作業：3-4、3-19第三章靜電場的邊值問題

主要內容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。作業：3-4、3-19第三章靜電場的邊值問題主要1*3-1電位微分方程及其解的唯一性對上式兩邊取散度，得已知，電位

與電場強度

的關系為

對于線性各向同性的均勻介質，電場強度

的散度為

那么，線性各向同性的均勻介質中，電位滿足的微分方程式為該方程稱為泊松方程。

*3-1電位微分方程及其解的唯一性對上式兩邊取散度，得已2對于無源區，上式變為上式稱為拉普拉斯方程。

泊松方程的求解已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產生的電位為因此，上式就是電位微分方程在自由空間的解。

應用格林函數

，即可求出泊松方程的通解為對于無源區，上式變為上式稱為拉普拉斯方程。泊松方程的求解3式中格林函數為若V為無源區，那么上式中的體積分為零。因此，第二項面積分可以認為是泊松方程在無源區中的解，或者認為是拉普拉斯方程以格林函數表示的積分解。

對于無限大的自由空間，表面S

趨向無限遠處，由于格林函數 及電位

均與距離成反比，而

與距離平方成正比，所以，對無限遠處的S

表面，上式中的面積分為零。數學物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規律。對于某一特定的區域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統稱為該方程的定解條件。式中格林函數為若4靜電場的場量與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。通常給定的邊界條件有三種類型：

第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向導數值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。

第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向導數值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。

第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷問題。靜電場的場量與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉5對于任何數學物理方程需要研究解的存在、穩定及惟一性問題。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩定性在數學中已經得到證明。可以證明電位微分方程解也是惟一的。由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩定性具有重要的實際意義。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。解的穩定性是指當定解條件發生微小變化時，所求得的解是否會發生很大的變化。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。對于任何數學物理方程需要研究解的存在、穩定及惟一性問題。6

唯一性定理是靜電場邊值問題的一個重要定理，表述為：在場域V的邊界面S上，給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內具有唯一解。因此，對于導體邊界的靜電場問題，當邊界上的電位，或電位的法向導數給定時，或導體表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。

惟一性定理的重要意義給出了靜態場邊值問題具有惟一解的條件為靜態場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據為求解結果的正確性提供了判據唯一性定理是靜電場邊值問題的一個重要定理，表述7例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：8

惟一性定理的證明反證法：假設解不惟一，則有兩個位函數和在場域V內滿足同樣的方程，即且在邊界面S

上有且在邊界面S

上滿足同樣的邊界條件。令，則在場域V內或或惟一性定理的證明反證法：假設解不惟一，則有兩個位函數且在邊9由格林第一恒等式可得到對于第一類邊界條件：對于第二類邊界條件：若和取同一點Q為參考點，則對于第三類邊界條件：由格林第一恒等式可得到對于第一類邊界條件：對于第二類邊界條件103-2鏡像法實質:是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。依據：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

3-2鏡像法實質:是以一個或幾個等效電荷代替11（1）點電荷與無限大的導體平面介質導體qrP介質qrPhh介質以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'共同產生，即考慮到無限大導體平面的電位為零，求得（1）點電荷與無限大的導體平面介質導體qrP12電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體表面吻合。電場線等位線z電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半13電荷守恒：當點電荷q

位于無限大的導體平面附近時，導體表面將產生異性的感應電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導體表面上的感應電荷。可見，上述鏡像法的實質是以一個異性的鏡像點電荷代替導體表面上異性的感應電荷的作用。根據電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應該等于這些感應電荷的總電量，讀者可以根據導體表面電荷密度與電場強度或電位的關系證明這個結論。半空間等效：上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。電荷守恒：當點電荷q位于無限大的導體平面附近時，導14q對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是僅當這種導體劈的夾角等于

的整數(n)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入(2n-1)個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3/3q連續分布的線電荷位于無限大的導體平面附近時，根據疊加原理得知，同樣可以應用鏡像法求解。對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是僅當這種導體劈的夾角等于

的整數(n)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入(2n-1)個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入

5

個鏡像電荷。

q對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法15fqo（2）點電荷與導體球Padrq

1)若導體球接地，導體球的電位為零。為了等效導體球邊界的影響，令鏡像點電荷q'位于球心與點電荷q的連線上。那么，球面上任一點電位為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為fqo（2）點電荷與導體球Padrq1)若導體球16為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數值。由上圖可見，若要求三角形△OPq與△

OqP相似，則常數。由此獲知鏡像電荷應為鏡像電荷離球心的距離d應為這樣，根據q及q'

即可計算球外空間任一點的電場強度。qfOPadq為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值17點電荷對不接地導體球的鏡像先設想導體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應電荷分布，則

導體球不接地時的特點：導體球面是電位不為零的等位面球面上位于點電荷一側的導體球表面上的感應電荷為負值，而另一側表面上的感應電荷為正值。

采用疊加原理來確定鏡像電荷點電荷q位于一個半徑為a的不接地導體球外，距球心為d

。PqarRd點電荷對不接地導體球的鏡像先設想導體球是接地18然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導體球上，從而使總電荷為零。為保持導體球面為等位面，所加的電荷－q'

可用一個位于球心的鏡像電荷q"來替代，即球外任意點的電位為qPaq'rR'Rdd'q"然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導體球上，193)點電荷對接地空心導體球殼的鏡像如圖所示接地空心導體球殼的內半徑為a、外半徑為b，點電荷q

位于球殼內，與球心相距為d(d<a)，求球內電位。aqdobq'rR'Raqdod'3)點電荷對接地空心導體球殼的鏡像如圖所示接地20

由于球殼接地，感應電荷分布在球殼的內表面上。與鏡像電荷q

應位于導體球殼外，且在點電荷q與球心的連線的延長線上。與點荷位于接地導體球外同樣的分析，可得到

|q'|>|q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑

b

無關（為什么？）由于球殼接地，感應電荷分布在球殼的內表面上。與21l（3）線電荷與帶電的導體圓柱Pafdr-lO在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d

處，平行放置一根鏡像電荷。已知無限長線電荷產生的電場強度為因此，離線電荷r處，以為參考點的電位為l（3）線電荷與帶電的導體圓柱Pafdr-lO在22若令鏡像線電荷產生的電位也取相同的作為參考點，則及在圓柱面上P點共同產生的電位為已知導體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，必須要求比值為常數。與前同理，可令，由此得若令鏡像線電荷產生的電位也取相同的作為23兩平行圓柱導體的電軸問題：如圖1所示，兩平行導體圓柱的半徑均為a，兩導體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷和。圖1兩平行圓柱導體兩平行圓柱導體的電軸問題：如圖1所示，兩平行導體圓柱的半徑均24圖2兩平行圓柱導體的電軸特點：由于兩圓柱帶電導體的電場互相影響，使導體表面的電荷分布不均勻，相對的一側電荷密度大，而相背的一側電荷密度較小。分析方法：將導體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b

的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖2所示。圖2兩平行圓柱導體的電軸特點：由于兩圓柱帶25圖2兩平行圓柱導體的電軸通常將帶電細線的所在的位置稱為圓柱導體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由

利用線電荷與接地導體圓柱面的鏡像確定b。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導體問題？圖2兩平行圓柱導體的電軸通常將帶電細線的所26（4）點電荷與無限大的介質平面E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+為了求解上半空間的場可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變為介電常數為1的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"等效原來的點電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變為介電常數為2的均勻空間。（4）點電荷與無限大的介質平面E11qr0E'E27但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續，電位移的法向分量應該相等，即

已知各個點電荷產生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切28

例已知同軸線的內導體半徑為a，電位為V，外導體接地，其內半徑為b。試求內外導體之間的電位分布函數以及電場強度。

解對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標系。由于場量僅與坐標r

有關，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標系中的展開式只剩下包含變量r的一項，即電位微分方程為求得VbaO例已知同軸線的內導體半徑為a，電位為V，外導體接29利用邊界條件：求得最后求得利用邊界條件：求得最后求得30由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現的積分常數，選擇適當的坐標系是非常重要的。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標系、圓柱坐標系及球坐標系。此外，由于同軸線中的電位函數僅與一個坐標變量r有關，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標變量有關。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于11種坐標系都是行之有效的。由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求313-3直角坐標系中的分離變量法

無源區中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標系中的展開式為令代入上式，兩邊再除以X(x)Y(y)Z(z)，得

顯然，式中各項僅與一個變量有關。因此，將上式對變量x求導，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導數為零，說明了第一項等于常數。同理，再分別對變量y

及z求導，得知第二項及第三項也分別等于常數。令各項的常數分別為，分別求得3-3直角坐標系中的分離變量法無源區中電位滿足的拉普拉32式中kx，ky，kz

稱為分離常數，它們可以是實數或虛數。顯然，三個分離常數并不是獨立的，它們必須滿足下列方程由上可見，經過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結構，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量x的常微分方程的通解為或者式中A,B,C,D為待定常數。式中kx，ky，kz稱為分離常數，它們可以是實數或虛33分離常數也可為虛數。當kx為虛數時，令，則上述通解變為或者含變量x或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數也取決于給定的邊界條件。

分離常數也可為虛數。當kx為虛數時，令34例兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導電平面封閉，且與無限大接地導體平面絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的槽中電位分布。Odxy=0=0=0解選取直角坐標系。由于導電平面沿z

軸無限延伸，槽中電位分布函數一定與z無關，因此，這是一個二維場的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變為例兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d，其有35應用分離變量法，令根據題意，槽中電位應滿足的邊界條件為為了滿足及邊界條件，應選Y(y)的解為因為y=0時，電位=0，因此上式中常數B=0。為了滿足邊界條件，分離常數ky應為

應用分離變量法，令根據題意，槽中電位應滿足的邊界條件為為了滿36求得已知，求得可見，分離常數kx為虛數，故X(x)的解應為因為x=0時，電位，因此，式中常數C=0，即那么，式中常數C=AD。求得已知，求得可見，分離常數kx為虛37由邊界條件獲知，當x=0時，電位=0，代入上式，得上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即為了滿足x=0，=0

邊界條件，由上式得由邊界條件獲知，當x=0時，電位=0，代38上式右端為傅里葉級數。利用傅里葉級數的正交性，可以求出系數Cn為最后求得槽中電位分布函數為式中。0dxy=0=0=0電場線等位面電場線及等位面分布如右圖示：上式右端為傅里葉級數。利用傅里葉級數的正交性，可以求出系數C39作業：3-4、3-19作業：3-4、3-19403-4圓柱坐標系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標系中的展開式為令其解為代入上式求得上式中第二項僅為變量

的函數，而第一項及第三項與無關，因此將上式對

求導，得知第二項對的導數為零，可見第二項應為常數，令

3-4圓柱坐標系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標41即式中k為分離常數，它可以是實數或虛數。通常變量

的變化范圍為，那么此時場量隨

的變化一定是以2

為周期的周期函數。因此，上式的解一定是三角函數，且常數k一定是整數，以保證函數的周期為2。令，m為整數，則上式的解為式中A,B為待定常數。

考慮到，以及變量的方程式，則前述方程可表示為即式中k為分離常數，它可以是實數或虛數。通常變量42上式左邊第一項僅為變量r的函數，第二項僅為變量z

的函數，因此按照前述理由，它們應分別等于常數，令

即式中分離常數kz可為實數或虛數，其解可為三角函數，雙曲函數或指數函數。當kz為實數時，可令式中C,D

為待定常數。將變量z方程代入前式，得上式左邊第一項僅為變量r的函數，第二項僅為變量z的43若令，則上式變為上式為標準的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數，即

至此，我們分別求出了R(r)

,(),Z(z)的解，而電位微分方程的通解應為三者乘積，或取其線性組合。式中E,F為待定常數,為m階第一類柱貝塞爾函數，為m階第二類柱貝塞爾函數。根據第二類柱貝塞爾函數的特性知，當r=0時，。因此，當場存在的區域包括

r=0

時，此時只能取第一類柱貝塞爾函數作為方程的解。

若令，則上式變為上式為標準的柱貝塞爾方程，其44若所討論的靜電場與變量z無關，則分離常數。那么電位微分方程變為此方程的解為指數函數，即若所討論的靜電場又與變量無關，則m=0。那么，電位微分方程的解為

考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式

若所討論的靜電場與變量z無關，則分離常數45例設一根無限長、半徑為a的導體圓柱放入無限大的均勻靜電場中，電場強度方向垂直于導體圓柱，如圖所示。試求導體圓柱外的電場強度。

解選取圓柱坐標系，令z

軸為圓柱軸線，電場強度的方向與x軸一致，即

當導體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內的電場強度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強度切向分量為零，且柱外的電位分布函數應與z無關。解的形式可取前述一般形式，但應滿足下列兩個邊界條件：xyaE0O例設一根無限長、半徑為a的導體圓46①由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即因此②無限遠處的電場未受到擾動，因此電位應為此式表明，無限遠處電位函數僅為cos的函數，可見系數，且m=0。因此電位函數為①由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即因此②無限遠處47那么，根據應滿足的邊界條件即可求得系數B1，D1

應為代入前式，求得柱外電位分布函數為則柱外電場強度為那么，根據應滿足的邊界條件即可求得系數B1，D1應為代入48xyaE0電場線等位面圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如下圖示：xyaE0電場線等位面圓柱外電場線、等位面以493-5球坐標系中的分離變量法電位微分方程在球坐標系中的展開式為令代入上式，得與前同理，的解應為3-5球坐標系中的分離變量法電位微分方程在球坐標系中50可見，上式中第一項僅為r的函數，第二項與r無關。因此，與前同理第一項應為常數。為了便于進一步求解，令

式中n為整數。這是尤拉方程，其通解為將此結果代入上式，得可見，上式中第一項僅為r的函數，第二項與r無關。因此51令，則上式變為上式為連帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數與第二類連帶勒讓德函數之和，這里m<n

。

當n是整數時，及為有限項多項式。因此，要求n為整數。

根據第二類連帶勒讓德函數的特性知，當時，。因此，當場存在的區域包括

或

時，，此時只能取第一類連帶勒讓德函數作為方程的解。所以，通常令令，則上式變為上式為連帶勒讓德方程，其通解52那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合若靜電場與變量

無關，則m=0。那么稱為第一類勒讓德函數。此時，電位微分方程的通解為那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合53

例設半徑為a，介電常數為的介質球放在無限大的真空中，受到其內均勻電場E0

的作用，如圖所示。試求介質球內的電場強度。

E0zy

0a解取球坐標系，令E0的方向與z軸一致，即。顯然，此時場分布以z

軸為旋轉對稱，因此與無關。這樣，球內外的電位分布函數可取為則球內外電位分別為例設半徑為a，介電常數為的介質球放在54球內外電位函數應該滿足下列邊界條件：

①球心電位應為有限值；②無限遠處電場未受干擾，因此電位應為③球內電位與球外電位在球面上應該連續，即④根據邊界上電位移法向分量的連續性，獲知球面上內外電位的法向導數應滿足球內外電位函數應該滿足下列邊界條件：①球心電位55考慮到邊界條件①，系數Dn應為零，即為了滿足邊界條件②，除了A1

以外的系數An應皆為零，且。即

再考慮到邊界條件③，得

為了進一步滿足邊界條件④，得式中考慮到邊界條件①，系數Dn應為零，即為了56由于上兩式對于所有的值均應滿足，因此等式兩邊對應的各項系數應該相等。由此獲知各系數分別為

代入前式，求得球內外電位分別為由于上兩式對于所有的值均應滿足，因此57E0zy

0a值得注意的是球內的電場分布。已知，求得球內的電場為可見，球內電場仍然為均勻電場，而且球內場強低于球外場強。球內外的電場線如圖示。如果在無限大的介電常數為

的均勻介質中存在球形氣泡，那么當外加均勻電場時，氣泡內的電場強度應為那么，泡內的場強高于泡外的場強。E0zy0a值得注意的是球內的電場分布。已知58作業：3-4、3-19第三章靜電場的邊值問題

主要內容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。作業：3-4、3-19第三章靜電場的邊值問題主要59*3-1電位微分方程及其解的唯一性對上式兩邊取散度，得已知，電位

與電場強度

的關系為

對于線性各向同性的均勻介質，電場強度

的散度為

那么，線性各向同性的均勻介質中，電位滿足的微分方程式為該方程稱為泊松方程。

*3-1電位微分方程及其解的唯一性對上式兩邊取散度，得已60對于無源區，上式變為上式稱為拉普拉斯方程。

泊松方程的求解已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產生的電位為因此，上式就是電位微分方程在自由空間的解。

應用格林函數

，即可求出泊松方程的通解為對于無源區，上式變為上式稱為拉普拉斯方程。泊松方程的求解61式中格林函數為若V為無源區，那么上式中的體積分為零。因此，第二項面積分可以認為是泊松方程在無源區中的解，或者認為是拉普拉斯方程以格林函數表示的積分解。

對于無限大的自由空間，表面S

趨向無限遠處，由于格林函數 及電位

均與距離成反比，而

與距離平方成正比，所以，對無限遠處的S

表面，上式中的面積分為零。數學物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規律。對于某一特定的區域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統稱為該方程的定解條件。式中格林函數為若62靜電場的場量與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。通常給定的邊界條件有三種類型：

第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向導數值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。

第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向導數值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。

第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷問題。靜電場的場量與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉63對于任何數學物理方程需要研究解的存在、穩定及惟一性問題。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩定性在數學中已經得到證明。可以證明電位微分方程解也是惟一的。由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩定性具有重要的實際意義。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。解的穩定性是指當定解條件發生微小變化時，所求得的解是否會發生很大的變化。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。對于任何數學物理方程需要研究解的存在、穩定及惟一性問題。64

唯一性定理是靜電場邊值問題的一個重要定理，表述為：在場域V的邊界面S上，給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內具有唯一解。因此，對于導體邊界的靜電場問題，當邊界上的電位，或電位的法向導數給定時，或導體表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。

惟一性定理的重要意義給出了靜態場邊值問題具有惟一解的條件為靜態場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據為求解結果的正確性提供了判據唯一性定理是靜電場邊值問題的一個重要定理，表述65例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：66

惟一性定理的證明反證法：假設解不惟一，則有兩個位函數和在場域V內滿足同樣的方程，即且在邊界面S

上有且在邊界面S

上滿足同樣的邊界條件。令，則在場域V內或或惟一性定理的證明反證法：假設解不惟一，則有兩個位函數且在邊67由格林第一恒等式可得到對于第一類邊界條件：對于第二類邊界條件：若和取同一點Q為參考點，則對于第三類邊界條件：由格林第一恒等式可得到對于第一類邊界條件：對于第二類邊界條件683-2鏡像法實質:是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。依據：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

3-2鏡像法實質:是以一個或幾個等效電荷代替69（1）點電荷與無限大的導體平面介質導體qrP介質qrPhh介質以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'共同產生，即考慮到無限大導體平面的電位為零，求得（1）點電荷與無限大的導體平面介質導體qrP70電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體表面吻合。電場線等位線z電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半71電荷守恒：當點電荷q

位于無限大的導體平面附近時，導體表面將產生異性的感應電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導體表面上的感應電荷。可見，上述鏡像法的實質是以一個異性的鏡像點電荷代替導體表面上異性的感應電荷的作用。根據電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應該等于這些感應電荷的總電量，讀者可以根據導體表面電荷密度與電場強度或電位的關系證明這個結論。半空間等效：上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。電荷守恒：當點電荷q位于無限大的導體平面附近時，導72q對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是僅當這種導體劈的夾角等于

的整數(n)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入(2n-1)個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3/3q連續分布的線電荷位于無限大的導體平面附近時，根據疊加原理得知，同樣可以應用鏡像法求解。對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是僅當這種導體劈的夾角等于

的整數(n)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入(2n-1)個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入

5

個鏡像電荷。

q對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法73fqo（2）點電荷與導體球Padrq

1)若導體球接地，導體球的電位為零。為了等效導體球邊界的影響，令鏡像點電荷q'位于球心與點電荷q的連線上。那么，球面上任一點電位為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為fqo（2）點電荷與導體球Padrq1)若導體球74為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數值。由上圖可見，若要求三角形△OPq與△

OqP相似，則常數。由此獲知鏡像電荷應為鏡像電荷離球心的距離d應為這樣，根據q及q'

即可計算球外空間任一點的電場強度。qfOPadq為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值75點電荷對不接地導體球的鏡像先設想導體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應電荷分布，則

導體球不接地時的特點：導體球面是電位不為零的等位面球面上位于點電荷一側的導體球表面上的感應電荷為負值，而另一側表面上的感應電荷為正值。

采用疊加原理來確定鏡像電荷點電荷q位于一個半徑為a的不接地導體球外，距球心為d

。PqarRd點電荷對不接地導體球的鏡像先設想導體球是接地76然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導體球上，從而使總電荷為零。為保持導體球面為等位面，所加的電荷－q'

可用一個位于球心的鏡像電荷q"來替代，即球外任意點的電位為qPaq'rR'Rdd'q"然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導體球上，773)點電荷對接地空心導體球殼的鏡像如圖所示接地空心導體球殼的內半徑為a、外半徑為b，點電荷q

位于球殼內，與球心相距為d(d<a)，求球內電位。aqdobq'rR'Raqdod'3)點電荷對接地空心導體球殼的鏡像如圖所示接地78

由于球殼接地，感應電荷分布在球殼的內表面上。與鏡像電荷q

應位于導體球殼外，且在點電荷q與球心的連線的延長線上。與點荷位于接地導體球外同樣的分析，可得到

|q'|>|q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑

b

無關（為什么？）由于球殼接地，感應電荷分布在球殼的內表面上。與79l（3）線電荷與帶電的導體圓柱Pafdr-lO在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d

處，平行放置一根鏡像電荷。已知無限長線電荷產生的電場強度為因此，離線電荷r處，以為參考點的電位為l（3）線電荷與帶電的導體圓柱Pafdr-lO在80若令鏡像線電荷產生的電位也取相同的作為參考點，則及在圓柱面上P點共同產生的電位為已知導體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，必須要求比值為常數。與前同理，可令，由此得若令鏡像線電荷產生的電位也取相同的作為81兩平行圓柱導體的電軸問題：如圖1所示，兩平行導體圓柱的半徑均為a，兩導體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷和。圖1兩平行圓柱導體兩平行圓柱導體的電軸問題：如圖1所示，兩平行導體圓柱的半徑均82圖2兩平行圓柱導體的電軸特點：由于兩圓柱帶電導體的電場互相影響，使導體表面的電荷分布不均勻，相對的一側電荷密度大，而相背的一側電荷密度較小。分析方法：將導體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b

的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖2所示。圖2兩平行圓柱導體的電軸特點：由于兩圓柱帶83圖2兩平行圓柱導體的電軸通常將帶電細線的所在的位置稱為圓柱導體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由

利用線電荷與接地導體圓柱面的鏡像確定b。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導體問題？圖2兩平行圓柱導體的電軸通常將帶電細線的所84（4）點電荷與無限大的介質平面E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+為了求解上半空間的場可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變為介電常數為1的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"等效原來的點電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變為介電常數為2的均勻空間。（4）點電荷與無限大的介質平面E11qr0E'E85但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續，電位移的法向分量應該相等，即

已知各個點電荷產生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切86

例已知同軸線的內導體半徑為a，電位為V，外導體接地，其內半徑為b。試求內外導體之間的電位分布函數以及電場強度。

解對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標系。由于場量僅與坐標r

有關，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標系中的展開式只剩下包含變量r的一項，即電位微分方程為求得VbaO例已知同軸線的內導體半徑為a，電位為V，外導體接87利用邊界條件：求得最后求得利用邊界條件：求得最后求得88由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現的積分常數，選擇適當的坐標系是非常重要的。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標系、圓柱坐標系及球坐標系。此外，由于同軸線中的電位函數僅與一個坐標變量r有關，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標變量有關。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于11種坐標系都是行之有效的。由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求893-3直角坐標系中的分離變量法

無源區中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標系中的展開式為令代入上式，兩邊再除以X(x)Y(y)Z(z)，得

顯然，式中各項僅與一個變量有關。因此，將上式對變量x求導，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導數為零，說明了第一項等于常數。同理，再分別對變量y

及z求導，得知第二項及第三項也分別等于常數。令各項的常數分別為，分別求得3-3直角坐標系中的分離變量法無源區中電位滿足的拉普拉90式中kx，ky，kz

稱為分離常數，它們可以是實數或虛數。顯然，三個分離常數并不是獨立的，它們必須滿足下列方程由上可見，經過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結構，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量x的常微分方程的通解為或者式中A,B,C,D為待定常數。式中kx，ky，kz稱為分離常數，它們可以是實數或虛91分離常數也可為虛數。當kx為虛數時，令，則上述通解變為或者含變量x或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數也取決于給定的邊界條件。

分離常數也可為虛數。當kx為虛數時，令92例兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導電平面封閉，且與無限大接地導體平面絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的槽中電位分布。Odxy=0=0=0解選取直角坐標系。由于導電平面沿z

軸無限延伸，槽中電位分布函數一定與z無關，因此，這是一個二維場的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變為例兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d，其有93應用分離變量法，令根據題意，槽中電位應滿足的邊界條件為為了滿足及邊界條件，應選Y(y)的解為因為y=0時，電位=0，因此上式中常數B=0。為了滿足邊界條件，分離常數ky應為

應用分離變量法，令根據題意，槽中電位應滿足的邊界條件為為了滿94求得已知，求得可見，分離常數kx為虛數，故X(x)的解應為因為x=0時，電位，因此，式中常數C=0，即那么，式中常數C=AD。求得已知，求得可見，分離常數kx為虛95由邊界條件獲知，當x=0時，電位=0，代入上式，得上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即為了滿足x=0，=0

邊界條件，由上式得由邊界條件獲知，當x=0時，電位=0，代96上式右端為傅里葉級數。利用傅里葉級數的正交性，可以求出系數Cn為最后求得槽中電位分布函數為式中。0dxy=0=0=0電場線等位面電場線及等位面分布如右圖示：上式右端為傅里葉級數。利用傅里葉級數的正交性，可以求出系數C97作業：3-4、3-19作業：3-4、3-19983-4圓柱坐標系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標系中的展開式為令其解為代入上式求得上式中第二項僅為變量

的函數，而第一項及第三項與無關，因此將上式對

求導，得知第二項對的導數為零，可見第二項應為常數，令

3-4圓柱坐標系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標99即式中k為分離常數，它可以是實數或虛數。通常變量

的變化范圍為，那么此時場量隨

的變化一定是以2

為周期的周期函數。因此，上式的解一定是三角函數，且常數k一定是整數，以保證函數的周期為2。令，m為整數，則上式的解為式中A,B為待定常數。

考慮到，以及變量的方程式，則前述方程可表示為即式中k為分離常數，它可以是實數或虛數。通常變量100上式左邊第一項僅為變量r的函數，第二項僅為變量z

的函數，因此按照前述理由，它們應分別等于常數，令

即式中分離常數kz可為實數或虛數，其解可為三角函數，雙曲函數或指數函數。當kz為實數時，可令式中C,D

為待定常數。將變量z方程代入前式，得上式左邊第一項僅為變量r的函數，第二項僅為變量z的101若令，則上式變為上式為標準的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數，即

至此，我們分別求出了R(r)

,(),Z(z)的解，而電位微分方程的通解應為三者乘積，或取其線性組合。式中E,F為待定常數,為m階第一類柱貝塞爾函數，為m階第二類柱貝塞爾函數。根據第二類柱貝塞爾函數的特性知，當r=0時，。因此，當場存在的區域包括

r=0

時，此時只能取第一類柱貝塞爾函數作為方程的解。

若令，則上式變為上式為標準的柱貝塞爾方程，其102若所討論的靜電場與變量z無關，則分離常數。那么電位微分方程變為此方程的解為指數函數，即若所討論的靜電場又與變量無關，則m=0。那么，電位微分方程的解為

考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式