由遞推公式求通項公式的常用方法由數(shù)列的遞推公式求通項公式是高中數(shù)學(xué)的重點問題，也是難點問題，它是歷年高考命題的熱點題。對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。方法一：累加法形如an+1－an＝f(n)（n＝2,3,4,…）,且f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后利用這種方法求解。例1：（07年北京理工農(nóng)醫(yī)類）已知數(shù)列{an}中，a1＝2,an＋1＝an＋cn(c是常數(shù)，n＝1,2,3,…)且a1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列（1）求c的值（2）求{an}的通項公式解：（1）a1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列（2）由（1）知，將n＝1,2,…,n－1,分別代入將上面n－1個式子相加得an－a1＝2(1＋2＋3＋…＋n－1)＝n2－n又a1＝2,an＝n2－n＋2方法二：累乘法形如eq\f(an+1,an)＝g(n)（n＝2,3,4…），且f(1)f(2)…f(n－1)可求，則用累乘法求an.有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例2：設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…)，求它的通項公式。解：由題意知a1=1,an＞0(n＝1,2,3…)由(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0得(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0因為an＞0，則an＋1＋an≠0，所以eq\f(an+1,an)=eq\f(n,n＋1),將n＝1,2,…,n－1,分別代入得eq\f(a2,a1)=eq\f(1,2)eq\f(a3,a2)=eq\f(2,3)……eq\f(an,an－1)=eq\f(n－1,n)將上面n－1個式子相乘得，eq\f(an,a1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×…×eq\f(n－1,n)又a1=1，則an＝eq\f(1,n)點評：本題先由已知求出遞推公式，化成了eq\f(an+1,an)＝g(n)的類型，再利用累乘法求通項公式。方法三：構(gòu)造新數(shù)列法構(gòu)造新數(shù)列法：將遞推關(guān)系經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的遞推關(guān)系（等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列或等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和形式），以下類型均采用這種解法。類型一:an＋1＝Aan＋B(A,B∈R,A≠0)線性遞推關(guān)系當(dāng)A≠0，B＝0時，an＋1＝Aan是以A為公比的等比數(shù)列；當(dāng)A≠0，B≠0時，an＋1＝Aan＋B可變形為an＋1＋eq\f(B,A－1)＝A（an＋eq\f(B,A－1)），此時就構(gòu)造出了{(lán)an＋eq\f(B,A－1)}這樣一個以a1＋eq\f(B,A－1)為首項，以A為公比的新的等比數(shù)列，從而求出an。例3：（07年全國理科卷）已知數(shù)列{an}中，a1＝2,an＋1＝（eq\r(2)－1）（an＋2）n＝1,2,3,…，求{an}的通項公式。解：由題設(shè)：an＋1＝（eq\r(2)－1）（an＋2）可變形為an＋1－eq\r(2)=（eq\r(2)－1）（an－eq\r(2)）所以數(shù)列{an－eq\r(2)}是首項為2－eq\r(2)公比為eq\r(2)－1的等比數(shù)列，則an－eq\r(2)＝eq\r(2)（eq\r(2)－1）n即{an}的通項公式為an＝eq\r(2)[（eq\r(2)－1）n＋1]類型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數(shù))方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關(guān)系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構(gòu)造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數(shù)列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以為首相以為公比的等比數(shù)列。方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。可見對于同一個題型的構(gòu)造的新數(shù)列類型可能不唯一，所以要注意巧妙構(gòu)造。例4：（07年唐山二摸）在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,6)，an＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)·eq\f(1,3n)(n∈n*,n≥2),求{an}的通項公式。解：由an＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)·eq\f(1,3n)可變形為an+eq\f(1,3n)＝eq\f(1,2)(an＋eq\f(1,3n-1)),則數(shù)列{an+eq\f(1,3n)}是以為a1+eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)首項以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得an+eq\f(1,3n)＝（eq\f(1,2)）n因此an＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,3n)類型三：an＋2＝pan＋1＋qan(其中p,q均為常數(shù))方法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋2－san＋1=t(an＋1－san)，其中s,t滿足eq\b\lc\{(\a\al(s＋t＝p,s·t＝－q))，再利用等比數(shù)列來求解。例5：已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an＋2＝eq\f(2,3)an＋1＋eq\f(1,3)an,求{an}的通項公式。解：由an＋2＝eq\f(2,3)an＋1＋eq\f(1,3)an可轉(zhuǎn)化為an＋2－san＋1=t(an＋1－san)即an＋2＝（s＋t）an＋1－s·tan,∴eq\b\lc\{(\a\al(s＋t＝eq\f(2,3),s·t＝－eq\f(1,3)))解得eq\b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－eq\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\al(s＝－eq\f(1,3),t＝1))這里不妨選用eq\b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－eq\f(1,3)))（當(dāng)然也可以選用eq\b\lc\{(\a\al(s＝－eq\f(1,3),t＝1))）an＋2－an＋1=－eq\f(1,3)(an＋1－an)所以{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項,－eq\f(1,3)為公比的等比數(shù)列，所以an＋1－an＝(－eq\f(1,3))n-1再用累加法an－a1＝(－eq\f(1,3))0＋(－eq\f(1,3))1+…＋(－eq\f(1,3))n-2＝eq\f(1－(－eq\f(1,3))n-1,1＋eq\f(1,3))又a1=1，因此an＝eq\f(7,4)－eq\f(3,4)(－eq\f(1,3))n-1上面給大家介紹了由遞推公式求通項公式常用的三種方法（累加法、累乘法和構(gòu)造新數(shù)列法）以及幾種典型類型題。構(gòu)造新數(shù)列法比較簡捷，但如果觀察不到結(jié)構(gòu)的特殊性，就想不到構(gòu)造的新數(shù)列，所以仔細(xì)觀察結(jié)構(gòu)的特征是運用這種方法解決求通項公式的問題的關(guān)鍵所在。如果構(gòu)造新數(shù)列難度較大時也可采用迭代法求通項公式，迭代法即根據(jù)遞推公式循環(huán)代入，一直代到首項為止，上面這些類型的問題大都也可采用此種方法求解。有時由遞推公式求通項公式還可以用猜想歸納法，即利用數(shù)列的遞推公式求出前幾項，根據(jù)前幾項猜想出通項公式，然后運用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。需要說明的是以上這些方法都有一定的局限性，求解時要注意靈活運用。配套練習(xí)：1、已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝an＋eq\f(1,n2＋n),求an。2、（04年唐山二摸）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，2n-1an＝an－1(n∈N,n≥2)，求an。3、（06年福建卷）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋