題型一幾何中共點、共線、共面例1 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶H∶HC＝1∶2.求證：(1)E、F、G、H(2)GEHFAC上證 ∴GH∥BD∴E、F、G、H四點共面(2)∵G、HBC、CD的中點，∴EF≠GH.又EF∥GH，∴EG與FH不平行，?M∈ABCM∈ACD?MABCACD的交線上∴GEHFAC上訓練 AC1A1BD的交點.求證：O、M、A1三點共線證 AC?ACC1A1，∴O∈∵M∈AC1，AC1?∴M∈A1∈O、M、A1ACC1A1O、M、A1三點共線題型二空間中的平行問2如圖，E、F、G、HABCD—A1B1C1D1BC、CC1、C1D1、AA1的中證 (1)取B1D1中點O，連接OG綊22BE綊22∴OGBEBEGO為平行四邊形∵OB?BDD1B1，GE?平面BDD1B1，∴GE∥(2)∵B1D1?BDF，BD?∴B1D1∥HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF.∵HD1?BDF，BF?∴HD1∥∴BDF∥訓練 MEA的中點，NECDMN ∵M、N分別是EA與EC的中點，∴MN∥AC，又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥∵DB⊥ABC，EC⊥∴BD∥ECBDEC∵NEC中點，EC＝2BD，∴NC∴BCND為矩形，∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，∴DN∥ABC，又∴DMN∥題型三空間中的垂直關②線面垂直的判定定理③平行線垂直平面的傳遞性質④面面垂直的性質⑤面面平行的性質②面面垂直的判定定理例3 垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點. (1)由AS＝AB，AF⊥SB知F為SB中點，則EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EF∩FG＝FEFG∥(2)SAB⊥SBCAF⊥SB，知AF⊥平面SBC，則AF⊥BC.BC⊥AB，AF∩AB＝ABC⊥SAB，又SA?平面SAB，因此BC⊥SA.如圖，A，B，C，D為空間四點.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等邊△ADBAB為(1)ADBABC(2)當△ADBAB⊥CD？證明你的結論 (1)取AB的中點E，連接中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)當△ADBAB證明如下：①DABCAC＝BC，AD＝BD，所以C，D都段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.②DABC內(nèi)時，由(1)AC＝BCAB⊥CE.DE，CEAB⊥CDECD?平面CDE，得AB⊥CD.題型四空間角4P—ABCD中，PAABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，EPC的中點.證明：AEA—PD—C的正弦值解P—ABCDPA⊥AB.AB⊥AD，PA∩AD＝A，從而AB⊥平面PAD，PBPAD從而∠APB為PB和平面PAD所成的角.∴PBPAD證 在四棱錐P—ABCD中∴CD⊥AE?∵EPCPC∩CD＝CAE⊥ 過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示由(2)知，AE⊥PCD，AMPCDEM，則可證得AM⊥PD.因此∠AMEA—PD—C的平面角.由已知，可得3AC＝aPA＝a，AD＝23

，PD＝

，AE＝32Rt△ADP322

a·3 2

PD＝213

7Rt△AEM中，sin∠AME＝AE＝ 44∴A—PD—C的正弦值為4訓練 證 如圖，因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BDAC⊥BB1D，而B1D?平面BB1D， 因為B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).A1DABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.AD＝AA1＝3ADD1A1是正方形A1D⊥AD1AD1⊥A1B1D由(1)知，AC⊥B1DB1D⊥ABCD中，AC⊥BD，所以Rt△ABC∽Rt△DAB，故AB＝DA·BC＝

， 連接AB1△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB2＋BD2＝BB2＋AB2＋AD2