數字信號處理濟南大學控制學院測控技術教研中心離散時間信號與系統數字信號處理濟南大學控制學院測控技術教研中心離散時間信號與系主要內容1、知識回顧…2、離散時間信號與系統常用序列及其運算LTI系統的概念及其因果穩定性的判斷系統的差分方程描述及其求解信號的采樣與恢復主要內容1、知識回顧…2、離散時間信號與系統常用序列及其運算——是信息的物理表現形式，是信息的載體。1、什么是信號？——在數學上可以表示為一個或幾個獨立變量的函數。根據載體的不同，信號可以是電的、磁的、聲的、光的、機械的、熱的等各種信號變量：時間、空間坐標、溫度、壓力…本門課主要討論一維時間信號。知識回顧——是信息的物理表現形式，是信息的載體。1、什么是信號？——確定性信號和隨機信號（信號與時間的函數關系）——確定性信號指信號在任意時刻的取值能精確確定，可以用明確的數學關系式表示的時間函數

（如正弦信號）。——隨機信號不能用確定的時間函數來描述，其函數（信號）值具有隨機性，只能用統計方法分析（如噪聲）。2、信號的分類確定性信號和隨機信號（信號與時間的函數關系）——確定性信號指周期信號和非周期信號（信號隨時間變量變化的規律）——信號波形按一定的時間間隔隨著自變量周而復始的變化，而且無始無終。——不滿足上述關系式的信號是非周期信號。周期信號滿足一下條件：

連續時間信號：x(t)=x(t+kT)離散時間信號：x(n)=x(n+kN)k為整數，滿足條件的最小正實數T或正整數N稱為信號的周期周期信號和非周期信號（信號隨時間變量變化的規律）——信號波形能量信號和功率信號——若信號能量E有限（此時P=0），則稱為能量信號。連續時間信號離散時間信號信號的能量E和平均功率P定義如下：——若信號平均功率P有限（此時），則稱為功率信號。能量信號和功率信號——若信號能量E有限（此時P=0），則稱奇信號、偶信號（關于原點對稱或關于縱軸對稱）——奇信號

x(t)=-x(-t)或x[n]=-x[-n]——偶信號

x(t)=x(-t)或x[n]=x[-n]任何信號都可以分解為奇信號、偶信號之和，即其中偶信號奇信號奇信號、偶信號（關于原點對稱或關于縱軸對稱）——奇信號——偶連續時間信號、離散時間信號（自變量（時間）取值是否連續）——連續時間信號自變量的取值是連續的，函數的取值可以是連續的也可以是離散的——離散時間信號自變量的取值是離散的，函數的取值是連續的連續時間信號、離散時間信號（自變量（時間）取值是否連續）——模擬信號、數字信號（幅值是否連續）——模擬信號：時間是連續的，幅值是連續的（連續時間信號的特列）——數字信號：時間是離散的，幅值是量化的（離散時間信號的特例），由于幅值是量化的餓，故數字信號可用一序列的數來表示，而每個數又可以表示為二進制碼的形式。用一些不連續的幅值逼近信號精確值的過程模擬信號、數字信號（幅值是否連續）——模擬信號：時間是連續的數字信號處理離散時間信號與系統課件3、自變量的變換——平移、反褶、伸縮已知x(t)，求x(at+b)的波形先根據b的值將x(t)平移，得到x(t+b)再根據a的值對x(t+b)進行尺度變換和/或時間反轉由于x(at+b)可寫成x[a(t+b/a)]，先根據a值進行尺度變換再根據b的值進行平移b/a3、自變量的變換——平移、反褶、伸縮已知x(t)，求4、指數信號——連續時間復指數信號一般為復數4、指數信號——連續時間復指數信號一般為復數5、什么是系統?——定義為處理（或變換）信號的物理設備。或者進一步說，凡是能將信號加以變換以達到人們要求的各種設備都稱為系統。①電流、電壓作為電子線路中時間的函數——信號電路本身——系統汽車駕駛員踩油門->發動機提速發動機——系統油門壓力——信號5、什么是系統?——定義為處理（或變換）信號的物理設備。或者6、系統的分類記憶系統和無記憶系統——系統的輸出僅決定于當前時刻的輸入，則這個系統就稱為無記憶系統——系統的輸出不僅與當前的輸入有關，而且還與以前的輸入有關，這樣的系統稱為記憶系統。可逆系統和不可逆系統——系統在不同的輸入下，有不同的輸出，則稱該系統為可逆系統。它滿足一一對應關系。——系統對兩個或兩個以上不同的輸入，能產生相同的輸出，則這個系統是不可逆系統。6、系統的分類記憶系統和無記憶系統——系統的輸出僅決定于當前因果系統和非因果系統——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于現在以及過去的輸入，而與系統以后的輸入無關，則該系統為因果系統（它滿足先因后果）。穩定系統和不穩定系統——一個系統，若其輸入是有界的（即輸入的幅度不是無限增長的）則系統的輸出也是有界的，則稱系統是穩定的。

判斷一個系統的因果性，重要的是仔細看一下系統的輸入-輸出關系——若系統對輸入產生的響應是無界的，則系統是不穩定的。因果系統和非因果系統——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于時不變系統和時變系統——時不變系統指系統的行為特性不隨時間而變。這就是說，如果輸入信號有一個時移，則在輸出信號中將產生同樣的時移。判定系統的時不變性方法：——令是系統的任一輸入，此時其輸出為，改變輸入為，分析相應的輸出是否為，如是，則系統為時不變系統；否則，為時變系統。時不變系統和時變系統——時不變系統指系統的行為特性不隨時間而線性系統和非線性系統——線性系統有兩個重要性質：疊加性和齊次性。疊加性——如果某一個輸入是由幾個信號的加權和組成的，那么輸出就是系統對這組信號中每一個響應的加權和。系統系統齊次性——如果輸入加權后輸入系統，則系統的輸出就是原輸出的加權。系統系統Ax(t)Ay(t)系統++線性系統和非線性系統——線性系統有兩個重要性質：疊加性和齊次按所處理信號的種類不同可將系統分為四類——模擬系統：系統輸入、輸出均為模擬信號。——連續時間系統：系統輸入、輸出均為連續時間信號。——離散時間系統：處理離散時間信號（序列），系統輸入、輸出均為離散時間信號。——數字系統：系統輸入、輸出均為數字信號。按所處理信號的種類不同可將系統分為四類——模擬系統：系統輸入第一節常用序列及其運算數字信號處理離散時間信號與系統課件在離散時間系統中，信號要用離散時間的數字序列來表示。1.1離散時間信號——序列在離散時間系統中，信號要用離散時間的數字序列來表示。1.1序列的運算包括移位、反褶、尺度變換、和、積、累加、差分、卷積等。——設某一序列x(n)，當n0為正時，x(n-n0)是將x(n)沿n軸正方向平移n0個序號，x(n+n0)是將x(n)沿n軸負方向平移n0個單位。n0為負時，則相反。1.2序列的運算1.移位序列的運算包括移位、反褶、尺度變換、和、積、累加、差分、卷積數字信號處理離散時間信號與系統課件——如果序列為x(n)，則，x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)翻轉180°。2.反褶——如果序列為x(n)，則，x(-n)是以n=0的縱軸為對(1)抽取——序列為x(n)，其時間尺度變換后的序列為x(Dn)，D為正整數。x(Dn)表示從x(n)的每連續D個抽樣值中取出一個組成的新序列。不是簡單的時間軸的壓縮，而應理解為是以1/D倍的抽樣頻率對原連續信號的抽樣，相當于將抽樣時間間隔T變成DT。D=23.序列的時間尺度變換（抽取與零值插入）(1)抽取不是簡單的時間軸的壓縮，而應理解為是以1/D倍的抽(2)零值插入——將序列x(n)擴展，是把原序列的兩個相鄰抽樣值之間插入D-1個零值。如果原序列的抽樣頻率是fs，則零值插入后函數的抽樣頻率為Dfs，為原序列抽樣頻率的D倍。D=2(2)零值插入如果原序列的抽樣頻率是fs，則零值插入后函數的——兩序列的和是指同序號的序列值逐項對應相加而構成一個新的序列。+——兩序列的積是指同序號的序列值逐項對應相乘而構成一個新的序列。4.和5.積×——兩序列的和是指同序號的序列值逐項對應相加而構成一個新的序——設某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為表示y(n)在某一個n0處的值等于這一個n0上的值x(n0)及以前的所有n值上的x(n)之和。6.累加y(n0-1)——設某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為表前向差分前向差分△x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)▽x(n)=

△x(n-1)后向差分7.差分運算前向差分前向差分△x(n)=x(n+1)前向差分△x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)▽x(n)=

△x(n-1)前向差分后向差分7.差分運算前向差分△x(n)=x(n+1)-x(n——卷積積分是求連續線性時不變系統輸出響應（零狀態響應）的主要方法。同樣，對于離散系統，卷積和是求離散線性移不變系統輸出響應（零狀態響應）的主要方法。設兩序列為x(n)和h(n)，則x(n)和h(n)的卷積和定義為8.卷積和——卷積積分是求連續線性時不變系統輸出響應（零狀態響應）的主反褶——

h(-m)移位——

h(n-m)相乘——

h(n-m)與x(m)對應點相乘相加——把以上所有點對點的乘積累加起來卷積結果所占的時寬等于兩個函數各自時寬的總和8.卷積和反褶——h(-m)卷積結果所占的時寬等于兩個函數各自時寬的數字信號處理離散時間信號與系統課件y(1)=1/2y(1)=1/2y(2)=1/2+1=3/2y(2)=1/2+1y(3)=1/2+1+3/2=3y(3)=1/2+1+3/2y(4)=1+3/2=5/2y(4)=1+3/2y(5)=3/2y(5)=3/21).當n<1或n>5時，y(n)=02).當時1).當n<1或n>5時，y(n)=02).當1.單位抽樣序列（單位沖激）——類似于連續時間信號與系統中的單位沖激函數δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時時脈寬趨于零，幅值趨于無窮大，面積為1的信號，是極限概念的信號。而單位抽樣序列是僅在n=0時取值為1，其它均為0，既簡單又易計算。1.3幾種常用序列1.單位抽樣序列（單位沖激）——類似于連續時間信號與系統中2.單位階躍序列——類似于連續時間信號與系統中的單位階躍函數u(t)，但不同的是u(t)在t=0時常不給予定義，而u(n)在n=0時取值為1。2.單位階躍序列——類似于連續時間信號與系統中的單位階躍函u(n)的后向差分u(n)的后向差分3.矩形序列3.矩形序列4.實指數序列若

，則信號隨n指數增長若

，則信號隨n指數衰減若a為正，則信號具有相同的符號若a為負，則信號的符號交替變化若a=1

，則信號為常數1若a=-1

，則信號在1和-1之間交替變化4.實指數序列若，則信號隨n指a>10<a<1-1<a<0a<-1a=1a=-1a>10<a<1-1<a<0a<-1a=1a=-15.復指數序列若|a

|=1

，則序列的實部和虛部都是正弦序列若|a

|>1

，則序列按指數增長若|a

|<1

，則序列按指數衰減5.復指數序列若|a|=1，則序列的實部和虛部都是正|a|=1|a|>1|a|<1|a|=1|a|>1|a|<1——常用的方法是將任意序列表示成單位抽樣序列的移位加權和。這是因為只有當m=n時，，因而任意序列與單位抽樣序列作卷積仍得到原序列。同樣，任意序列與單位抽樣序列的移位序列作卷積運算則得到此序列作相同的移位序列，即1.4用單位抽樣序列來表示任意序列——常用的方法是將任意序列表示成單位抽樣序列的移位加權和。這移位加權和卷積和移位卷積和第二節線性移不變系統數字信號處理離散時間信號與系統課件——具有線性和移不變性的離散時間系統稱為線性移不變（LinearShiftInvariant,LSI）離散時間系統，簡稱LSI系統。——具有線性和移不變性的離散時間系統稱為線性移不變（Line——滿足疊加原理的系統稱為線性系統，即，若某一輸入是由N個信號的加權和組成，則輸出就是系統對這幾個信號中的每一個響應的同樣加權和組成。可加性比例性2.1線性系統——滿足疊加原理的系統稱為線性系統，即，若某一輸入是由N個信線性系統滿足疊加原理的一個直接結果就是：在全部時間為零輸入時，其輸出也恒等于零，即，零輸入產生零輸出。在證明一個系統是線性系統時，必須證明此系統同時滿足可加性和比例性，而且信號可以是任意序列，包括復序列，比例常數可以是任意數，包括復數。線性系統滿足疊加原理的一個直接結果就是：在全部時間為零輸入時判斷以下系統是否是線性系統：令則所以滿足可加性令加權復數為a=j，我們只考慮輸入為則相應的輸出為可以看出所以此系統不是線性系統。不滿足比例性判斷以下系統是否是線性系統：令則所以滿足可加性令加權復數為令系統的輸入為則相應的輸出為令則相應的輸出為而所以此系統不是線性系統。令系統的輸入為則相應的輸出為令則相應的輸出為而所以此系統不是——若系統的響應與激勵加于系統的時刻無關，也就是說，輸入輸出的運算關系不隨時間而變化，則稱為移不變系統（或時不變系統）。即若輸入x(n)產生輸出為y(n)，則輸入x(n-m)產生輸出為y(n-m)，也就是輸入移動任意位，其輸出也移動相同的位數，而幅值卻保持不變。判斷一個系統是否是移不變系統，就要檢驗它對任意的一個序列x(n)，先移位后再進行變換與先變換后再移位的輸出信號是否是相同。2.2移不變系統——若系統的響應與激勵加于系統的時刻無關，也就是說，輸入輸出判斷以下系統是否是移不變系統：所以此系統是移不變系統。判斷以下系統是否是移不變系統：所以此系統是移不變系統。所以此系統是移變系統。所以此系統是移變系統。——線性移不變系統可用它的單位抽樣響應（單位沖激響應）來表征。單位抽樣響應是指輸入為單位沖激序列的系統的輸出。一般用h(n)表示單位抽樣響應，即知道h(n)后，就可以得到此線性移不變系統對任意輸入的輸出。用單位抽樣序列表示任意序列2.3單位抽樣響應與卷積和——線性移不變系統可用它的單位抽樣響應（單位沖激響應）來表征1）交換律——這就是說，如果把單位沖激響應h(n)改作輸入，而把輸入x(n)改作為系統單位沖激響應，則輸出y(n)不變。2.4線性移不變系統的性質1）交換律——這就是說，如果把單位沖激響應h(n)改作輸入，2）結合律——這就是說，兩個線性移不變系統級聯后仍構成一個線性移不變系統，其單位抽樣響應為兩系統單位抽樣響應的卷積和，且線性移不變系統的單位抽樣響應與它們的級聯次序無關。2）結合律——這就是說，兩個線性移不變系統級聯后仍構成一個線例：兩個線性移不變系統級聯，其單位抽樣響應分別為h1(n)，h2(n)，輸入為x(n),求系統的輸出y(n)解：設級聯的第一個系統的輸出為w(n)，則例：兩個線性移不變系統級聯，其單位抽樣響應分別為h1(n)，因而輸出為：所以：因而輸出為：所以：3）分配律——也就是說，兩個線性移不變系統的并聯（等式右端）等效于一個系統，此系統的單位抽樣響應應等于兩系統各自單位抽樣響應之和（等式左端）。3）分配律——也就是說，兩個線性移不變系統的并聯（等式右端）——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于現在以及過去的輸入，而與系統以后的輸入無關，則該系統為因果系統（它滿足先因后果）。線性移不變系統是因果系統的充要條件是：證：充分條件：若n<0時h(n)=0，則因而2.5因果系統——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于現在以及過去的輸入，必要條件：利用反證法來證明。在所設條件下，第二個式至少有一項不為零，y(n)將至少和m>n時的一個x(m)值有關，這不符合因果性條件，所以假設不成立。因而，n<0時，h(n)=0是必要條件。如果假設n<0時，，則必要條件：利用反證法來證明。在所設條件下，第二個6.穩定系統——穩定系統是系統能正常工作的先決條件。穩定系統是指有界輸入產生有界輸出（BIBO）的系統。若則線性移不變系統是穩定系統的充要條件是6.穩定系統——穩定系統是系統能正常工作的先決條件。穩定系統證：充分條件：若證：充分條件：若必要條件：利用反證法來證明。已知系統穩定，假設我們可以找到一個有界的輸入為則所以是穩定的必要條件。必要條件：利用反證法來證明。已知系統穩定，假設我們可以找到一要證明一個系統不穩定，只需找到一個特別的有界輸入，如果此時能得到一個無界的輸出，那么就一定能判定這個系統是不穩定的。但是要證明一個系統是穩定的，不能只用某一個特定的輸入作用來證明，而是要利用在所有有界輸入下都產生有界輸出的辦法來證明系統的穩定性。例如：1）令x(n)=1，則y(n)=n，y(n)是無界的（隨著n的增加y(n)增加）2）令|x(n)|<A，即-A<x(n)<A

，A為任意正數，則輸出y(n)滿足因果穩定的線性移不變系統的單位抽樣響應是因果的且是絕對可和的，即要證明一個系統不穩定，只需找到一個特別的有界輸入，如果此時能試判斷以下系統的因果性及穩定性1.設某線性移不變系統，其單位抽樣響應為2.設某線性移不變系統，其單位抽樣響應為試判斷以下系統的因果性及穩定性1.設某線性移不變系統，其單位第三節常系數線性差分方程數字信號處理離散時間信號與系統課件——連續時間線性時不變系統的輸入輸出關系常用常系數線性微分方程表示，而離散時間線性移不變系統的輸入輸出關系常用以下形式的常系數線性差分方程表示，即所謂常系數是指a1,a2,…,aN；b1,b2,…,bN（它們決定系統的特征）是常數。若系數中含有n，則稱為“變系數”線性差分方程。差分方程的階數等于未知序列[指y(n)]變量序號的最高值與最低值之差。所謂線性是指各y(n-k)以及x(n-k)項都只有一次冪，且不存在它們的相乘項，否則就是非線性的。——連續時間線性時不變系統的輸入輸出關系常用常系數線性微分方求解常系數線性差分方程可以用序列域（離散時域）求解法，也可以用變換域求解法。序列域求解法有三種經典解法；迭代法，此法較簡單，但是只能得到數值解，不易直接得到閉合形式（公式）解答；卷積和計算法，這用于系統起始狀態為零時（即所謂松弛系統）的求解，或說零狀態解。變換域求解法與連續時間系統的拉普拉斯變換法相似，它采用z變換方法來求解差分方程，這在實際使用上是簡便有效的。求解常系數線性差分方程可以用序列域（離散時域例：常系數線性差分方程求其單位抽樣響應（初始狀態為y(-1)=0）h(n)=y(n)則有：依次迭代可求得：向左差分并依次迭代可知：h(n)=0解：向右差分有y(n)=ay(n-1)+x(n)，其中例：常系數線性差分方程求其單位抽樣響應（初始狀態為y(-1)故系統的抽樣響應為：也可表示為：故系統的抽樣響應為：也可表示為：——一個常系數線性差分方程并不一定代表因果系統，設置的邊界條件不同，則可得到非因果系統。設初始狀態為y(0)=0則：n>0時，h(n)=0向左差分或迭代遞推可得：——一個常系數線性差分方程并不一定代表因果系統，設置的邊界條故系統的抽樣響應為：也可表示為：故系統的抽樣響應為：也可表示為：——一個常系數線性差分方程，只有當邊界條件選的合適時，才相當于一個線性移不變系統。邊界條件為y(0)=1，試說明它是否是線性移不變系統。解:（1）令則：同樣利用可遞推求得所以——一個常系數線性差分方程，只有當邊界條件選的合適時，才相當令則同樣可遞推求得所以令則同樣可遞推求得所以（2）前面已證明令則得同樣可遞推求得所以又所以（2）前面已證明令則得同樣可遞推求得所以又所以——差分方程表示法的另一個優點是可以直接得到系統的結構（將輸入變換成輸出的運算結構，而非實際結構）。——差分方程表示法的另一個優點是可以直接得到系統的結構（將輸第四節連續時間的抽樣數字信號處理離散時間信號與系統課件——抽樣就是利用周期性抽樣脈沖序列p(t)，從連續時間信號中抽取一系列的離散值，得到抽樣信號即離散時間信號，以表示。——抽樣就是利用周期性抽樣脈沖序列p(t)，從連續時間信號1.理想抽樣的抽樣定理1.理想抽樣的抽樣定理數字信號處理離散時間信號與系統課件=1=1數字信號處理離散時間信號與系統課件數字信號處理離散時間信號與系統課件——理想抽樣信號的頻譜，是頻率的周期函數，其周期為，而頻譜的幅度則受加權，由于T是常數，所以除了一個常數因子區別外，每一個延拓的譜分量都和原頻譜分量相同。因此只要各延拓分量與原譜分量不發生頻率上的交疊，則有可能恢復出原信號。——理想抽樣信號的頻譜，是頻率的周期函數，其周期為——如果信號的最高頻率超過，則各周期延拓分量產生頻譜的交疊，稱為頻譜的混疊現象。——抽樣頻率之半（fs/2）稱為折疊頻率結論：若xa(t)是頻帶寬度有限的，要想抽樣后x(n)=xa(nT)能夠不失真地還原出原信號xa(t)，則抽樣頻率必須大于等于兩倍信號譜的最高頻率，這就是奈奎斯特抽樣定理。——若xa(t)不是頻帶寬度有限的，為了避免混疊，一般在抽樣器前加入一個保護性的前置低通濾波器，稱為防混疊濾波器，其截止頻率為fs/2，以便濾除高于fs/2的頻率分量。——如果信號的最高頻率超過2.信號的重建（抽樣的恢復）2.信號的重建（抽樣的恢復）內插函數內插函數——xa(t)等于各xa(mT)乘上對應的內插函數的總和。在每一個抽樣點上，只有該點所對應的內插函數不為零，這使得各抽樣點上信號值不變，而抽樣點之間的信號則由各加權抽樣函數波形的延伸疊加而成。——說明只要抽樣頻率大于等于兩倍信號最高頻率，則整個連續信號就可以完全用它的抽樣值來代表，而不會丟掉任何信息。——xa(t)等于各xa(mT)乘上對應的內插函數的總和。在3.實際抽樣3.實際抽樣數字信號處理離散時間信號與系統課件數字信號處理離散時間信號與系統課件小結及重點掌握內容序列的運算、幾種常用序列線性移不變系統的概念及其因果穩定性的判斷已知系統輸入、線性常系統差分方程和初始條件，求解系統的輸出連續時間信號的抽樣小結及重點掌握內容序列的運算、幾種常用序列知識回顧KnowledgeReview知識回顧KnowledgeReview數字信號處理濟南大學控制學院測控技術教研中心離散時間信號與系統數字信號處理濟南大學控制學院測控技術教研中心離散時間信號與系主要內容1、知識回顧…2、離散時間信號與系統常用序列及其運算LTI系統的概念及其因果穩定性的判斷系統的差分方程描述及其求解信號的采樣與恢復主要內容1、知識回顧…2、離散時間信號與系統常用序列及其運算——是信息的物理表現形式，是信息的載體。1、什么是信號？——在數學上可以表示為一個或幾個獨立變量的函數。根據載體的不同，信號可以是電的、磁的、聲的、光的、機械的、熱的等各種信號變量：時間、空間坐標、溫度、壓力…本門課主要討論一維時間信號。知識回顧——是信息的物理表現形式，是信息的載體。1、什么是信號？——確定性信號和隨機信號（信號與時間的函數關系）——確定性信號指信號在任意時刻的取值能精確確定，可以用明確的數學關系式表示的時間函數

（如正弦信號）。——隨機信號不能用確定的時間函數來描述，其函數（信號）值具有隨機性，只能用統計方法分析（如噪聲）。2、信號的分類確定性信號和隨機信號（信號與時間的函數關系）——確定性信號指周期信號和非周期信號（信號隨時間變量變化的規律）——信號波形按一定的時間間隔隨著自變量周而復始的變化，而且無始無終。——不滿足上述關系式的信號是非周期信號。周期信號滿足一下條件：

連續時間信號：x(t)=x(t+kT)離散時間信號：x(n)=x(n+kN)k為整數，滿足條件的最小正實數T或正整數N稱為信號的周期周期信號和非周期信號（信號隨時間變量變化的規律）——信號波形能量信號和功率信號——若信號能量E有限（此時P=0），則稱為能量信號。連續時間信號離散時間信號信號的能量E和平均功率P定義如下：——若信號平均功率P有限（此時），則稱為功率信號。能量信號和功率信號——若信號能量E有限（此時P=0），則稱奇信號、偶信號（關于原點對稱或關于縱軸對稱）——奇信號

x(t)=-x(-t)或x[n]=-x[-n]——偶信號

x(t)=x(-t)或x[n]=x[-n]任何信號都可以分解為奇信號、偶信號之和，即其中偶信號奇信號奇信號、偶信號（關于原點對稱或關于縱軸對稱）——奇信號——偶連續時間信號、離散時間信號（自變量（時間）取值是否連續）——連續時間信號自變量的取值是連續的，函數的取值可以是連續的也可以是離散的——離散時間信號自變量的取值是離散的，函數的取值是連續的連續時間信號、離散時間信號（自變量（時間）取值是否連續）——模擬信號、數字信號（幅值是否連續）——模擬信號：時間是連續的，幅值是連續的（連續時間信號的特列）——數字信號：時間是離散的，幅值是量化的（離散時間信號的特例），由于幅值是量化的餓，故數字信號可用一序列的數來表示，而每個數又可以表示為二進制碼的形式。用一些不連續的幅值逼近信號精確值的過程模擬信號、數字信號（幅值是否連續）——模擬信號：時間是連續的數字信號處理離散時間信號與系統課件3、自變量的變換——平移、反褶、伸縮已知x(t)，求x(at+b)的波形先根據b的值將x(t)平移，得到x(t+b)再根據a的值對x(t+b)進行尺度變換和/或時間反轉由于x(at+b)可寫成x[a(t+b/a)]，先根據a值進行尺度變換再根據b的值進行平移b/a3、自變量的變換——平移、反褶、伸縮已知x(t)，求4、指數信號——連續時間復指數信號一般為復數4、指數信號——連續時間復指數信號一般為復數5、什么是系統?——定義為處理（或變換）信號的物理設備。或者進一步說，凡是能將信號加以變換以達到人們要求的各種設備都稱為系統。①電流、電壓作為電子線路中時間的函數——信號電路本身——系統汽車駕駛員踩油門->發動機提速發動機——系統油門壓力——信號5、什么是系統?——定義為處理（或變換）信號的物理設備。或者6、系統的分類記憶系統和無記憶系統——系統的輸出僅決定于當前時刻的輸入，則這個系統就稱為無記憶系統——系統的輸出不僅與當前的輸入有關，而且還與以前的輸入有關，這樣的系統稱為記憶系統。可逆系統和不可逆系統——系統在不同的輸入下，有不同的輸出，則稱該系統為可逆系統。它滿足一一對應關系。——系統對兩個或兩個以上不同的輸入，能產生相同的輸出，則這個系統是不可逆系統。6、系統的分類記憶系統和無記憶系統——系統的輸出僅決定于當前因果系統和非因果系統——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于現在以及過去的輸入，而與系統以后的輸入無關，則該系統為因果系統（它滿足先因后果）。穩定系統和不穩定系統——一個系統，若其輸入是有界的（即輸入的幅度不是無限增長的）則系統的輸出也是有界的，則稱系統是穩定的。

判斷一個系統的因果性，重要的是仔細看一下系統的輸入-輸出關系——若系統對輸入產生的響應是無界的，則系統是不穩定的。因果系統和非因果系統——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于時不變系統和時變系統——時不變系統指系統的行為特性不隨時間而變。這就是說，如果輸入信號有一個時移，則在輸出信號中將產生同樣的時移。判定系統的時不變性方法：——令是系統的任一輸入，此時其輸出為，改變輸入為，分析相應的輸出是否為，如是，則系統為時不變系統；否則，為時變系統。時不變系統和時變系統——時不變系統指系統的行為特性不隨時間而線性系統和非線性系統——線性系統有兩個重要性質：疊加性和齊次性。疊加性——如果某一個輸入是由幾個信號的加權和組成的，那么輸出就是系統對這組信號中每一個響應的加權和。系統系統齊次性——如果輸入加權后輸入系統，則系統的輸出就是原輸出的加權。系統系統Ax(t)Ay(t)系統++線性系統和非線性系統——線性系統有兩個重要性質：疊加性和齊次按所處理信號的種類不同可將系統分為四類——模擬系統：系統輸入、輸出均為模擬信號。——連續時間系統：系統輸入、輸出均為連續時間信號。——離散時間系統：處理離散時間信號（序列），系統輸入、輸出均為離散時間信號。——數字系統：系統輸入、輸出均為數字信號。按所處理信號的種類不同可將系統分為四類——模擬系統：系統輸入第一節常用序列及其運算數字信號處理離散時間信號與系統課件在離散時間系統中，信號要用離散時間的數字序列來表示。1.1離散時間信號——序列在離散時間系統中，信號要用離散時間的數字序列來表示。1.1序列的運算包括移位、反褶、尺度變換、和、積、累加、差分、卷積等。——設某一序列x(n)，當n0為正時，x(n-n0)是將x(n)沿n軸正方向平移n0個序號，x(n+n0)是將x(n)沿n軸負方向平移n0個單位。n0為負時，則相反。1.2序列的運算1.移位序列的運算包括移位、反褶、尺度變換、和、積、累加、差分、卷積數字信號處理離散時間信號與系統課件——如果序列為x(n)，則，x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)翻轉180°。2.反褶——如果序列為x(n)，則，x(-n)是以n=0的縱軸為對(1)抽取——序列為x(n)，其時間尺度變換后的序列為x(Dn)，D為正整數。x(Dn)表示從x(n)的每連續D個抽樣值中取出一個組成的新序列。不是簡單的時間軸的壓縮，而應理解為是以1/D倍的抽樣頻率對原連續信號的抽樣，相當于將抽樣時間間隔T變成DT。D=23.序列的時間尺度變換（抽取與零值插入）(1)抽取不是簡單的時間軸的壓縮，而應理解為是以1/D倍的抽(2)零值插入——將序列x(n)擴展，是把原序列的兩個相鄰抽樣值之間插入D-1個零值。如果原序列的抽樣頻率是fs，則零值插入后函數的抽樣頻率為Dfs，為原序列抽樣頻率的D倍。D=2(2)零值插入如果原序列的抽樣頻率是fs，則零值插入后函數的——兩序列的和是指同序號的序列值逐項對應相加而構成一個新的序列。+——兩序列的積是指同序號的序列值逐項對應相乘而構成一個新的序列。4.和5.積×——兩序列的和是指同序號的序列值逐項對應相加而構成一個新的序——設某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為表示y(n)在某一個n0處的值等于這一個n0上的值x(n0)及以前的所有n值上的x(n)之和。6.累加y(n0-1)——設某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為表前向差分前向差分△x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)▽x(n)=

△x(n-1)后向差分7.差分運算前向差分前向差分△x(n)=x(n+1)前向差分△x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)▽x(n)=

△x(n-1)前向差分后向差分7.差分運算前向差分△x(n)=x(n+1)-x(n——卷積積分是求連續線性時不變系統輸出響應（零狀態響應）的主要方法。同樣，對于離散系統，卷積和是求離散線性移不變系統輸出響應（零狀態響應）的主要方法。設兩序列為x(n)和h(n)，則x(n)和h(n)的卷積和定義為8.卷積和——卷積積分是求連續線性時不變系統輸出響應（零狀態響應）的主反褶——

h(-m)移位——

h(n-m)相乘——

h(n-m)與x(m)對應點相乘相加——把以上所有點對點的乘積累加起來卷積結果所占的時寬等于兩個函數各自時寬的總和8.卷積和反褶——h(-m)卷積結果所占的時寬等于兩個函數各自時寬的數字信號處理離散時間信號與系統課件y(1)=1/2y(1)=1/2y(2)=1/2+1=3/2y(2)=1/2+1y(3)=1/2+1+3/2=3y(3)=1/2+1+3/2y(4)=1+3/2=5/2y(4)=1+3/2y(5)=3/2y(5)=3/21).當n<1或n>5時，y(n)=02).當時1).當n<1或n>5時，y(n)=02).當1.單位抽樣序列（單位沖激）——類似于連續時間信號與系統中的單位沖激函數δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時時脈寬趨于零，幅值趨于無窮大，面積為1的信號，是極限概念的信號。而單位抽樣序列是僅在n=0時取值為1，其它均為0，既簡單又易計算。1.3幾種常用序列1.單位抽樣序列（單位沖激）——類似于連續時間信號與系統中2.單位階躍序列——類似于連續時間信號與系統中的單位階躍函數u(t)，但不同的是u(t)在t=0時常不給予定義，而u(n)在n=0時取值為1。2.單位階躍序列——類似于連續時間信號與系統中的單位階躍函u(n)的后向差分u(n)的后向差分3.矩形序列3.矩形序列4.實指數序列若

，則信號隨n指數增長若

，則信號隨n指數衰減若a為正，則信號具有相同的符號若a為負，則信號的符號交替變化若a=1

，則信號為常數1若a=-1

，則信號在1和-1之間交替變化4.實指數序列若，則信號隨n指a>10<a<1-1<a<0a<-1a=1a=-1a>10<a<1-1<a<0a<-1a=1a=-15.復指數序列若|a

|=1

，則序列的實部和虛部都是正弦序列若|a

|>1

，則序列按指數增長若|a

|<1

，則序列按指數衰減5.復指數序列若|a|=1，則序列的實部和虛部都是正|a|=1|a|>1|a|<1|a|=1|a|>1|a|<1——常用的方法是將任意序列表示成單位抽樣序列的移位加權和。這是因為只有當m=n時，，因而任意序列與單位抽樣序列作卷積仍得到原序列。同樣，任意序列與單位抽樣序列的移位序列作卷積運算則得到此序列作相同的移位序列，即1.4用單位抽樣序列來表示任意序列——常用的方法是將任意序列表示成單位抽樣序列的移位加權和。這移位加權和卷積和移位卷積和第二節線性移不變系統數字信號處理離散時間信號與系統課件——具有線性和移不變性的離散時間系統稱為線性移不變（LinearShiftInvariant,LSI）離散時間系統，簡稱LSI系統。——具有線性和移不變性的離散時間系統稱為線性移不變（Line——滿足疊加原理的系統稱為線性系統，即，若某一輸入是由N個信號的加權和組成，則輸出就是系統對這幾個信號中的每一個響應的同樣加權和組成。可加性比例性2.1線性系統——滿足疊加原理的系統稱為線性系統，即，若某一輸入是由N個信線性系統滿足疊加原理的一個直接結果就是：在全部時間為零輸入時，其輸出也恒等于零，即，零輸入產生零輸出。在證明一個系統是線性系統時，必須證明此系統同時滿足可加性和比例性，而且信號可以是任意序列，包括復序列，比例常數可以是任意數，包括復數。線性系統滿足疊加原理的一個直接結果就是：在全部時間為零輸入時判斷以下系統是否是線性系統：令則所以滿足可加性令加權復數為a=j，我們只考慮輸入為則相應的輸出為可以看出所以此系統不是線性系統。不滿足比例性判斷以下系統是否是線性系統：令則所以滿足可加性令加權復數為令系統的輸入為則相應的輸出為令則相應的輸出為而所以此系統不是線性系統。令系統的輸入為則相應的輸出為令則相應的輸出為而所以此系統不是——若系統的響應與激勵加于系統的時刻無關，也就是說，輸入輸出的運算關系不隨時間而變化，則稱為移不變系統（或時不變系統）。即若輸入x(n)產生輸出為y(n)，則輸入x(n-m)產生輸出為y(n-m)，也就是輸入移動任意位，其輸出也移動相同的位數，而幅值卻保持不變。判斷一個系統是否是移不變系統，就要檢驗它對任意的一個序列x(n)，先移位后再進行變換與先變換后再移位的輸出信號是否是相同。2.2移不變系統——若系統的響應與激勵加于系統的時刻無關，也就是說，輸入輸出判斷以下系統是否是移不變系統：所以此系統是移不變系統。判斷以下系統是否是移不變系統：所以此系統是移不變系統。所以此系統是移變系統。所以此系統是移變系統。——線性移不變系統可用它的單位抽樣響應（單位沖激響應）來表征。單位抽樣響應是指輸入為單位沖激序列的系統的輸出。一般用h(n)表示單位抽樣響應，即知道h(n)后，就可以得到此線性移不變系統對任意輸入的輸出。用單位抽樣序列表示任意序列2.3單位抽樣響應與卷積和——線性移不變系統可用它的單位抽樣響應（單位沖激響應）來表征1）交換律——這就是說，如果把單位沖激響應h(n)改作輸入，而把輸入x(n)改作為系統單位沖激響應，則輸出y(n)不變。2.4線性移不變系統的性質1）交換律——這就是說，如果把單位沖激響應h(n)改作輸入，2）結合律——這就是說，兩個線性移不變系統級聯后仍構成一個線性移不變系統，其單位抽樣響應為兩系統單位抽樣響應的卷積和，且線性移不變系統的單位抽樣響應與它們的級聯次序無關。2）結合律——這就是說，兩個線性移不變系統級聯后仍構成一個線例：兩個線性移不變系統級聯，其單位抽樣響應分別為h1(n)，h2(n)，輸入為x(n),求系統的輸出y(n)解：設級聯的第一個系統的輸出為w(n)，則例：兩個線性移不變系統級聯，其單位抽樣響應分別為h1(n)，因而輸出為：所以：因而輸出為：所以：3）分配律——也就是說，兩個線性移不變系統的并聯（等式右端）等效于一個系統，此系統的單位抽樣響應應等于兩系統各自單位抽樣響應之和（等式左端）。3）分配律——也就是說，兩個線性移不變系統的并聯（等式右端）——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于現在以及過去的輸入，而與系統以后的輸入無關，則該系統為因果系統（它滿足先因后果）。線性移不變系統是因果系統的充要條件是：證：充分條件：若n<0時h(n)=0，則因而2.5因果系統——如果一個系統在任何時刻的輸出只決定于現在以及過去的輸入，必要條件：利用反證法來證明。在所設條件下，第二個式至少有一項不為零，y(n)將至少和m>n時的一個x(m)值有關，這不符合因果性條件，所以假設不成立。因而，n<0時，h(n)=0是必要條件。如果假設n<0時，，則必要條件：利用反證法來證明。在所設條件下，第二個6.穩定系統——穩定系統是系統能正常工作的先決條件。穩定系統是指有界輸入產生有界輸出（BIBO）的系統。若則線性移不變系統是穩定系統的充要條件是6.穩定系統——穩定系統是系統能正常工作的先決條件。穩定系統證：充分條件：若證：充分條件：若必要條件：利用反證法來證明。已知系統穩定，假設我們可以找到一個有界的輸入為則所以是穩定的必要條件。必要條件：利用反證法來證明。已知系統穩定，假設我們可以找到一要證明一個系統不穩定，只需找到一個特別的有界輸入，如果此時能得到一個無界的輸出，那么就一定能判定這個系統是不穩定的。但是要證明一個系統是穩定的，不能只用某一個特定的輸入作用來證明，而是要利用在所有有界輸入下都產生有界輸出的辦法來證明系統的穩定性。例如：1）令x(n)=1，則y(n)=n，y(n)是無界的（隨著n的增加y(n)增加）2）令|x(n)|<A，即-A<x(n)<A

，A為任意正數，則輸出y(n)滿足因果穩定的線性移不變系統的單位抽樣響應是因果的且是絕對可和的，即要證明一個系統不穩定，只需找到一個特別的有界輸入，如果此時能試判斷以下系統的因果性及穩定性1.設某線性移不變系統，其單位抽樣響應為2.設某線性移不變系統，其單位抽樣響應為試判斷以下系統的因果性及穩定性1.設某線性移不變系統，其單位第三節常系數線性差分方程數字信號處理離散時間信號與系統課件——連續時間線性時不變系統的輸入輸出關系常用常系數線性微分方程表示，而離散時間線性移不變系統的輸入輸出關系常用以下形式的常系數線性差分方程表示，即所謂常系數是指a1,a2,…,aN；b1,b2,…,bN（它們決定系統的特征）是常數。若系數中含有n，則稱為“變系數”線性差分方程。差分方程的階數等于未知序列[指y(n