2015/10/22第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼一、阻尼材料二、工程中的阻尼器斜拉索阻尼器房屋減震阻尼器瀝青阻尼墊片軟橡膠高分子涂料橋梁減隔震在振動物體產生高的共振振幅前,

先將一部分振動能在自身中消耗,以達到減小振幅、降低振動能之目的,這就是阻尼材料,是具有較大內損耗、內摩擦的材料，如瀝青、軟橡膠以及其他一些高分子涂料。房頂減隔震第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼二、工程中的阻尼器二、工程中的阻尼器鉛剪切阻尼器阻尼的作用1)

阻尼有助于降低機械結構的共振振幅，從而避免結構因動應力達到極限所造成的破壞。阻尼有助于機械系統受到瞬態沖擊后，很快恢復到穩定狀態。普通摩擦阻尼2)粘滯流體阻尼器3)

阻尼有助于減少因機械振動所產生的聲輻射，降低機械噪聲。4)

可以提高各類機床、儀器等的加工精度、測量精度和工作精度。5)

阻尼有助于降低結構傳遞振動或聲能的能力，用于隔振、隔聲及阻斷能量的傳遞。消能減振原理粘彈性阻尼器磁流變阻尼器1)從動力學觀點看，相當于增大結構的阻尼，使結構的響應變小。2)從能量觀點看，結構本身的振動能量是一定的，通過耗能裝置消耗掉一部分能量，使結構本身需消耗的能量減小。粘滯阻尼墻3)在風或小震下具有較大的剛度，強動力載荷情況下應首先進入非彈性，產生較大阻尼，消耗振動能量。與隔震技術相比，消能減振技術在控制中高層結構地震反應方面有獨特優勢。形狀記憶金屬阻尼器

金屬阻尼器

粘彈性阻尼器

摩擦阻尼器

粘滯流體阻尼器

形狀記憶金屬阻尼器

橡膠隔震支座橡膠隔震支座

粘滯阻尼墻

磁流變阻尼器第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼二、工程中的阻尼器三、阻尼基本概念及分類1、基本概念（1）阻尼實驗證明，振動中的結構，不僅產生與變形成比例的彈性內力，還產生非彈性的內力，非彈性力起阻尼作用。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些結論也反應了結構的振動規律，如：（英語：damping）是指任何振動系統在振動中，引起振動幅度逐漸下降的外界作用或系統本身固有的原因，或者說是描述結構在受外界激勵產生振動的過程中，機械能每個周期內產生能量耗散的參數。結構振動過程中，產生阻尼的機理是非常復雜的，整體結構在振動過程中，將振動能量不可逆轉的轉化為熱能的本領定義為阻尼。忽略阻尼的振動規律考慮阻尼的振動規律結構的自振頻率是結構的固有特性，與外因無關。簡諧荷載作用下有可能出現共振。在日常生活中，很少有機會觀察到無阻尼運動現象．當結構中沒有阻尼時，一旦建立起振動．由于沒有能量消耗．振動將一直保持下去，顯然這是不存在的．然而與它十分相近的情況還是能遇到的．

最典型的例子是鐘

，

這是一種產生單頻長時間振動的特殊結構，振動時輻射出悅耳的聲音。在設計鐘時，要使其在支點處運動非常?。员惚M可能減小振動能量消耗．且當鐘被撞擊時，只有一個振動模態受到高強度的激勵。自由振動的振幅永不衰減。共振時的振幅趨于無窮大。自由振動的振幅逐漸衰減。共振時的振幅較大但為有限值。事實上，由于非彈性力的存在，自由振動會衰減直到停止；共振時振幅也不會無限增大，而是一個有限值。顯而易見，任何阻尼的存在都直接影響到鐘的性能。相反在噪聲和振動控制中．阻尼確確實實是一種非常有效的工具和方法。為了經濟、有效地應用阻尼技術，有必要了解什么是阻尼．根據對大多數物理現象的研究，從阻尼所起作用來理解阻尼是最容易的，即觀察阻尼存在與否、阻尼性質及如何影響結構振動。非彈性力起著減小振幅的作用，使振動衰減，因此，為了進一步了解結構的振動規律，就要研究阻尼。12015/10/22第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼三、阻尼基本概念及分類三、阻尼基本概念及分類1、基本概念（2）阻尼系數1、基本概念定義如下兩個參量表征阻尼大小的常數，常用c表示。如下運動方程中的第二項中c即表示該系統的阻尼系數。第一個為系統固有頻率，第二個為阻尼比。可將方程(b)進一步寫成以下形式(a)（3）阻尼力阻尼比在土木、機械、航天等領域是結構動力學的一個重要概念，指阻尼系數與臨界阻尼系數（阻尼比等于1時的阻尼系數，即

c

2

km

）之比，表達結構體標準化的阻尼大小。阻尼比是無單位量綱，表示了結構在受激振后振動的衰減形式。可分為等于1，等于0,

大于1，0-1之間4種，阻尼比=0即不考慮阻尼系統，結構常見的阻尼比都在0-1之間.在物理學和工程學上，阻尼的力學模型一般是一個與振動速度大小成正比，與振動速度方向相反的力，該模型稱為粘性（或粘滯）阻尼模型，這個力即為阻尼力，如以上方程(a)中的第二項即為阻尼力。注意：1）阻尼力可能與質點速度平方成正比（如質點在流體中運動受到的阻力）。2）阻尼力可能與質點速度無關（如摩擦力）。對結構基本處于彈性狀態的情況，各國都根據本國的實測數據并參考別國的資料，按結構類型和材料分類給出了供一般分析采用的所謂典型阻尼比的值。綜合各國情況，鋼結構的阻尼比一般在0.01－0.02之間（單層鋼結構廠房可取0.05），鋼筋混凝土結構的阻尼比一般在0.03－0.08之間，對于鋼-混凝土結構則根據鋼和混凝土對結構整體剛度的貢獻率阻尼比取為0.025－0.035。（4）阻尼比將方程（a)改寫成如下形式(b)第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼三、阻尼基本概念及分類三、阻尼基本概念及分類2、阻尼的分類2、阻尼的分類在土木結構的動力問題中，結構振動耗能是客觀存在著的，根據結構振動耗能的原因，阻尼可被分為外部阻尼和內部阻尼。（1）系統阻尼指對某一振動結構上附加阻尼材料或附加結構，目的是增加自身的阻尼，即在系統中設置專用的減振彈簧和沖擊阻尼器等阻尼減振器。外部阻尼是指結構周圍介質對結構振動能量的消耗。它可分為介質阻尼、外摩擦阻尼和輻射阻尼。（2）庫倫阻尼指用來描述兩個接觸的結構，在常壓力下，在兩個接觸表面之間形成的干摩擦。

在工程中，

常用來描述兩個被鉚接或者是螺栓連接的阻尼形式。介質阻尼是指物體在流體介質中運動時，會產生介質的粘性阻尼諸如空氣動力阻尼、水動力阻尼和油阻尼等，因此介質阻尼也稱為粘性阻尼；外摩擦阻尼也稱干摩擦阻尼或庫侖阻尼，它是指結構構件在接觸面上出現相對滑動而產生干摩擦，運動機械能通過摩擦被轉化為熱能，耗散到周圍介質中；輻射阻尼，特指地基與結構動力相互作用中，結構的振動能量通過地基基礎向外輻射傳遞所產生的能量耗散。（3）粘滯阻尼眾多阻尼中，工程上應用最廣泛的阻尼，由于阻尼模型的簡化為比例阻尼，對復雜的模型解耦十分方便，并且有一定的精度保證，滿足了工程上的應用。對于單自由度模型中，阻尼力假設與結構中的每個節點處運動速度成正比。（4）結構阻尼與其它阻尼相比，結構阻尼是最難于研究的阻尼形式，表現在即使在相同的材料前提下，對于不同種的結構形狀，得到了不同的阻尼。由于現實機械設計加工領域以及土木工程中,不同形狀結構的設計很多，這使得結構阻尼有了廣闊和重要的應用價值。內部阻尼是指結構自身對振動能量的耗散性能，可分為材料阻尼和結構阻尼。材料阻尼取決于建筑的材料性質，

其阻尼由動力狀態下結構或非結構構件材料內部宏觀或微觀粒子間的運動摩擦所形成，屬于內摩擦耗能。第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼三、阻尼基本概念及分類四、工程結構中的阻尼模型十五世紀中期，意大利人達·芬奇開啟了阻尼研究的歷程。他發現了未涂潤滑劑、干燥的兩接觸運動表面之間產生阻礙運動的動摩擦力，仍然遵從靜摩擦力中的兩條定律，即：兩接觸結構產生摩擦時，在很大的范圍內，摩擦力的大小與兩結構的接觸面積是無關的；接觸面間的動摩擦力大小正比于接觸面上的正壓力，兩接觸表面之間的相對運動速度對動摩擦力大小沒有影響。2、阻尼的分類結構阻尼是描述振動系統在振動時能量損耗的總稱。結構阻尼簡單的理解就是結構本身的，內部的阻尼，是引起能量損耗的原因，主要有以下幾個方面：①由于材料的內摩擦作用而使機械能量逐漸轉化為熱能消失在周圍的介質中,這是能量耗散的主要原因;（1）粘滯阻尼模型粘滯阻尼模型所表達的阻尼力與變形速度成比例。②周圍介質對振動的阻尼;

如空氣、水、油等對處于其中的結構的阻尼作用。粘性阻尼在相當廣的范圍內與速度平方成正比，只有在低速(小于

0.2

m/s)運動中與速度的一次方成正比，通常建筑物阻尼力與速度的一次方成比例，則其阻尼力是線性的，表示為③節點、支座聯接間的摩擦阻力,

主要是由構件之間或構件與支座間的相對運動所產生的;FD

cx此時單自由度體系的運動方程為④通過支座基礎散失一部分能量。建筑物基礎的振動引起土壤發生振動，此振動以波的形式向周圍擴散，振動波在土壤中傳播而耗散能量；mx

cx

kx

f采用阻尼比來表示時，運動方程可以表達為：x

2

x

2

x

f

m0022015/10/22第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼四、工程結構中的阻尼模型四、工程結構中的阻尼模型（2）等效粘滯阻尼系數工程中結構的阻尼源于多方面，其特點和數學描述更為復雜，這時可以將復雜的阻尼在一定的意義上等效成粘性阻尼。

一般采用基于能量等效的原則。阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滯回曲線反映。WDUceq

WD

-----為非粘滯阻尼機構中逸散能2U-----為穩態響應的幅值粘滯阻尼自由振動系統衰減記錄不同粘滯阻尼自由振動系統衰減記錄2粘滯阻尼模型的顯著特點是數學上處理的方便性，

不論是簡諧振動還是非簡諧振動都可以直接寫出系統的運動方程。由于與速度成正比，它所建立的運動方程為線性微分方程，使求解簡便，故粘滯阻尼模型是迄今應用最為廣泛的阻尼模型。TTFcxdt

cx2dt

c2U

2

cos2t

dt

πcU

2WD000（3）滯變阻尼模型滯變阻尼模型所表達的阻尼力與彈性恢復力成正比，方向與速度同相位。其阻尼力可表示為粘滯阻尼模型存在著不足之處，按該模型推得的對數衰減率與自振頻率成反比，這是不符合實際情況的。近代大量試驗表明對數衰減率主要與材料性質及結構類型有關，而與自振頻率的關系不大。FD

ikxη

----為復阻尼系數，也稱為損耗因子。該模型下單自由度體系的運動方程為復數微分方程：mx

k(1

i)x

f第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼四、工程結構中的阻尼模型mx

k(1

i)x

f由于采用復數表示阻尼力，滯變阻尼模型也稱為復阻尼模型。四、工程結構中的阻尼模型該模型下單自由度體系的運動方程為：mx

FN

sign(x)

kx

f干摩擦在一個周期內耗散的能量為滯變阻尼模型的特點是它具有非頻變的特性，符合材料內摩擦等耗能因素引起的阻尼力在相當寬的頻帶內變化平緩的事實，在結構簡諧振動的分析中行之有效。E

4FNU庫倫摩擦SDOF系統該模型的分析結論原則上只適用于穩態簡諧振動與穩態簡諧受迫振動，將其應用于更一般的動力分析，將遇到有悖于物理事實的問題，如考慮阻尼時的自振頻率大于不考慮阻尼時的自振頻率，這是不符合客觀物理事實的，并且對于一般的非簡諧地震反應來說，其計算過程復雜，基于以上原因，滯變阻尼模型在結構地震反應分析中應用不多。所以，等效粘性阻尼為E4FNce

πU2

U（4）庫侖阻尼模型干摩擦阻尼(庫侖阻尼模型)遵循庫侖定律F

F

sgn

xdN庫倫摩擦系統的自由振動響應其中μ為動摩擦系數；sgn為符號函數振幅線性衰減第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼四、工程結構中的阻尼模型四、工程結構中的阻尼模型（5）Rayleigh阻尼也稱為經典阻尼Rayleigh阻尼模型是廣泛采用的一種正交阻尼模型，其數學表達式如下：利用公式:得到：結構的振型是關于質量陣和剛度陣正交的，很容易想到，質量矩陣和剛度矩陣的線性組合必定滿足正交條件，因此,Rayleigh阻尼是一種正交阻尼。其中a

和a

是兩個比例常數(比例系數)，分別具有s-1和s的量綱?？梢杂迷Oζ

和ζ

給定，可寫出計算a

和a

的矩陣形式01實際測量得到的結構阻尼比來確定，或通過給定的兩個振型阻尼比的值ij01來確定，為此要把Rayleigh阻尼公式化成由阻尼比表示的形式。將Rayleigh阻尼公式分別左乘振型的轉置{φ}nT和右乘振型{φ}n得:振型阻尼比ζ

=ζ

=ζ時，上式簡化為：ij其中C

、M

、K

分別是第n階振型阻尼系數、振型質量和剛度:nnn32015/10/22第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼四、工程結構中的阻尼模型五、測定阻尼的方法經過簡單的運算就可以得到進行結構動力反應計算所需的阻尼矩陣：1、共振放大法1根據動力放大系數Rd

Rd

[1

(

/

)2

]2

[2

(

/

)]2nn保證構造的阻尼矩陣合理、可靠，在確定Rayleigh阻尼的常數a0和a1時，必須遵循一定的原則，否則構造的阻尼陣可能導致計算結果的當發生共振(ω/ωn＝1)時嚴重失真.u0

(ustu0ust

nn)12定Rayleigh阻尼的原則：R

(

)

dn所選擇的兩個用于確定常數a

和a

的頻率點ω

和ω

要覆蓋結構分析中感興趣的頻段。01ij興趣頻段要根據作用于結構上的外荷載的頻率成份和結構的動力特性綜合考慮。1ust如果已知結構各構件的單元阻尼矩陣，則可以拋棄本節的內容，直接生成阻尼陣。如果采用振型疊加法分析經典阻尼體系時，則根本不用生成結構的總體阻尼矩陣。

2R

(

)

2u

(

)dn0n第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法五、測定阻尼的方法1、共振放大法2、半功率(帶寬)法1ust

利用自功率譜的共振峰尋找系統的固有頻率，再根據其譜線求得系統阻尼。半功率點2R

(

)

2u

(

)dn0n在縱坐標上尋找半功率點，即取峰值的由于從動力放大曲線定u

(ω

)不容易，一般用u0m代替，0n1,2u0m=max(u

)，則:也就是約為峰值的0.707處，并過此值作一水平線，它與功率譜曲線的交點稱為半功率點，對應于水平軸上得到01ust

2(Rd

)max

2u0m用共振放大法確定體系的阻尼比，方法簡單。但實際工程中測得的動力放大系數曲線一般以u0－ω圖給出，用以上公式計算阻尼比時，還需得到零頻時的靜位移值ust，實際測量靜載位移無論從加載設備和記錄(拾振)設備都有一定的困難，即實現動力加荷和測量動力信號的設備不能在零頻率時工作。因此工程中往往采用半功率(帶寬)法從動力試驗中得到阻尼比ζ。兩個頻率點，其差為

,已知共振頻率（峰值頻率）為n則可得系統阻尼比為第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法五、測定阻尼的方法2、半功率(帶寬)法2、半功率(帶寬)法此方法簡便易用，在工程中應用極廣，但是在小阻尼的情況下，在低頻段如果峰值頻率存在誤差，即使有很小的誤差，計算出的阻尼誤差也很大，而且在頻率分辨率不是很高的情況下，即當

f

n

2

時，利用半功率帶寬法時需要采用插值，這樣帶來的誤差更大。由于半功率帶寬法只需要自功率譜上三點的值，有人在此基礎上提出了功率譜三點法來求取阻尼。解得當阻尼比很小時（1）單自由度系統的半功率(帶寬)法考察半功率點對應的頻率值，即滿足方程m---系統質量其中固有頻率------阻尼比的兩個解從而求幅頻曲線的峰值所對應的圓頻率得到該方法同樣適用于速度和加速度的頻響函數。42015/10/22第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法五、測定阻尼的方法2、半功率(帶寬)法例題分析3、每周共振能量損失法每周共振能量損失法又稱為滯回曲線方法。對于一個有阻如下圖1所示，一振動系統的頻譜圖，式采用半功率帶寬法計算該系統的阻尼系數。尼的動力系統，在振動過程中，力和位移形成一滯回曲線。由于系統中的慣性力、彈性力和其它保守荷載的存在，滯回曲線的形狀會發生變化。但是，在一個完整的循環過程中，保守力做功為零。故此，系統的功就等于系統能量的損耗，這是由系統阻尼力做功產生的。從而，根據力與位移滯回曲線的面積可求出系統的阻尼。解：半功率帶寬法計算公式定義在一個循環過程中能量損失為f為阻尼力d同樣，通過力與位移滯回曲線可以確定系統的最大能量。可以通過如下方程計算能量損失因子第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法五、測定阻尼的方法3、每周共振能量損失法3、每周共振能量損失法2

/2

/

(

)

0cx

xdtcx

dt2這里，在一個循環過程中單位質量能量損耗可通過以下方式計算0U

2mx02n

c02

/

[x0cos(t

)]2dt考慮公式

cx02考慮公式得到在一個循環過程中單位質量能量損耗可表示為

cx02在一個循環過程中單位質量能量損耗可通過積分求解得到我們知道，系統的最大能量可通過系統的初始勢能表示為

EDfDdx第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法五、測定阻尼的方法4、阻尼比的測定3、每周共振能量損失法ykyk12r對數遞減率：

ln

T

因為n從而當1ykyk12

ln故此，可根據上式計算出結構的阻尼1

2U4Umax

當

0.2，則

1r該方法仍屬于時域分析方法。對數衰減率與阻尼比之間的精確和近似關系1

r2

yk1yk

lnlnyk

1

2

yk

1

252015/10/22第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法五、測定阻尼的方法4、阻尼比的測定4、阻尼比的測定對數遞減率：yk2rykyk12r對數遞減率：ln

Tln

T

1

ryk

1yk12yklnr

ln當

0.2，則

1當

0.2，則

12

yyk

1r自由振動的振幅減少50%所需要的循環次數k

11yk1yk

rlnlny(t)12

nykykn12ny12

yk

1

2

yk

1設和yk

yk+n相隔

個周期，則：n

ln

lnetky設yk和yk+n

相隔n個周期，則：j1e(tk

nT

)12

nykykn1y1t

ln

ln2n

yj10tktk

+nTe

tT2/d體系自由振動的加速度記錄第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法五、測定阻尼的方法4、阻尼比的測定4、阻尼比的測定例題分析例題分析計算圖示剛架的阻尼系數已知：

?

柱子無重、剛性梁；T

1.40s

m

894t5mm確定體系的自振頻率1???F=90kN使大梁產生5mm的初位移；F擺動1周后的位移4mm；周期為1.4s.m:11.4vf

0.714Hz

2f

4.48rad/sln

0.0355EI1

T115EIEI阻尼特性:

ln

0

[解]

確定梁的有效質量:2π

v1

242mk計算阻尼系數：T

2

1.40sc

2m

28944.480.0355

284

kNs/m六周以后振幅：221.4

T

2

90m

k

894tvv6456v6

5.0

1.311mm0

v0

20.0051

第四講：工程結構中的阻尼第四講：工程結構中的阻尼五、測定阻尼的方法六、粘性阻尼體系的能量耗散4、阻尼比的測定例題分析SDOF體系在簡諧力p(t)=p0sinωt作用下，[例13.8]

已知結構的振動周期為T=0.3s

，ξ=0.1，y0=1mm,試求振幅衰減到初始位移的5%時（y=0.005mm)以下所需的時間（以整周計算）。在一個振動循環內的能量耗散記為：ED—

阻尼引起的能量耗散，即阻尼力做的功；EI

—

外力做的功；ya彈性力做的功；EK

—

慣性力做的功。y