2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征前一節課我們學習了用樣本的圖表來估計總體，我們是否可以將樣本數據匯總為一個數字，用來估計總體眾數，中位數，平均數回憶：初中時以上三個詞的定義一.眾數，中位數，平均數1.眾數：在一組數據中出現次數最多的數據一組數據中，可能有多個眾數，也可能沒有眾數的意義：考查各個數據出現的頻率中位數：將一組數據按大小依次排列處在最中間的一個數據（或者兩個數的平均數）中位數，它不受幾個極端數據的影響，可以用中位數來描述集中趨勢3.平均數2.中位數平均數受每一個數據的影響，當平均數大于中位數時，說明數據中存在較多的極端值例1.在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績如下表所示：成績(單位：米)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數23234111分別求這些運動員成績的眾數，中位數與平均數解：在17個數據中，1.75出現了4次，出現的次數最多，即這組數據的眾數是1.75．上面表里的17個數據可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數據1.70是最中間的一個數據，即這組數據的中位數是1.70；

這組數據的平均數是

答：17名運動員成績的眾數、中位數、平均數依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.

例2.某班有男生27名，女生21名，在一次數學測試中，男生平均分82分，中位數75分，女生平均分80分，中位數80分。(1)求全班平均分(2)估計全班成績在80分以下（含80分）的同學至少有多少人？(3)分析男生平均分與中位數相差較大的原因(2)男生的中位數75，男生至少有14人得分不超過75女生的中位數80，女生至少有11人得分不超過80全班至少有25人得分低于80分(3)男生中兩極分化嚴重，得分高的和低的相差較大二、眾數、中位數、平均數與頻率分布直方圖的關系1、眾數在樣本數據的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。例如，在上一節調查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數據的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數是2.25t.如圖所示：頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5取最高矩形下端中點的橫坐標2.25作為眾數.在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數，也有50％的個體大于或等于中位數，因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數的值。月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O左至右各個小矩形的面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.020.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.01÷0.5=0.02，中位數是2+0.02=2.02.2.中位數與頻率分布直方圖的關系從左到右每個小矩形的高依次為：0.08,0.16，0.30,0.44,0.50,0.28,0.12,0.08,0.04頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5說明:2.03這個中位數的估計值,與樣本的中位數值2.0不一樣,這是因為樣本數據的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數據內容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數估計值往往與樣本的實際中位數值不一致.

3.可以從頻率分布直方圖中估計平均數平均數的估計值=頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和平均數的估計值=頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和，為什么？因為每段內的和=本段內平均數段內個數月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O在城市居民月均用水量樣本數據的頻率分布直方圖中，求該樣本中居民月均用水量的平均值0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數是2.02.

從左到右每個小矩形的高依次為：0.08,0.16，0.30,0.44,0.50,0.28,0.12,0.08,0.04

從居民月均用水量樣本數據可知，該樣本的眾數是2.3，中位數是2.0，平均數是1.973，我們用頻率分布直方圖求得：眾數是2.25，中位數是2.02，平均數是2.02這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結論有偏差，你能解釋一下原因嗎？

頻率分布直方圖損失了一些樣本數據，得到的是一個估計值，且所得估值與數據分組有關.

注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計眾數、中位數和平均數，并由此估計總體特征.例3.某工廠人員及工資構成如下：人員經理管理人員高級技工工人學徒合計周工資2200250220200100人數16510123合計22001500110020001006900（1）指出這個問題中周工資的眾數、中位數、平均數（2）這個問題中，工資的平均數能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？分析：（1）眾數為200，中位數為220，平均數為300。（2）因平均數為300，由表格中所列出的數據可見，只有經理在平均數以上，其余的人都在平均數以下，故用平均數不能客觀真實地反映該工廠的工資水平。歸納：三種數字特征與頻率分布直方圖的關系眾數中位數平均數與頻率分布直方圖的關系是最高矩形中點的橫坐標所對應的數據，表示樣本數據的中心值（1）在頻率分布直方圖中中位數處左右兩側的面積相等(2)表示樣本數據所在頻率的等分線（1）平均數等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和(2)平均數是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點應用舉例：某學校1800名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與18秒之間,抽取其中50個作為樣本,將測試結果按如下方式分成五組:第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按分組方法得到的頻率分布直方圖.(1)若成績小于15秒認為良好,求該樣本在這次百米測試中成績良好的人數;(2)請估計學校1800名學生中,成績屬于第四組的人數;(3)請根據頻率分布直方圖,求樣本數據的眾數、中位數、平均數和方差解:(1)樣本在這次百米測試中成績良好的人數為0.22×50=11(人).(2)學校1800名學生中,成績屬于第四組的人數為0.32×1800=576(人).(3)請根據頻率分布直方圖,求樣本數據的眾數、中位數、平均數和方差

平均數向我們提供了樣本數據的重要信息，但是，平均數有時也會使我們作出對總體的片面判斷，難以概括樣本數據的實際狀態，而數據的離散程度可以用極差、方差或標準差來描述。為了表示樣本數據的單位表示的波動幅度，通常要求出樣本方差或者它的標準差.三.標準差與方差1.方差：設在一組數據，x1，x2，…，xn中，各數據與它們的平均數x的差的平方分別是那么我們用它們的平均數，即

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差，一組數據方差越大，則這組數據波動越大。2.標準差：我們把數據的方差的算術平方根叫做這組數據的標準差，它也是一個用來衡量一組數據的波動大小的重要的量。計算標準差的算法：(1)算出樣本數據的平均數x；(2)算出每個樣本數據與樣本平均數的差（i=1，2，……，n）；(3)算出（i=1，2，…，n）；(4)算出（i=1，2，…，n）這n個數的平均數，即為樣本方差s2；(5)算出方差的算術平方根，即為樣本標準差s。計算數據5，7，7，8，10，11的標準差.所以這組數據的標準差是3.方差、標準差的意義方差與標準差一樣，用來測量樣本數據離散程度的特征數，方差越大，越離散，越不穩定，方差越小，越集中，越穩定4.方差的性質

的平均數是____,方差是____

的平均數是____,方差是____(2)方差還可以表示：練：若的平均數是2,方差是3，那么另一組數據：的平均數是___,方差是___112方差的估計值等于每一個小矩形底邊中點值減去平均數的平方乘以小矩形的面積的和5.在頻率分布直方圖中如何求方差例3.甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢測質量從中抽取6件測量，數據如下：甲：9910098100103100乙：9910010299100100(1)分別計算甲，乙的平均數和方差(2)根據數據判斷哪臺機床加工的零件質量更穩定(2)兩機床加工零件的直徑平均值相同，而，所以乙機床質量更加穩定4.下圖所示的莖葉圖為甲、乙兩組各5名同學在一次英語聽力測試中的成績，已知甲的中位數是15，乙的平均數是16.8，則x,y值分別是（）甲乙0129x27495y84x=5,y=85.將某選手的9個得分去掉一個最高分，去掉一個最低分7個剩余分數的平均分為91分，現場將9個分數的莖葉圖繪出，后來又一個數據無法辨認用x表示，則7個剩余分數的方差是（）87794010x916.已知一組數據：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126127（1）填寫頻率分布表（2）作出頻率分布直方圖（3）根據頻率分布直方圖求出這組數據的眾數，中位數，平均數（4）由數據求出眾數、中位數、平均數并與(3）的結果作比較，指出它們有差距的原因。(5)分別據數據求方差，利用頻率分布直方圖求方差，并作比較分組頻數頻率頻率/組距[120.5,122.5)[122.5,124.5)124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5)238430.10.150.40.20.150.050.0750.20.10.075數據120.5122.5128.5130.50.2000.1500.1000.0750.050(3)眾數：為[124.5,126.5]的中點：125.5，而眾數的精確值為125由頻率分布直方圖知中位數為125.75，而中位數的準確值為125.5由直方圖計算出而平均數準確值是(4)利用直方圖求出的眾數，中位數，平均數均為近似值，往往與實際數據得出的不一致，但是它們能夠初略的估計其眾數，中位數，平均數6.已知一組數據：125121123125127129125128130129126124125127126122