彎曲內力第四章§4-1(2)平面彎曲的概念及計算簡圖§4-2

梁的剪力和彎矩§4-3剪力方程和彎矩方程·

剪力圖和彎矩圖§4-4

彎矩，剪力與分布荷載集度之間的關系及應用§4-5

平面桁架和曲桿的內力圖

I.彎曲的概念4-1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖梁：以彎曲變形為主的桿件。彎曲變形外力是作用線垂直于桿軸線的平衡力系（有時還包括力偶）。受力特征：變形特征：梁變形前為直線的軸線，變形后成為曲線?？v向對稱面：包含梁橫截面的一個對稱軸及其梁軸線的平面稱為縱向對稱面平面彎曲：作用于梁上的所有外力都在縱向對稱面內，彎曲變形后的軸線是一條在該縱向對稱面內的平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。或更確切地稱為對稱彎曲。AB對稱軸縱向對稱面梁變形后的軸線與外力在同一平面內梁的軸線非對稱彎曲：梁不具有縱向對稱面，或具有縱向對稱面，

但外力并不作用在縱向對稱面內這種彎

曲稱為非對稱彎曲。II.梁的計算簡圖RH（1）固定端在梁的計算簡圖中用梁的軸線代表梁1。支座的簡化RHR（2）固定鉸支座(3)可動鉸支座2，工程中常用到的靜定梁懸臂梁外伸梁簡支梁(3)幾種超靜定梁lABCqP例題:計算懸臂梁的支反力。PqBAlC解:

求梁的支反力RA和mR

。由平衡方程得：PqBAlC解得：例題：計算圖所示多跨靜定梁的支反力1m1m1m0.5m3mP=50KNM=5KN.mAECDKB1m1m1m0.5m3mP=50KNM=5KN.mAECDKB再將副梁CB

的兩個支反力

XC

，YC

反向，并分別加在主梁AC

的C

點處，求出AC

的支反力。分析：先將中間鉸C

拆開，并通過平衡方程求出副梁CB

的支反力。CM=5KN.mDKB1m1m1m0.5m3mP=50KNM=5KN.mAECDKB解：（1）研究CB梁，由平衡方程CM=5KN.mDKBP=50KNAEC（2）研究AC梁，由平衡方程１、Q和M的定義與計算§4—2梁的剪力和彎矩aPABmmxQ用截面法假想地在

橫截面mm處把梁分為兩段，先分析梁左段。xxmAmyCaPABmmx由平衡方程得可得Q=RAQ

稱為剪力QxxmAmyCaPABmmx可得M=RAx由平衡方程QxxmAmyCM此內力偶稱為

彎矩aPABmmxQMBmmP取右段梁為研究對象。其上剪力的指向和彎矩的轉向則與取右段梁為研究對象所示相反。xxmAmyCMQdxmmQQ+剪力符號使dx

微段有

左端向上而右端向下的相對錯動時，橫截面m-m上的剪力為正。或使dx微段有順時針轉動趨勢的剪力為正。2,Ｑ和M的正負號的規定使dx微段有

左端向下而右端向上

的相對錯動時，橫截面m-m上的剪力為負

。或使dx微段有逆時針轉動趨勢的剪力為負。dxmmQQ-mm+_當dx

微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉

）時，橫截面m-m上的彎矩為正；彎矩符號（受拉）MMmm（受壓）MM當dx

微段的彎曲上凸（即該段的下半部受拉壓）時，橫截面m-m上的彎矩為為負。BdEDAabclCF例題：為圖示梁的計算簡圖。已知P1、P2，且P2>P1，尺寸a、b、c和l亦均為已知。試求梁在E、F點處橫截面處的剪力和彎矩。解:BdEDAabclCF解得：BdEDAabclCF記E截面處的剪力為

QE

和彎矩

ME，且假設

QE和彎矩ME

的指向和轉向均為

正值。AECBdEDAabclCF解得++BdEDAabclCFAECAECa-cb-ccDl-cBE取右段為研究對象BdEDAabclCF解得：++AECa-cb-ccDl-cBEFdB計算F點橫截面處的剪力

QF和彎矩

MF

。BdEDabclCF-+FdBBdEDabclCF解得：例題：圖示簡支梁受線性變化的分布荷載作用，最大荷載集度為q0。試計算梁在C點處橫截面上的剪力和彎矩lABCa解：求梁的支反力RA

和RBlABCa由平衡方程得：解得：CaA此合力距C點的距離為a/3

在C點處梁上的荷載集度為該梁段上分布荷載的合力為lABCa列出平衡方程CaAlABCa解得當時QC為正MC

恒為正CaAlABCa橫截面上的

剪力

在數值上等于此橫截面的左側或右側

梁段上外力的代數和。左側

梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負值的剪力右側梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負值的剪力求剪力和彎矩的簡便方法橫截面上的彎矩

在數值上等于此橫截面的左側或右側梁段上的外力對該截面形心的力矩之代數和。不論在截面的左側或右側向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負值的彎矩。左側梁段：順時針轉向的外力偶引起正值的彎矩逆時針轉向的外力偶引起負值的彎矩右側梁段：逆時針轉向的外力偶引起正值的彎矩順時針轉向的外力偶引起負值的彎矩例題：軸的計算簡圖如圖所示，已知P1=

P2=P=60kN

，a=230mm，b=100mm

和c=1000mm

。求C、D點處橫截面上的剪力和彎矩ACDBbac

解：ACDBbac計算C

橫截面上的剪力

QC

和彎矩MC

?？醋髠華CDBbac計算D

橫截面上的剪力QD

和彎矩MD?？醋髠華CDBbac1m2.5m10KN.mABC12解：例題：求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩C12左側1m2.5m10KN.mABC12求1截面的內力：12C右側左側1m2.5m10KN.mABC12求2截面的內力：例題：求指定截面上的內力

QA左，QA右，QD左，QD右

，MD左，

MD右，

QB左，QB右。m=3KN.m2m2m4mCADBRARB解：RA=14.5KN，RB=3.5KNm=3KN.m2m2m4mCADBRARB看左側看右側m=3KN.m2m2m4mCADBRARB看右側看左側看右側看左側m=3KN.m2m2m4mCADBRARB§4-3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖Q=Q(x)M=M（x）剪力方程和彎矩方程：用函數表達式表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規律，分別稱作剪力方程和彎矩方程。即：彎矩圖為正值畫在x

軸上側，負值畫在x

軸下側剪力圖和彎矩圖剪力圖為正值畫在x

軸上側，負值畫在x

軸下側繪剪力圖和彎矩圖的最基本方法是，首先分別寫出梁的剪力方程和彎矩方程，然后根據它們作圖。xQ(x)Q圖的坐標系oM圖的坐標系xM(x)oAPBl例題：圖a所示的懸臂梁在自由端受集中荷載P作用,

試作此梁的剪力圖和彎矩圖。x解：將坐標原點取在梁的左端，

寫出梁的剪力方程和彎矩方程

：APBlQxPPlxMxAPBl解：求兩個支反力ABl例題：

圖示的簡支梁在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。

q取距左端為x的任意橫截面。寫出剪力方程和彎矩方程。xABlqX=0處，X=l

處，+ABlqx剪力圖為一傾斜直線。彎矩圖為一條二次拋物線。x=l,M=0xABlq令得駐點：xABlq彎矩的極值：+x=l,M=0xABlq梁在跨中點截面上的彎矩值為最大但此截面上Q=0兩支座內側橫截面上剪力絕對值為最大+xABlq+解：梁的支反力為例題：圖示簡支梁在C點處受集中荷載

P作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖lPABcab因為AC段和CB段的內力方程不同，所以必須分段寫剪方程力方程和彎矩方程lPABcab將坐標原點取在梁的左端AC段：CB段：xxlPABcab由（1），（3）兩式可知，AC，CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于

x軸的直線。+lPABcab由（2），（4）式可知，AC，CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線+lPABcab在集中荷載作用處的左，右兩側截面上剪力值（圖）有突變

。突變

值等于集中荷載P。彎矩圖形成尖角，該處彎矩值最大

，+lPABcab+例題:圖示簡支梁在C點處受矩為

m的集中力偶作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖解：求支座反力BlACabm將坐標原點取在梁的左端。因為梁上沒有橫向外力，所以全梁只有一個剪力方程;BlACabmAC段：(2)CB段：（3）xxAC

段和

BC段的彎矩方程不同BlACabm由（1）式可見，整個梁的剪力圖是一條平行于x軸的直線。梁的任一橫截面上的剪力為由此繪出梁的剪力圖+BlACabmx=0，M=0x=a，AC段：(2)AC，CB兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線。（3）BlACabmCB段：x=a，x=l，M=0(2)（3）BlACabm繪出梁的彎矩圖x=0，M=0x=a，AC段：CB段：x=a，x=l，M=0+BlACabm梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩值(圖）發生突變，其突變值等于集中力偶矩的數值。此處剪力圖沒有變化++BlACabm以集中力、集中力偶作用處，分布荷載開始或結束處，及支座截面處為界點將梁分段。分段寫出剪力方程和彎矩方程，然后繪出剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖的幾條規律取梁的左端點為座標原點，x軸向右為正；剪力圖,彎矩圖均為向上為正

梁上集中力作用處左、右兩側橫截面上，剪力值（圖）有突變，其突變值等于集中力的數值。在此處彎矩圖則形成一個尖角。梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩值（圖）也有突變，其突變值等于集中力偶矩的數值。但在此處剪力圖沒有變化。梁上的最大剪力發生在全梁或各梁段的邊界截面處；梁上的最大彎矩發生在全梁或各梁段的邊界截面，或Q=0

的截面處。ACBDqm2m2m4m例題：已知q=3KN/m,m=3KN.m列內力方程并畫內力圖。解：RA=14.5KN

RB=3.5KNQ(x)=-qx=-3x(0

x2)CA:(0x<2)ACBDqm2m2m4mxxAD:(2<x

6)(2

x<6)ACBDqm2m2m4mxxDB:(6

x<8)(6<x8)xACBDqm2m2m4mx8.5+--63.5x=4.83由得14.5-3x=0x=4.83

為彎矩的極值點CA:Q(x)=-qx=-3x(0

x<2)AD:(2<x

6)DB:(6

x<8)ACBDqm2m2m4mx=4.83

為彎矩的極值點CA:Q(x)=-qx=-3x(0

x<2)AD:(2<x

6)DB:(6

x<8)8.5+--63.5x=4.83ACBDqm2m2m4m畫彎矩圖(0

x2)(2

x<6)(6<x8)466.047+-ACBDqm2m2m4mx=4.83例題：畫內力圖ABCRARB2aaqm=qa2解：ABCRARB2aaqm=qa2xAC:ABCRARB2aaqm=qa2xCB:ABCRARB2aaqm=qa2+-x令Q(x)=0得彎矩的極值點ABCRARB2aaqm=qa2xAC：拋物線ABCRARB2aaqm=qa2xCB：斜直線（）+q=q(x)規定：q(x)向上為正。將x軸的坐表原點取在梁的左端?！?—4剪力，彎矩與分布荷載集度間的微分關系梁上作用有任意分布荷載其集度xyq(x)PmQ(x)M(x)假想地用坐標為x和x+dx的兩橫截面m—m和n—n從梁中取出dx一段。xmmnnq(x)Cm—m

截面上內力為Q(x)，M(x)略去q(x)沿dx的變化xyq(x)PmxmmnndxQ(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)x+dx

截面處則分別為Q(x)M(x)xmmnnq(x)Cxyq(x)PmxmmnndxQ(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)Q(x)-[Q(x)+dQ(x)]+q(x)dx=0得到

寫出平衡方程Q(x)M(x)mmnnq(x)C=q(x)dQ(x)dxQ(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)Y=0dx略去二階無窮小量即得dM(x)dx=Q(x)Q(x)M(x)mmnnq(x)CQ(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)Mc=0dx2=0[M(x)+dM(x)]-M(x)-Q(x)dx-q(x)dx。dxdM(x)dx=Q(x)

dM(x)22dx=q(x)=q(x)dxdQ(x)公式的幾何意義剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。

dM(x)22dx=q(x)dx=Q(x)dxdQ(x)

=q(x)dM(x)M(x)圖為一向上凸的二次拋物線Q(x)圖為一向右下方傾斜的直線xQ(x)oM(x)xoq(x)，Q（x）圖，M（x）圖三者間的關系梁上有向下的均布荷載，即

q(x)<0梁段上無荷載作用，即

q(x)=0剪力圖為一條水平直線彎矩圖為一斜直線xQ(x)oxoM(x)xM(x)o當Q(x)>0時，向右上方傾斜。當Q(x)<0時，向右下方傾斜。

dM(x)22dx=q(x)dx=Q(x)dxdQ(x)

=q(x)dM(x)

dM(x)22dx=q(x)dx=Q(x)dxdQ(x)

=q(x)dM(x)梁上最大彎矩可能發生在Q(x)=0

的截面上或梁段邊界的截面上。最大剪力發生在全梁或梁段的界面。

dM(x)22dx=q(x)dx=Q(x)dxdQ(x)

=q(x)dM(x)在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖的相應處形成尖角。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化。q<0向下的均布荷載無荷載集中力PC集中力偶mC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在Q=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有突變P在C處有尖角或在剪力突變的截面在C處無變化C在C處有突變m在緊靠C的某一側截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在截面的可能位置幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征例題：一簡支梁受兩個力P作用如圖

a所示。已知P=25.3KN，有關尺寸如圖所示。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。ABCD2001151265PP解：求梁的支反力。將梁分為AC，CD，DB

三段。每一段均屬無外力段。ABCD2001151265PP剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線AC段：Q1=RA=23.6KNCD段：Q2=RA-P=-1.7KNDB段：Q3=-RB=-27KN2+1.72723.6最大剪力發生在DB段中的任一橫截面上ABCD2001151265PP13彎矩圖AC:()CD:()DB:()2+1.72723.6ABCD2001151265PP13最大彎矩發生在C截面4.723.11+2ABCD2001151265PP13對圖形進行校核在集中力作用的C，D兩點剪力圖發生突變，突變值

P=25.3KN。而彎矩圖有尖角。4.723.11+B2ACD2001151265PP13+1.72723.6在AC段剪力為正值，彎矩圖為向上傾斜的直線。在CD和DB段，剪力為負值，彎矩圖為向下傾斜的直線。最大彎矩發生在剪力改變正，負號的C點截面處。4.723.11+B2ACD2001151265PP13+1.72723.6例題：一簡支梁受均布荷載作用，其集度q=100KN/m,如圖所示。試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：計算梁的支反力EqABCD0.21.612將梁分為AC，CD，DB三段。AC和DB上無荷載，CD段有向下的均布荷載。EqABCD0.21.61280KN80KN1

CD段：（）AC段：（）Q1=RA=80KN剪力圖EqABCD0.21.61221DB段：（）+80KN80KNEqABCD0.21.612彎矩圖AC段：（）CD段：（）21+80KN80KNEqABCD0.21.612其極值點在Q=0的中點E

處的橫截面上。DB段：（）MB=

021+80KN80KNEqABCD0.21.612MB=

0全梁的最大彎矩梁跨中E點的橫截面上。161648+21EqABCD0.21.612例題：作梁的內力圖解：支座反力為P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRAP=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRA將梁分為CA，AB

兩段。CA為無外力段，AB有向下的均布荷載。P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRA剪力圖CA：（–）AB：（）+-201525-P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRA設距B端x

的截面上剪力等于零x該截面上彎矩有極值=2.5+-201525-彎矩圖CA:（）AB:（）P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRAx=2.5+-201525-P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRAx=2.5-20+2031.25例題：作梁的內力圖解：支座反力為3m4mABcDE4m4m3m4mABcDE4m4m將梁分為AC、CD、DB、BE

四段剪力圖AC：向下斜的直線（）3m4mABcDE4m4mCD：向下斜的直線()3m4mABcDE4m4mDB：水平直線(—）Q=P2-RB=-3KNEB：水平直線(—）3m4mABcDE4m4m3m4mABcDE4m4mQ=-3KN7KN1KN++-3KN3KN2KN3m4mABcDE4m4m7KN1KN++-3KN3KN2KNF點剪力為零,令其距A點為x=5mX=5mFX彎矩圖AC：()（3m4mABcDE4m4m7KN1KN++-3KN3KN2KN=5mFXCD：()（DB：()BE：()3m4mABcDE4m4m7KN1KN++-3KN3KN2KN=5mFX3m4mABcDE4m4m+-20.5201666F分布荷載集度，剪力和彎矩之間的積分關系若在x=a

和x=b

處兩個橫截面A，B

間無集中力則等號右邊積分的幾何意義是，上述A，B兩橫截面間分布荷載圖的面積。式中，QA，QB分別為在x=a,x=b兩處各橫截面

A，B

上的剪力。若橫截面A，B

間無集中力偶作用則得式中，MA，MB分別為在x=a,x=b

處兩個橫截面

A

及B上的彎矩。等號右邊積分的幾何意義是，A，B兩個橫截面間剪力圖的面積。解：支座反力為RA=81KNRB=29KNmA

=96.5KN.m例題：

用簡易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖。10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA將梁分為AE，EC，CD，DK，KB

五段。10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA剪力圖AE段：水平直線QA右

=QE左

=RA

=81KN10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAED段：水平直線QE右

=RA-P=31KNDK段：向右下方傾斜的直線QK=-RB

=-29KN10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAKB段：水平直線QB左=-RB=-29KN10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KN10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx設距K

截面為x

的截面上剪力Q=0。即10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA=1.45彎矩圖AE，EC，CD

梁段均為向上傾斜的直線+81KN31KN29KN10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAx=1.45DK段：向上凸的二次拋

物線在Q=0

的截面上彎矩有極值+81KN31KN29KN10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAx=1.45KB

段：向下傾斜的直線+81KN31KN29KN10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAx=1.4510.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAx+9615.53155345中間鉸鏈傳遞剪力（鉸鏈左，右兩側的剪力相等）；但不傳遞彎矩（鉸鏈處彎矩必為零）。+81KN31KN29KNx10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAx+9615.53155345例題：畫內力圖AC:(—)CB:

()qa2aACBxx+-x(1)剪力圖設距A端為x的截面上剪力等于零X=1.5a=1.5aqa2aACBxx+-x=1.5aAC:(

)(2)彎矩圖CB:

()(qa2aACBxxx=1.5aAC:(

)(2)彎矩圖CB:

()(+-+abcd18KN2KN14KN3m3m6m補充例題：已知簡支梁，的剪力圖作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒有集中力偶作用。CABD+abcd18KN2KN14KN3m3m6mCABD解：畫荷載圖AB段：沒有荷載，在B處有集中力，P=20KN。因為所以P(

)P=20KN+abcd18KN2KN14KN3m3m6mCABDP=20KNBC

段：無荷載CD段：有均布荷載q(

)q=2KN彎矩圖AB段：向右上傾斜的直線+abcd18KN2KN14KN3m3m6mdabc54+abcd18KN2KN14KN3m3m6mBC段：向右下傾斜的直線CD段：向上凸的二次拋物線。

該段內彎矩沒有極值。dabc5448+補充例題：已知簡支梁的彎矩圖，作出梁的剪力圖和荷載圖。abcd解：作剪力圖AB段：因為M(x)=常量，剪力圖為水平直線，且Q(x)=0。40KN.m+abcd2m