第數據數據統計與分講參考：《概率論與數理統計高新祖編大1

點估計區間估計

7-參數是刻畫總體例如，X~N(,若2未知通過構造樣本的函數給出§7.1點估計的思想方設總體X的分布函數的形式已知但含有一個或多個未知參數：1,2,,kX1X2Xnk

7-1(X12(X1

X2X2

XnXn k(X1

X2

Xn當測得樣本值(x1x2xn)時,代入上述方程組，即可得到k個數：

7-1?1

,

,,xn2?2

,

,,xnk?k

,

,,xn1

1

,,,,k

1

三種常用的點估計方

7-nA

利用事件Ann作為事件ApnAp7-例1設總體X~N2在對其作28獨立觀察中X4”出現了21次試用頻率替換法求參數的估計值.解由P

4)

(4)21

0.75

42

280.675

3.045

7-方 方用樣本k階矩作為總體k階矩的估計量建立含有待估參數的方程,一般,不論總體服從什么分布,與方差2存在1 1 nn

Xini1n

nin

(Xi

X)2

S

7-Xn

XinnA2

nXininXi

E(X2 2E(X2)E2(X

A2

1 1 ni1

X (i

X)2

S

1

2,,

7-rE(

r)

r(1,2,,kX1令

2Xnr

nXininXir(1

2,,k

nrinnri

r1,2,,1,2,k(X(X,X112,Xn(X,Xk12,Xn1,1(1(x,x?112,xnk(x,x?k12,xn

7-1,的7-例2X~N,2X1X2Xn為總體的樣本,,2的矩法估計量.解?22

nXXininXXi例3X~E(X1X2Xn為總體的樣本,求的矩法估計量.解E

)1/

令X

1/故故 1/X7-例4設從某燈泡廠某天生產的燈泡中隨機抽取10只燈泡，測得 11010E(X)x10

1147(h) ? 110

D(X)

xi 10i

6821(h)7-例5X~U(a,b),a,b未知a,b

E(X)

ab

D(X)

(b

a)2E(

2)

D(

)E2(X

12a)2

b2 ab2

(b

a)2

ab2 1 A

X12 i7-?矩X

3(A2

X2XX?X矩

nnin3(

(XiA2

)22X

nnn

(X

X)2極大似然估計

7-思想方法思想方法例如:有兩外形相同的箱子,各裝100個球 1個紅球一 1個白 99個紅現從兩箱中任取一箱并從箱中任取一球,第一箱7-例6X服從0-1分布,且P(X1)p的估計值解XP(

x)

p)1x

xx1x2xn為總體樣本X1X2則PX1n

x1,X2n

x2,,X

xnp

np)

L(p)

xi

0,

1,2,,pL(p)不同Lp

7-0.010.0080.0060.0040.002

p?0.40.60.8 p現經過一次試驗(X1

x1,X

x2,,X

xn

pp，使L(p)

7-注意到，lnL(p)L的單調增函數,某個p使lnL(p)最大則這個p必使L(p)

nn

nn nn

1

xi

1nn

nnn

ni

0

p2

p)2 所 ?

p的估計值7-一般,設X為離散型 量,其分布律P(

x)

f(x,),

xu1,u2,,X1,X2,…,XnP(X1

,,X

xnf(x1,)

(x2,)

f(xn,記

xu,u

稱 )為樣本的似然函

i1, ,n,

7-選擇適當的=,使 )取最大值,L(x1,x2,,xnmax{

f(x1,)

(x2,

f(xn,)}

g(x1

x2,

xn的極大似然估計

g(X1

X2,

Xn為參數的極大似然估計

7-注X連續f(xi,)為Xi注n

)i

f(xi,,k注未知參數可以不止一個,k注設X的密度(或分布),x,xn;1n,k

(x,1L(x1L(1,

,k),k)f(xi,1,,k,

xi

i1,2,

(1, ,

)若Lx1

7-,xn;1,,xn;1,,k

L(x1

x2,,

xn;1,

,,k)

r1,2,,kx1x2k12參數12

使似然函數取得最大值L(x1 max,xn;1,,k,xn;1,,k

{L(x1

x2,,

xn;1,2,,k)}則稱1 ,

為1k的

7-gr (x1gr

x2,

xn

r1,2,,r gr

X1

X2,

Xn

r1,2,,為12k的7-例7設總體X~N(,2),x1,x2,…, 是2的樣本值2的極大似然估計2解L

x1

x2,

,xn;, (x)2

n(

nni1

2

n)2

n2)2

e

2n(x)2 ln

ln(2)

2

L 2L

(

)

7-

L L1 1

2

(xi

)2 (

2(

022(02

xixni112mle

ni

(xi

x)2Sn2Sn X X i

1(Xi1ni

X)2 極大似然估計方1）

7-12）求出1

,2kL(x12k

x2,

xn

12k 12k

{L(x1

x2,,

xn;1,2,,k若L是1 ,若

7-k的可微函數,解似然方程L(x1

x2,,

xn;1,

,,k) r

1,2,,12k可得未知參數的極大似然估計值12k

然后,再求得極大似然估計量若L不是1 ,k的可微函數,需用其若方法求極大似然估計值.7-例8X~U(a,bx1x2xnX的一個樣本值,求a,b的極大似然估計值與極大Xf(x;a,b)

b

ax 其

a

L(x1

,

,,

;a,b)

a)n

i1,2,, 其7-a<xi<b,i=1,2,…,n時才能獲得最大值a越大b越小L越大. xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…, ?

xmin

?

xmax

a

xmax

bab都 n(bn

a)n

(

xmin ?

xmin

?

xmax

7-ab的極大似然估計值X

min{X1,

X2

XnX

max{X1,

X2

Xnab的極大似然估計量待估參數的極大似然估計是否一定存在若存在,是否惟一例7-例X~Ua?,a?),x1x2xnX的一個樣本,a的極大似然估計值.解由上例可知,當?12

?21時,L1,1

1?2

顯然,a的極大似然估計值可能不存在也不僅如此,

7-g11

X1

X2,,

Xnx(n

12

g(x1

x2