本資料來源本資料來源第七章因子分析第一節引言第二節因子分析模型

第三節因子載荷矩陣求解

第四節公因子重要性的分析

第五節實例分析與計算機實現

第七章因子分析第一節引言第二節因子分第一節引言一般認為因子分析是從CharlesSpearman在1904年發表的文章《對智力測驗得分進行統計分析》開始，他提出這種方法用來解決智力測驗得分的統計方法。目前因子分析在心理學、社會學、經濟學等學科中都取得了成功的應用，是多元統計分析中典型方法之一。因子分析(factoranalysis)也是一種降維、簡化數據的技術。它通過研究眾多變量之間的內部依賴關系，探求觀測數據中的基本結構，并用少數幾個“抽象”的變量來表示其基本的數據結構。這幾個抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而因子一般是不可觀測的潛在變量。第一節引言一般認為因子分析是從CharlesSpea例如，在商業企業的形象評價中，消費者可以通過一系列指標構成的一個評價指標體系，評價百貨商場的各個方面的優劣。但消費者真正關心的只是三個方面：商店的環境、商店的服務和商品的價格。這三個方面除了價格外，商店的環境和服務質量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測量，只能通過其它具體指標進行間接反映。因子分析就是一種通過顯在變量測評潛在變量，通過具體指標測評抽象因子的統計分析方法。又比如，在研究區域社會經濟發展中，描述社會與經濟現象的指標很多，過多的指標容易導致分析過程復雜化。一個合適的做法就是從這些關系錯綜復雜的社會經濟指標中提取少數幾個主要因子，每一個主要因子都能反映相互依賴的社會經濟指標間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對復雜的社會經濟發展問題進行深入分析、合理解釋和正確評價。例如，在商業企業的形象評價中，消費者可以通過一系列指標構成的因子分析的內容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是對變量作因子分析，Q型因子分析是對樣品作因子分析。本章側重討論R型因子分析。因子分析的內容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q第二節因子分析模型一因子分析的數學模型

二因子載荷陣的統計意義

第二節因子分析模型一因子分析的數學模型二一、因子分析的數學模型一、因子分析的數學模型應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析無論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<p，m<n，因此，因子分析與主成分分析一樣，也是一種降低變量維數的方法。我們下面將看到，因子分析的求解過程同主成分分析類似，也是從一個協方差陣出發的。因子分析與主成分分析有許多相似之處，但這兩種模型又存在明顯的不同。主成分分析的數學模型本質上是一種線性變換，是將原始坐標變換到變異程度大的方向上去，相當于從空間上轉換觀看數據的角度，突出數據變異的方向，歸納重要信息。而因子分析從本質上看是從顯在變量去“提練”潛在因子的過程。正因為因子分析是一個提練潛在因子的過程，因子的個數m取多大是要通過一定規則確定的，并且因子的形式也不是唯一確定的。一般說來，作為“自變量”的因子F1，F2，…，Fm是不可直接觀測的。這里我們應該注意幾個問題。無論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析二、因子載荷陣的統計意義前面的因子分析模型中出現了一個概念叫因子載荷矩陣，實際上因子載荷矩陣存在明顯的統計意義。為了對因子分析過程和計算結果做詳細的解釋，我們對因子載荷矩陣的統計意義加以說明。二、因子載荷陣的統計意義前面的因子分析模型中出現了一個概念叫應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析第三節因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二約相關陣的估計

第三節因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二一、因子載荷矩陣的求解

一、因子載荷矩陣的求解應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析這樣在模型上就解決了從約相關陣R*出發求載荷矩陣A這樣在模型上就解決了從約相關陣R*出發求載荷矩陣A二、約相關陣的估計

二、約相關陣的估計

應用多元統計分析之因子分析第四節公因子重要性的分析一因子旋轉

二因子得分第四節公因子重要性的分析一因子旋轉二因子得一、因子旋轉因子分析的目標之一就是要對所提取的抽象因子的實際含義進行合理解釋。有時直接根據特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如，可能有些變量在多個公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對許多變量的載荷也不小，說明它對多個變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對因子的實際背景進行合理的解釋。這時需要通過因子旋轉的方法，使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達到中等大小。這時對于每個公共因子而言（即載荷矩陣的每一列），它在部分變量上的載荷較大，在其它變量上的載荷較小，使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離。這時就突出了每個公共因子和其載荷較大的那些變量的聯系，矛盾的主要方面顯現出來了，該公共因子的含義也就能通過這些載荷較大變量做出合理的說明，這樣也顯示了該公共因子的主要性質。一、因子旋轉因子分析的目標之一就是要對所提取的抽象因子的實際

應用多元統計分析之因子分析

應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析當m>2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉。對公因子Fl和Fk進行旋轉，就是對A的第l和k兩列進行正交變換，使這兩列元素平方的相對方差之和達到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為當m>2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉。對公應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析二、因子得分

二、因子得分應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析第五節實例分析與計算機實現一利用SPSS進行因子分析二因子分析在市場研究中的應用第五節實例分析與計算機實現一利用SPSS進行因子分一、利用SPSS進行因子分析

一、利用SPSS進行因子分析 （一）操作步驟 1.在SPSS窗口中選擇Analyze→DataReduction→Factor，調出因子分析主界面圖(7.1)，并將變量X1—X13移入Variables框中。圖7.1因子分析主界面 （一）操作步驟圖7.1因子分析主界面 2.點擊Descriptives按鈕，展開相應對話框，見圖7.2。選擇Initialsolution復選項。這個選項給出各因子的特征值、各因子特征值占總方差的百分比以及累計百分比。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.2Descriptives子對話框 2.點擊Descriptives按鈕，展開相應對話框，見 3.點擊Extraction按鈕，設置因子提取的選項，見圖7.3。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認選項，即“主成分法”。在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關矩陣和協方差矩陣。在Display欄中指定與因子提取有關的輸出項，如未旋轉的因子載荷陣和因子的碎石圖。在Extract欄中指定因子提取的數目，有兩種設置方法：一種是在Eigenvaluesover后的框中設置提取的因子對應的特征值的范圍，系統默認值為1，即要求提取那些特征值大于1的因子；第二種設置方法是直接在Numberoffactors后的矩形框中輸入要求提取的公因子的數目。這里我們均選擇系統默認選項，單擊Continue按鈕，返回主界面。 3.點擊Extraction按鈕，設置因子提取的選項，見圖7.3Extraction子對話框圖7.3Extraction子對話框 4.點擊Rotation按鈕，設置因子旋轉的方法。這里選擇Varimax(方差最大旋轉)，并選擇Display欄中的Rotatedsolution復選框，在輸出窗口中顯示旋轉后的因子載荷陣。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.4Rotation子對話框 4.點擊Rotation按鈕，設置因子旋轉的方法。這里選擇 5.點擊Scores按鈕，設置因子得分的選項。選中Saveasvariables復選框，將因子得分作為新變量保存在數據文件中。選中Displayfactorscorecoefficientmatrix復選框，這樣在結果輸出窗口中會給出因子得分系數矩陣。單擊Continue按鈕返回主界面。

6.單擊OK按鈕，運行因子分析過程。圖7.5Scores子對話框 5.點擊Scores按鈕，設置因子得分的選項。選中Save （二）主要運行結果解釋 1.Communalities（給出變量共同度）變量共同度反映每個變量對所提取的所有公共因子的依賴程度，此數值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的因子個數不同，變量共同度也不同。 2.TotalVarianceExplained（給出各公因子方差貢獻表）InitialEigenvalues給出初始相關矩陣或協差陣矩陣的特征值，用于確定哪些因子應該被提取，共有三項：Total列為各因子對應的特征值，本例中共有四個因子對應的特征值大于1，因此應提取相應的四個公因子；%ofVariance列為各因子的方差貢獻率；Cumulative%列為各因子的累積方差貢獻率，由表7.1可以看出，前四個因子已經可以解釋89.651%的方差。RotationSumsofSquaredLoadings給出提取出的公因子經過旋轉后的方差貢獻情況。 （二）主要運行結果解釋表7.1特征根與方差貢獻率表

表7.1特征根與方差貢獻率表

表7.2旋轉前因子載荷陣表7.2旋轉前因子載荷陣應用多元統計分析之因子分析表7.3旋轉后因子載荷陣

表7.3旋轉后因子載荷陣應用多元統計分析之因子分析注意：在因子表達式中的各變量為進行標準化變換后的標準變量，均值為0，標準差為1。 7.由于我們已經在Scores子對話框中選擇了Saveasvariables復選框，因此，因子得分已經作為新的變量保存在數據文件中，變量名分別為fac1_1、fac2_1、fac3_1和fac4_1。此后，我們還可以利用因子得分進行其他的統計分析。注意：在因子表達式中的各變量為進行標準化變換后的標準變量，均表7.4因子得分系數矩陣

表7.4因子得分系數矩陣二、因子分析在市場研究中的應用表7.5是研究消費者對購買牙膏偏好的調查數據。通過市場的攔截訪問，用7級量表詢問受訪者對以下陳述的認同程度（1表示非常不同意，7表示非常同意）。

V1：購買預防蛀牙的牙膏是重要的；

V2：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏；

V3：牙膏應當保護牙齦；

V4：我喜歡使口氣清新的牙膏；

V5：預防壞牙不是牙膏提供的一項重要利益；

V6：購買牙膏時最重要的考慮是富有魅力的牙齒。二、因子分析在市場研究中的應用表7.5是研究消費者對購買牙膏表7.5牙膏屬性評分得分表表7.5牙膏屬性評分得分表應用多元統計分析之因子分析將表7.5中的數據通過SPSS進行因子分析，得到相關結果是： 1.特征根和累計貢獻率表7.6方差貢獻率表將表7.5中的數據通過SPSS進行因子分析，得到相關結果是：從表7.6可以看出，提取兩個因子累計方差貢獻率就達到82%，第三個特征根相比下降較快，因此我們選取兩個公共因子。 2.因子的含義為了得到意義明確的因子含義，我們將因子載荷陣進行方差最大法旋轉，得到旋轉后的因子載荷矩陣如下表7.7。表7.7旋轉后因子載荷矩陣

從表7.6可以看出，提取兩個因子累計方差貢獻率就達到82%，從因子載荷陣可以看出：因子1與V1（預防蛀牙），V3（保護牙齦），V5（預防壞牙）相關性強，其中V5的載荷是負數，是由于這個陳述是反向詢問的；因子2與V2（牙齒亮澤），V4（口氣清新），V6（富有魅力）的相關系數相對較高。因此，我們命名因子1為“護牙因子”，是人們對牙齒的保健態度；因子2是“美牙因子”，說明人們“‘通過牙膏美化牙齒’影響社交活動”的重視。從這兩方面分析，對牙膏生產企業開發新產品都富有啟發意義。從因子載荷陣可以看出：因子1與V1（預防蛀牙），V3（保護牙本資料來源本資料來源第七章因子分析第一節引言第二節因子分析模型

第三節因子載荷矩陣求解

第四節公因子重要性的分析

第五節實例分析與計算機實現

第七章因子分析第一節引言第二節因子分第一節引言一般認為因子分析是從CharlesSpearman在1904年發表的文章《對智力測驗得分進行統計分析》開始，他提出這種方法用來解決智力測驗得分的統計方法。目前因子分析在心理學、社會學、經濟學等學科中都取得了成功的應用，是多元統計分析中典型方法之一。因子分析(factoranalysis)也是一種降維、簡化數據的技術。它通過研究眾多變量之間的內部依賴關系，探求觀測數據中的基本結構，并用少數幾個“抽象”的變量來表示其基本的數據結構。這幾個抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而因子一般是不可觀測的潛在變量。第一節引言一般認為因子分析是從CharlesSpea例如，在商業企業的形象評價中，消費者可以通過一系列指標構成的一個評價指標體系，評價百貨商場的各個方面的優劣。但消費者真正關心的只是三個方面：商店的環境、商店的服務和商品的價格。這三個方面除了價格外，商店的環境和服務質量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測量，只能通過其它具體指標進行間接反映。因子分析就是一種通過顯在變量測評潛在變量，通過具體指標測評抽象因子的統計分析方法。又比如，在研究區域社會經濟發展中，描述社會與經濟現象的指標很多，過多的指標容易導致分析過程復雜化。一個合適的做法就是從這些關系錯綜復雜的社會經濟指標中提取少數幾個主要因子，每一個主要因子都能反映相互依賴的社會經濟指標間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對復雜的社會經濟發展問題進行深入分析、合理解釋和正確評價。例如，在商業企業的形象評價中，消費者可以通過一系列指標構成的因子分析的內容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是對變量作因子分析，Q型因子分析是對樣品作因子分析。本章側重討論R型因子分析。因子分析的內容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q第二節因子分析模型一因子分析的數學模型

二因子載荷陣的統計意義

第二節因子分析模型一因子分析的數學模型二一、因子分析的數學模型一、因子分析的數學模型應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析無論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<p，m<n，因此，因子分析與主成分分析一樣，也是一種降低變量維數的方法。我們下面將看到，因子分析的求解過程同主成分分析類似，也是從一個協方差陣出發的。因子分析與主成分分析有許多相似之處，但這兩種模型又存在明顯的不同。主成分分析的數學模型本質上是一種線性變換，是將原始坐標變換到變異程度大的方向上去，相當于從空間上轉換觀看數據的角度，突出數據變異的方向，歸納重要信息。而因子分析從本質上看是從顯在變量去“提練”潛在因子的過程。正因為因子分析是一個提練潛在因子的過程，因子的個數m取多大是要通過一定規則確定的，并且因子的形式也不是唯一確定的。一般說來，作為“自變量”的因子F1，F2，…，Fm是不可直接觀測的。這里我們應該注意幾個問題。無論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析二、因子載荷陣的統計意義前面的因子分析模型中出現了一個概念叫因子載荷矩陣，實際上因子載荷矩陣存在明顯的統計意義。為了對因子分析過程和計算結果做詳細的解釋，我們對因子載荷矩陣的統計意義加以說明。二、因子載荷陣的統計意義前面的因子分析模型中出現了一個概念叫應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析第三節因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二約相關陣的估計

第三節因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二一、因子載荷矩陣的求解

一、因子載荷矩陣的求解應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析這樣在模型上就解決了從約相關陣R*出發求載荷矩陣A這樣在模型上就解決了從約相關陣R*出發求載荷矩陣A二、約相關陣的估計

二、約相關陣的估計

應用多元統計分析之因子分析第四節公因子重要性的分析一因子旋轉

二因子得分第四節公因子重要性的分析一因子旋轉二因子得一、因子旋轉因子分析的目標之一就是要對所提取的抽象因子的實際含義進行合理解釋。有時直接根據特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如，可能有些變量在多個公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對許多變量的載荷也不小，說明它對多個變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對因子的實際背景進行合理的解釋。這時需要通過因子旋轉的方法，使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達到中等大小。這時對于每個公共因子而言（即載荷矩陣的每一列），它在部分變量上的載荷較大，在其它變量上的載荷較小，使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離。這時就突出了每個公共因子和其載荷較大的那些變量的聯系，矛盾的主要方面顯現出來了，該公共因子的含義也就能通過這些載荷較大變量做出合理的說明，這樣也顯示了該公共因子的主要性質。一、因子旋轉因子分析的目標之一就是要對所提取的抽象因子的實際

應用多元統計分析之因子分析

應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析當m>2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉。對公因子Fl和Fk進行旋轉，就是對A的第l和k兩列進行正交變換，使這兩列元素平方的相對方差之和達到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為當m>2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉。對公應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析二、因子得分

二、因子得分應用多元統計分析之因子分析應用多元統計分析之因子分析第五節實例分析與計算機實現一利用SPSS進行因子分析二因子分析在市場研究中的應用第五節實例分析與計算機實現一利用SPSS進行因子分一、利用SPSS進行因子分析

一、利用SPSS進行因子分析 （一）操作步驟 1.在SPSS窗口中選擇Analyze→DataReduction→Factor，調出因子分析主界面圖(7.1)，并將變量X1—X13移入Variables框中。圖7.1因子分析主界面 （一）操作步驟圖7.1因子分析主界面 2.點擊Descriptives按鈕，展開相應對話框，見圖7.2。選擇Initialsolution復選項。這個選項給出各因子的特征值、各因子特征值占總方差的百分比以及累計百分比。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.2Descriptives子對話框 2.點擊Descriptives按鈕，展開相應對話框，見 3.點擊Extraction按鈕，設置因子提取的選項，見圖7.3。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認選項，即“主成分法”。在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關矩陣和協方差矩陣。在Display欄中指定與因子提取有關的輸出項，如未旋轉的因子載荷陣和因子的碎石圖。在Extract欄中指定因子提取的數目，有兩種設置方法：一種是在Eigenvaluesover后的框中設置提取的因子對應的特征值的范圍，系統默認值為1，即要求提取那些特征值大于1的因子；第二種設置方法是直接在Numberoffactors后的矩形框中輸入要求提取的公因子的數目。這里我們均選擇系統默認選項，單擊Continue按鈕，返回主界面。 3.點擊Extraction按鈕，設置因子提取的選項，見圖7.3Extraction子對話框圖7.3Extraction子對話框 4.點擊Rotation按鈕，設置因子旋轉的方法。這里選擇Varimax(方差最大旋轉)，并選擇Display欄中的Rotatedsolution復選框，在輸出窗口中顯示旋轉后的因子載荷陣。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.4Rotation子對話框 4.點擊Rotation按鈕，設置因子旋轉的方法。這里選擇 5.點擊Scores按鈕，設置因子得分的選項。選中Saveasvariables復選框，將因子得分作為新變量保存在數據文件中。選中Displayfactorscorecoefficientmatrix復選框，這樣在結果輸出窗口中會給出因子得分系數矩陣。單擊Continue按鈕返回主界面。

6.單擊OK按鈕，運行因子分析過程。圖7.5Scores子對話框 5.點擊Scores按鈕，設置因子得分的選項。選中Save （二）主要運行結果解釋 1.Communalities（給出變量共同度）變量共同度反映每個變量對所提取的所有公共因子的依賴程度，此數值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的因子個數不同，變量共同度也不同。 2.TotalVarianceExplained（給出各公因子方差貢獻表）InitialEigenvalues給出初始相關矩陣或協差陣矩陣的特征值，用于確定哪些因子應該被提取，共有三項：Total列為各因子對應的特征值，本例中共有四個因子對應的特征值大于1，因此應提取相應的四個公因子；%ofVariance列為各因子的方差貢獻率；Cumulative%列為各因子的累積方差貢獻率，由表7.1可以看出，前四個因子已經可以解釋89.651%的方差。RotationSumsofSquaredLoadings給出提取出的公因子經過旋轉后的方差貢獻情況。 （二）主要運行結果解釋表7.1特征根與方差貢獻率表

表7.1特征根與方差貢獻率表