考點02指對數函數及相關運算一、單選題1．函數恒過定點（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令指數為零，求出的值，并代入函數的解析式，即可得出定點的坐標.【詳解】令，得，，因此，定點的坐標為.故選：D.【點睛】本題考查指數型函數圖象過定點問題，一般利用指數為零可求得定點的坐標，考查運算求解能力，屬于基礎題.2．已知，由此可以推斷是（）位整數.A． B． C． D．【答案】C【分析】令，兩邊取對數后求得，由此可得的整數位.【詳解】解：∵，令，∴，則，∴是位整數.故選：C.3．圖中、、為三個冪函數在第一象限內的圖象，則解析式中指數的值依次可以是（）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3【答案】D【詳解】由題意得，根據冪函數的圖象與性質可知，，所以解析式中指數的值依次可以是，故選：D．4．設，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據對數的性質有，由指數函數單調性有，即可知a，b，c的大小關系.【詳解】，，又，∴，故選：D5．已知則（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用分段函數解析式，結合對數運算，求得的值.【詳解】因為，所以，而，故，故．故選：D【點睛】本題考查分段函數求值，屬于基礎題.6．已知，且，則函數與的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論或，首先判斷的圖象，再判斷圖象即可得出結果.【詳解】若，函數的圖象下降，即為減函數，且過，的圖象下降，即為減函數，且以上圖象C符合；若，函數的圖象上升，即為增函數，且過，的圖象上升，即為增函數，以上圖象都不符合.故選：C7．設，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據已知求出，再求的值.【詳解】，，則.故選D【點睛】本題主要考查對數的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8．函數在區間上是減函數，則的取值范圍是（）A． B．， C．， D．【答案】C【分析】先確定，再轉化為在區間上為減函數，且，即可求得的取值范圍.【詳解】解：若，則在區間上為增函數，不可能，舍去；

若，則在區間上為減函數，且,

即的取值范圍是.

故選：C.【點睛】本題考查對數型復合函數的單調性，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題.二、多選題9．若函數是冪函數，則一定（）A．是偶函數 B．是奇函數C．在上單調遞減 D．在上單調遞增【答案】BD【分析】根據函數是冪函數，由求得m，再逐項判斷.【詳解】因為函數是冪函數，所以，解得或，所以或，由冪函數性質知是奇函數且單調遞增，故選：BD.10．下列根式與分數指數冪的互化正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由根式與分式指數冪互化的法則，逐項判斷即可得解.【詳解】對于選項A，因為，而，所以A錯誤；對于選項B，因為，所以B錯誤；對于選項C，因為成立，所以C正確；對于選項D，當時，，所以D正確.故選：CD.【點睛】本題考查了根式與分式指數冪的互化，考查了運算求解能力，注意底數的取值范圍是解題關鍵，屬于基礎題.11．對于函數的定義域中任意的，有如下結論:當時，上述結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由指數冪的運算性質判斷A，B，由指數函數的單調性判斷C，由指數冪和根式的互化結合基本不等式判斷D．【詳解】對于A，，，，正確；對于B，，，，錯誤；對于C，在定義域中單調遞增，，正確；對于D，，又，則，正確；故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題考查命題的真假判斷，考查指數函數的性質，考查基本不等式的應用，解決本題的關鍵點是將指數冪形式化為根式，即，利用指數冪的運算結合基本不等式放縮得出答案，并驗證取等條件，考查了學生邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題．12．關于函數，下列說法正確的是（）A．定義域為 B．定義域為C．值域為 D．遞增區間為【答案】ACD【分析】令可得函數定義域，在定義域內求出的值域，可得函數的值域，根據復合函數的單調性可得函數單調性．【詳解】解：令，得，即函數的定義域為，A正確，B錯誤；，，C正確；令，則其在在上單調遞增，上單調遞減，又在上單調遞減，由復合函數的單調性得的遞增區間為，D正確；故選：ACD．三、填空題13．計算：________.【答案】【分析】利用對數和指數的運算性質可求得所求代數式的值.【詳解】原式.故答案為：.14．函數的定義域為_______．【答案】【分析】將函數解析式變形為，即可求得原函數的定義域.【詳解】，所以，.因此，函數的定義域為.故答案為：.15．是偶函數，當時，，則不等式的解集為____________.【答案】【分析】根據條件可得出，當時，由得出，然后根據是偶函數即可得出不等式的解集．【詳解】解：當時，由，得，解得.因為為偶函數，所以的解集為.故答案為：16．已知函數，若在上是增函數，則實數的取值范圍是________．【答案】【分析】根據函數在上是增函數，分段函數在整個定義域內單調，則在每個函數內單調，注意銜接點的函數值.【詳解】解：因為函數在上是增函數，所以在區間上是增函數且在區間上也是增函數，對于函數在上是增函數，則；①對于函數，（1）當時，，外函數為定義域內的減函數，內函數在上是增函數，根據復合函數“同增異減”可得時函數在區間上是減函數，不符合題意，故舍去，（2）當時，外函數為定義域內的增函數，要使函數在區間上是增函數，則內函數在上也是增函數，且對數函數真數大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函數則在銜接點處函數值應滿足：，化簡得，③由①②③得，，所以實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用單調性求參數方法如下：（1）依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較；（2）需注意若函數在區間上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的；（3）分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值．四、解答題17．（1）計算×+80.25×（2）已知＝3，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接根據將根數轉化為冪運算可得解；（2）分別計算和代入可得解.【詳解】（1）×+80.25×（2）∵＝3，∴，故．18．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】利用對數與指數的運算法則及性質即可得到結果.【詳解】（1）原式；（2）方法一：原式；方法二：原式lg；（3）原式.【點睛】本題考查了指數與對數的運算法則，考查計算能力，屬于基礎題.19．已知幕函數在上是增函數（1）求的解析式（2）若，求的取值范圍【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得且即可求解；（2）由（1）知，所以為上的增函數，根據單調性和根式有意義即可求的范圍，進而可求的取值范圍【詳解】（1）因為是冪函數，所以，即解得：或，因為在上是增函數，所以，解得，所以，故（2）由（1）知，所以為上的增函數，所以，解得：，所以，即故的取值范圍是．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是熟悉冪函數的性質，冪函數形式為系數為，可得，當時在上是增函數，所以，可求出，，第二問利用單調性即可解不等式.20．已知函數（1）當為何值時，為奇函數；（2）求證：為上的增函數.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用奇函數的性質即可求出；（2）任取，計算化簡判斷正負，即可得出結論.【詳解】（1）函數定義域為R，若函數為奇函數，則，解得.當時，，，滿足，故當時，為奇函數；（2）證明：，定義域為R，設，，，，又，所以為上的增函數.【點睛】思路點睛：利用定義判斷函數單調性的步驟：（1）在定義域內任取；（2）計算并化簡整理；（3）判斷的正負；（4）得出結論，若，則單調遞增；若，則單調遞減.21．知函數（1）若函數的定義域為，求實數的取值范圍；（2）若函數在上恒有意義，求的取值范圍；（3）是否存在實數，使得函數在區間上為增函數，且最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）將問題轉化為在上恒成立問題，利用二次函數的性質列不等式求解；（2）將問題轉化為在上恒成立問題，利用參變分離，轉化為最值問題求解；（3）利用復合函數單調性及最值列不等式求解．【詳解】解：（1）因為函數的定義域為，則在上恒成立，當時，，得，不合題意舍去；當時，，解得，綜合得；（2）函數在上恒有意義，即在上恒成立，恒成立，令，，則，當時，，；（3）當時，或，解得，當時，或，解得．故存在實數，使得函數在區間上為增函數，且最大值為2．【點睛】方法點睛：恒成立問題有兩種處理方式，一．直接轉化為最值問題，這種方式可能要分類討論；二．先參變分離，再轉化為最值問題，這種方式可避免分類討論．22．已知定義在上的函數滿足：①對任意的，都有；②當且僅當時，成立.（1）求；（2）設，若，試比較，的大小關系，并說明理由；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）.【分析】（1）令，代入可得；（2）記，代入已知等式，由可得，從而有，得結論；（3）根據函數的性質，不等式變形為恒成立，然后設后轉化為一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再轉化為求函數的最值，可求得參數范圍．【詳解】（1）令，則，所以.（2），理由如下：