目的就是為了便于調節擺長，把擺線夾得更緊一些,使擺動過程中擺長不變。因此A、C正確；(5)游標卡尺示數為d＝12.0mm;(6）擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，則A錯誤；把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，使之做簡諧運動，B正確;在擺球經過平衡位置時開始計時，C正確;把秒表記錄擺球一次全振動的時間作為周期，誤差較大，應采用累積法測量周期，D錯誤；(7）據單擺周期公式T＝2πeq\r（\f（l，g）)＝eq\f（2π,\r（g））eq\r(l)所以應該作T.eq\r（l）圖象，故橫坐標所代表的物理量是eq\r(l），知斜率k＝eq\f(2π，\r（g））解得g＝eq\f(4π2，k)；(8）由周期公式T＝2πeq\r(\f（l，g））,得g＝eq\f(4π2l，T2)振幅大小與g無關,故A錯誤；開始計時時,過早按下秒表，周期偏大,則g偏小,故B錯誤；測量周期時，誤將擺球(n－1)次全振動的時間記為n次全振動的時間，則周期偏小，則g偏大，C正確；擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，若測量擺長時從懸點到小球下端邊緣的距離為擺長，擺長偏大,由g＝eq\f(4π2l,T2)，所以g偏大,故D正確。［答案](1）eq\f(4π2n2l，t2)(2）AC（3)乙(4）AC（5)12。0（6）BC（7)eq\r(l）eq\f(4π2，k2)（8）CD2．利用單擺可以通過實驗測量當地的重力加速度。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺。甲乙（1）以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有________。A．擺球應選用直徑較小、密度較大的小球，擺線應選用細而不易伸長的線B．為了便于記錄周期，開始時將擺球拉開，應使擺線與平衡位置有較大角度C．記錄周期時，當擺球通過平衡位置時開始計時，擺球再次回到平衡位置停止計時，此時間間隔為Δt，則單擺周期T＝2ΔtD．記錄周期時，當擺球通過平衡位置時開始計時，記下擺球做30次全振動所用的時間Δt,則單擺周期T＝eq\f（Δt，30）(2)若已測出懸點到小球球心的距離(擺長）L及單擺完成n次全振動所用的時間t,則重力加速度g＝________（用L、n、t表示)。(3）圖乙是擺線長為L時小球的振動圖象，取g＝10m/s2,π2＝10，則小球的回復加速度最大值為________m/s2。［解析］(1)該實驗中，擺線應選用細而不易伸長的線，避免在擺動過程中擺長發生改變，且長度要適當長一些;為了避免空氣阻力的影響，應選用體積比較小,密度較大的小球，故A正確；單擺的最大擺角應小于5°，因而開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置不能有太大的角度，故B錯誤；為準確測量單擺周期,應從擺球經過平衡位置時開始計時，測出多個周期的時間，然后求出平均值作為周期,故C錯誤；為減小實驗誤差，拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°,釋放擺球,當擺球振動穩定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做30次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝eq\f(Δt，30），故D正確。(2)單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g）),其中T＝eq\f(t,n），聯立解得：g＝eq\f（4n2π2L,t2）。（3)由圖知A＝5cm,T＝2s，根據單擺周期公式T＝2πeq\r(\f（L，g）），解得：L＝1m；小球的回復加速度在x＝5cm或x＝－5cm時最大，根據牛頓第二定律得:am＝eq\f(mgsinθ，m)＝gsinθ≈g·eq\f(A,L)＝10×eq\f（0。05,1)＝0.5m/s2.［答案］（1)AD（2)eq\f(4n2π2L,t2）(3)0。53．在“利用單擺測重力加速度”的實驗中，（1）以下做法正確的是________。A．測量擺長時，用刻度尺量出懸點到擺球間的細線長度作為擺長LB．測量周期時，從小球經過平衡位置開始計時，經歷50次全振動總時間為t，則周期為eq\f（t，50）C．擺動中出現了輕微的橢圓擺情形，王同學認為對實驗結果沒有影響而放棄了再次實驗的機會D．釋放單擺時，應注意細線與豎直方向的夾角不能超過5°（2）黃同學先測得擺線長為97.92cm，后用游標卡尺測得擺球直徑(如圖）,讀數為________cm；再測得單擺的周期為2s，最后算出當地的重力加速度g的值為________m/s2。（π2取9。86，結果保留兩位小數)（3)實驗中，如果擺球密度不均勻，無法確定重心位置，劉同學設計了一個巧妙的方法不計擺球的半徑。具體做法如下：第一次量得懸線長L1，測得振動周期為T1；第二次量得懸線長L2,測得振動周期為T2，由此可推得重力加速度的表達式為g＝________。[解析］(1)測量擺長時，用刻度尺量出懸點到擺球間的細線長度,再加擺球的半徑作為擺長L，選項A錯誤；測量周期時，從小球經過平衡位置開始計時，經歷50次全振動總時間為t，則周期為t/50，選項B正確；擺動中出現了輕微的橢圓擺情形,這對實驗結果是有影響的,選項C錯誤；釋放單擺時，應注意細線與豎直方向的夾角不能超過5°，選項D正確。(2）擺球直徑：主尺讀數為：2.1cm,游標尺讀數：6×0.1mm＝0。6mm,則d＝2。16cm；根據T＝2πeq\r(\f（L，g））解得g＝eq\f（4π2L,T2)＝eq\f(4×9。86×97.92＋\f(1，2）×2.16×10－2，4）m/s2＝9。76m/s2。(3）設擺球的重心到線與球結點的距離為r，根據單擺周期的公式：T＝2πeq\r(\f（L，g)）得:T1＝2πeq\r(\f(L1＋r,g）)，T2＝2πeq\r（\f（L2＋r,g）),聯立兩式解得：g＝eq\f(4π2L1－L2，T\o\al(2,1)－T\o\al（2,2)）。[答案]（1）BD(2)2.169.76(3)4π2eq\f（L1－L2,T\o\al(2,1）－T\o\al(2，2))數據處理與誤差分析1．公式法將幾次測得的周期T和擺長l分別代入關系式g＝eq\f（4π2l,T2)，算出各組數據對應的重力加速度g的值，再算出g的平均值，即為當地的重力加速度的值。2．圖象法由單擺的周期公式T＝2πeq\r（\f(l,g））可得l＝eq\f（g,4π2)T2，因此以擺長l為縱軸,以T2為橫軸作出的l。T2圖象是一條過原點的直線,如圖所示，求出斜率k,即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l，T2)＝eq\f(Δl,ΔT2)。［題組訓練］1．在“用單擺測定重力加速度"的實驗中，某實驗小組在測量單擺的周期時,測得擺球經過n次全振動的總時間為Δt；在測量單擺的擺長時，先用毫米刻度尺測得擺線長為l，再用游標卡尺測量擺球的直徑為D，某次測量游標卡尺的示數如圖甲所示。甲乙回答下列問題：（1)從甲圖可知,擺球的直徑為D＝________mm；（2）該單擺的周期為________。（3）為了提高實驗的準確度，在實驗中可改變幾次擺長L并測出相應的周期T，從而得出幾組對應的L和T的數值，以L為橫坐標、T2為縱坐標作出T2。L圖線，但同學們不小心每次都把小球直徑當作半徑來計算擺長，由此得到的T2。L圖象是圖乙中的________（選填“①"“②”或“③”），由圖象可得當地重力加速度g＝________；由此得到的g值會________(選填“偏小”“不變"“偏大”）。［解析］(1）由圖示游標卡尺可知，主尺示數是16mm，游標尺示數是4×0.1mm＝0。4mm，金屬球的直徑為16mm＋0。4mm＝16.4mm。(2）由于測得擺球經過n次全振動的總時間為Δt,所以該單擺的周期為T＝eq\f（Δt，n）.（3）由單擺周期公式T＝2πeq\r（\f（L,g))可知T2＝eq\f(4π2,g)L,則T2.L圖象的斜率k＝eq\f（4π2，g)，則重力加速度g＝eq\f(4π2,k），但同學們不小心每次都把小球直徑當作半徑來計算擺長，則有T2＝eq\f(4π2，g）(L－r)，由此得到的T2-L圖象是圖乙中的①，由于圖線的斜率不變，計算得到的g值不變，由圖象可得k＝eq\f(b,a）,當地重力加速度g＝eq\f(4π2a,b）.［答案]（1）16.4（2）eq\f(Δt,n）（3)①eq\f（4π2a,b）不變2．在“用單擺測定重力加速度”的實驗中，測出了單擺在擺角小于5°時完成n次全振動的時間為t，如圖甲所示用毫米刻度尺測得擺線長為L，又用游標卡尺測得擺球直徑為d，如圖乙所示。甲乙丙（1）由圖可知擺球直徑是________cm，單擺擺長是________m。(2）實驗中某同學每次的測定值都比其它同學偏大，其原因可能是________。A．他的擺球比別的同學的重B．他的擺沒在豎直面內擺動，而成了圓錐擺C．數擺動次數時，在計時的同時,就開始數1，誤將29次全振動記成了30次D．直接將線長作為擺長來計算（3)利用單擺周期公式測定重力加速度時測出不同擺長L時相應的周期值T,做T2。L圖線，如圖丙所示。T2與L的關系式T2＝________，利用圖線上任兩點A、B的坐標（x1，y1)、（x2,y2)可求出圖線的斜率k＝________,再由k可求出g＝________。[解析］（1）游標卡尺的主尺讀數為20mm，游標讀數為0。1×0mm＝0.0mm,則最終讀數為20.0mm＝2.00cm，擺長的大小l＝L＋eq\f(d，2）＝99.00cm＋1。00cm＝100。00cm＝1。0000m。（2)根據T＝2πeq\r(\f(l,g）)得，g＝eq\f(4π2l，T2)＝eq\f（4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（L＋\f（d，2））),T2）①。由公式①可知，重力加速度的測量值的大小與擺球的質量無關，故A錯誤；他的擺沒在豎直面內擺動，而成了圓錐擺，設圓錐擺的擺線與豎直方向之間的夾角為θ，則：mgtanθ＝m·eq\f（4π2，T2)·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(L＋\f(d,2)))·sinθ,可得：T＝2πeq\r(\f（L＋\f(d，2),g）cosθ)，可知圓錐擺的周期小于單擺的周期；由于T的測量值減小,所以重力加速度g的測量值增大，故B正確；數擺動次數時，在計時的同時，就開始數1，誤將29次全振動記成了30次,則周期的測量值:T＝eq\f(t，n)，全振動次數n增大，則周期T的測量值減小,所以重力加速度g的測量值增大，故C正確；直接將線長作為擺長來計算，則擺長L減小，所以重力加速度g的測量值減小，故D錯誤。（3)根據T＝2πeq\r(\f(L，g))得：T2＝eq\f（4π2L，g)則圖線的斜率為：k＝eq\f（y2－y1，x2－x1)＝eq\f（4π2,g)則有：g＝eq\f（4π2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2－x1））,y2－y1）＝eq\f（4π2，k）。[答案］（1)2.001.0000（2)BC(3)eq\f（4π2L,g）eq\f(y2－y1,x2－x1）eq\f(4π2，k）3．在“用單擺測定重力加速度"的實驗中：（1）由公式g＝eq\f(4π2L,T2）求得的g值偏小，可能是由于________.A．測量擺長時,只測量了擺線長度B．懸點固定不牢，擺動中擺線被拉長了C．測量周期時,將N次全振動誤記為N＋1次全振動D．選擇了質量大體積小的擺球(2）下列擺動圖象真實地描述了對擺長約為1m的單擺進行周期測量的四種操作過程，圖中橫坐標原點表示計時開始,A、B、C均為30次全振動圖象，已知sin5°＝0。087，sin15°＝0。026,這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________（填字母代號）.ABCD（3）某同學利用單擺測定當地重力加速度，發現單擺靜止時擺球重心在球心的正下方。他仍將從懸點到球心的距離當作擺長L,通過改變擺線的長度，測得6組L和對應的周期T，畫出L-T2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個點，坐標如圖所示。他采用恰當的數據處理方法，則計算重力加速度的表達式應為g＝________。請你判斷該同學得到的實驗結果與擺球重心就在球心處的情況相比，將________（填“偏大”“偏小”或“相同”）。［解析］（1）根據公式g＝eq\f(4π2L，T2）：若測量擺長時，只測量了擺線長度，測得擺線比實際小,則測量的g值偏小，A正確;擺動中擺線被拉長了，導致實際擺線比測量擺線長，即測量擺線短，根據公式g＝eq\f(4π2L,T2)，可知，測量g值偏小，B正確；測量周期時,將N次全振動誤記為N＋1次全振動,使得測量周期偏小,根據公式可知,測量g值偏大，C錯誤;實驗中為了減小阻力帶來的誤差，選擇質量大體積小的擺球，所以選擇了質量大體積小的擺球,測量g值不會偏小，D錯誤。(2）擺角小于5°，我們認為小球做簡諧運動,擺長約為1m的單擺，可以計算得出振幅:A<1×sin5°＝0。087m，可近似為8cm，而在測量時間時，為了減小誤差，從平衡位置開始計時，所以B、C、D錯誤，A正確.（3)根據單擺周期公式:T＝2πeq\r(\f(L,g））,得：L＝eq\f（gT2,4π2），則圖象斜率k＝eq\f(g,4π2)＝eq\f(LB－LA,T\o\al(2，B）－T\o\al(2,A)),所以g＝eq\f(4π2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（LB－LA)），T\o\al（2,B)－T\o\al（2,A）)；由圖象可知L與T2成正比,由于單擺擺長偏大還是偏小不影響圖象的斜率k，因此擺長偏小不影響重力加速度的測量值，用圖線法求得的重力加速度準確,該同學得到的實驗結果與擺球重心就在球心處的情況相比，將相同。[答案］（1)AB(2）A（3）eq\f（4π2LB－LA,T\o\al(2,B)－T\o\al(2,A））相同實驗拓展與創新利用DIS測周期[典例示法］在“利用單擺測重力加速度”的實驗中：(1)某同學嘗試用DIS測量周期。如圖，用一個磁性小球代替原先的擺球，在單擺下方放置一個磁傳感器,其軸線恰好位于單擺懸掛點正下方。圖中磁傳感器的引出端A應接到數據采集器.使單擺做小角度擺動，當磁感應強度測量值最大時，磁性小球位于________。若測得連續N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期的測量值為________（地磁場和磁傳感器的影響可忽略）.(2)多次改變擺長使單擺做小角度擺動,測量擺長L及相應的周期T。此后，分別取L和T的對數,所得到的lgT.lgL圖線為________(選