第四章量綱分析與相似原理

本章主要介紹流體力學中的相似原理，模型實驗方法以及量綱分析法。

解決流體力學問題的方法數學分析

實驗研究

模型實驗以相似原理為基礎

第四章量綱分析與相似原理本章主要介紹流體力學中的相1量綱分析與相似理論課件2量綱分析與相似理論課件3量綱分析與相似理論課件4量綱分析與相似理論課件5第4章量綱分析與相似理論★本章重點掌握：量綱分析方法（瑞利法、定理）相似理論及其應用（相似準則、模型實驗設計）第4章量綱分析與相似理論★本章重點掌握：6§4-1量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位：表征各物理量的大小。如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。量綱：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質量類，用M表示。§4-1量綱分析的基本概念7二、基本量綱與基本物理量1.基本量綱：具有獨立性、唯一性

在工程流體力學中，若不考慮溫度變化，則常取質量M、長度L和時間T三個作為基本量綱。其它物理量的量綱可用基本量綱表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強dimp=ML－1

T－1二、基本量綱與基本物理量82.基本物理量：具有獨立性，但不具唯一性在工程流體力學中，若不考慮溫度變化，通常取3個相互獨立的物理量作為基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管徑)或F(力)、a(加速度)、l(長度)等。

?基本物理量獨立性判別任何兩個物理量的組合不能推出第3個物理量的量綱，即為3個物理量相互獨立。2.基本物理量：具有獨立性，但不具唯一性9三、物理方程的量綱齊次性原理凡是正確描述自然現象的物理方程，其方程各項的量綱必然相同。量綱齊次性原理是量綱分析的理論基礎。工程中仍有個別經驗公式存在量綱不齊次。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項去除其余各項，使其變為無量綱方程。如流體靜力學基本方程用除其余各項，可得無量綱方程：三、物理方程的量綱齊次性原理10§4-2量綱分析法

常用的量綱分析方法有瑞利法和泊金漢法（也稱π定理）。

一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間呈指數形式的乘積組合。例題1§4-2量綱分析法例題111二、π定理

基本思想：某一物理現象中，共有i個物理量(這些物理量不能由其它物理量組合而成)，這些物理量的基本量綱為j個，則i個物理量存在某種函數關系。例題2f(x1，x2，……，xi)=0如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，xi組成的無量綱量，則有：F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0

二、π定理基本思想：某一物理現象中，共有i個物理量(這些12應用Π定理的步驟（5步）：①確定影響此物理現象的各個物理量②從n個物理量中選取m個基本物理量作為m個基本因次的代表。m一般為3，應使其分別具有質量因次、時間因次（運動因次）、長度因次，如ρ、V、d③從三個基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個，連同三個基本物理量組合成一個無量綱的Π項，一共寫出n－3個Π項。④據因次齊次性求各Π項的指數ai，bi，ci⑤寫出描述物理現象的無因次關系式

應用Π定理的步驟（5步）：13§4-3流動相似的基本概念§4-3流動相似的基本概念14表征流動過程的物理量

描述幾何形狀的如長度、面積、體積等

描述運動狀態的如速度、加速度、體積流量等

描述動力特征的如質量力、表面力、動量等

按性質分幾何相似運動相似動力相似流動相似應滿足的條件表征描述幾何形狀的描述運動狀態的描述動力特征的按性質分幾何運15一.幾何相似（空間相似）定義：模型和原型的全部對應線形長度的比值為一定常數。（4-1）

以上標“＇”表示模型的有關量

:長度比例尺（相似比例常數）

一.幾何相似（空間相似）（4-1）以上標“＇”表示模16面積比例尺:（4-2）

體積比例尺:（4-3）

圖4-1幾何相似滿足上述條件，流動才能幾何相似

面積比例尺:（4-2）體積比例尺:（4-3）圖4-1幾17定義：滿足幾何相似的流場中，對應時刻、對應點流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度場（加速度場）相似。圖4-2速度場相似二運動相似（時間相似）定義：滿足幾何相似的流場中，對應時刻、對應圖4-2速度場相似18加速度比例尺:（4-6）注：長度比例尺和速度比例尺確定所有運動學量的比例尺。時間比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）加速度比例尺:（4-6）注：長度比例尺和速度比例尺確定所有19運動粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）運動粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）20定義：兩個運動相似的流場中，對應空間點上、對應瞬時作用在兩相似幾何微團上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它們的動力場相似。圖4-3動力場相似三.動力相似（力相似）定義：兩個運動相似的流場中，對應空間點上、對應瞬時作用在兩相21（4-10）

又由牛頓定律可知：其中：為流體的密度比例尺。（4-9）力的比例尺：（4-10）又由牛頓定律可知：其中：為流22動力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型與原型的密度比例尺，長度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動力學量的比例尺。

壓強（應力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）動力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了23幾何相似是運動相似和動力相似的前提；動力相似是決定流動相似的主要因素；運動相似是幾何相似和動力相似的表現。幾何相似是運動相似和動力相似的前提；24定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現象保證相似的條件或準則。由式(4-10)得:

（4-15）（4-16）（4-17）當模型與原型的動力相似，則其牛頓數必定相等，即；反之亦然。這就是牛頓相似準則。

稱為牛頓數，它是作用力與慣性力的比值。或:

令:

§4-4流動相似的準則定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現由式(4-10)得25一、重力相似準則（弗勞德準則）二、粘性力相似準則（雷諾準則）三、壓力相似準則（歐拉準則）四、彈性力相似準則(柯西準則)五、表面張力相似準則（韋伯準則）六、非定常性相似準則（斯特勞哈爾準則）

流場中有各種性質的力，但不論是哪種力，只要兩個流場動力相似，它們都要服從牛頓相似準則。一、重力相似準則（弗勞德準則）二、粘性力相似準則（雷諾準則）26一、重力相似準則或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）稱為弗勞德數，它是慣性力與重力的比值。

當模型與原型的重力相似，則其弗勞德數必定相等，反之亦然。這就是重力相似準則（弗勞德準則）。

（a）將重力比帶入式(4-15)得：重力場中，則：一、重力相似準則或:令:（4-18）（4-19）（427二、粘性力相似準則將粘性力之比帶入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）稱為雷諾數，它是慣性力與粘性力的比值。

當模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數必定相等，反之亦然。這就是粘性力相似準則（雷諾準則）。

（b）

模型與原型用同一種流體時，，則：二、粘性力相似準則將粘性力之比28三、壓力相似準則或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）當壓強用壓差代替：將壓力比帶入式(4-15)得：稱為歐拉數，它是總壓力與慣性力的比值。

當模型與原型的壓力相似，則其歐拉數必定相等，反之亦然。這就是壓力相似準則（歐拉準則）。

（4-27）（4-28）歐拉數:

歐拉相似準則:

三、壓力相似準則或:令:（4-24）（4-25）（429四、彈性力相似準則（柯西準則）將彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）稱為柯西數，它是慣性力與彈性力的比值。

當模型與原型的彈性力相似，則其柯西數必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準則（柯西準則）。

四、彈性力相似準則（柯西準則）將彈性力之比30四、彈性力相似準則（馬赫準則）（4-32）若流場中的流體為氣體，由于

（c為聲速）則彈性力之比帶入式(4-15)得：或:

（4-33）令:

（4-34）稱為馬赫數，它是慣性力與彈性力的比值。

稱為馬赫數，它是慣性力與彈性力的比值。

當模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數必定相等，反之亦然。這就是彈性力相似準則（馬赫準則）。

四、彈性力相似準則（馬赫準則）（4-32）若流場中的流體為31五、表面張力相似準則將表面張力之比帶入式(4-15)得:（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）稱為韋伯數，它是慣性力與表面張力的比值。

當模型與原型的表面張力相似，則其韋伯數必定相等，即；反之亦然。這就是表面張力相似準則（韋伯準則）。

五、表面張力相似準則將表面張力之比32六、非定常性相似準則或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）將慣性力之比帶入式(4-15)得：稱為斯特勞哈爾數，它是當地慣性力與遷移慣性力的比值。

當模型與原型的非定常流動相似，則其斯特勞哈爾數必定相等，即；反之亦然。這就是非定常相似準則（斯特勞哈爾準則）。

六、非定常性相似準則或:令:（4-38）（4-39）33以上給出的牛頓數、弗勞德數、雷諾數、歐拉數、柯西數、馬赫數、韋伯數、斯特勞哈爾數均稱為相似準則數。

如果已經有了某種流動的運動微分方程，可由該方程直接導出有關的相似準則和相似準則數，方法是令方程中的有關力與慣性力相比。幾點說明：弗勞德準則、雷諾準則和歐拉準則是工程流體力學的常用準則.

一般弗勞德準則、雷諾準則為獨立準則，而歐拉準則為導出準則.

以上給出的牛頓數、弗勞德數、雷諾數、歐拉如果34流動相似條件

流動相似：在對應點上、對應瞬時，所有物理量都成比例。

相似流動必然滿足以下條件：

1．任何相似的流動都是屬于同一類的流動，相似流場對應點上的各種物理量，都應為相同的微分方程所描述；2．相似流場對應點上的各種物理量都有唯一確定的解，即流動滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準則數相等是流動相似也必須滿足的條件。流動相似條件流動相似：在對應點上、對應瞬時，所有物理量相似35模型實驗主要解決的問題

：

1．根據物理量所組成的相似準則數相等的原則去設計模型，選擇流動介質；

2．在實驗過程中應測定各相似準則數中包含的一切物理量；

3．用數學方法找出相似準則數之間的函數關系，即準則方程式。該方程式便可推廣應用到原型及其他相似流動中去。

模型實驗主要解決的問題：1．根據物理量所組成的相似準則數36一、模型律的選擇從理論上講，流動相似應保證所有作用力相似，但一般難以實現。如僅保證重力和粘性力相似，則應同時滿足弗勞德準則和雷諾準則，故有即應按上式選擇模型流體，一般難以實現；若取即原、模型采用同oxing流體，則將導致，失去了模型試驗的價值。

§4-5模型試驗設計一、模型律的選擇§4-5模型試驗設計37實際應用時，通常只保證主要力相似.

一般情況下：有壓管流、潛體繞流：明渠流動、繞橋墩流動：選雷諾準則選弗勞得準則實際應用時，通常只保證主要力相似.一般情況下：有壓管流、38二、模型設計定長度比尺

，確定模型流動的幾何邊界；選介質，一般采用同一介質：；選模型律.例題3二、模型設計定長度比尺，確定模型流動的幾何邊界；39例題1[例1]已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動力粘度μ和管徑d有關，試用瑞利量綱分析法建立Vc的公式結構.[解]式中k為無量綱常數。其中，各物理量的量綱為：假定例題1[例1]已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動力40例題1代入指數方程，則得相應的量綱方程根據量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數k需由實驗確定.例題1代入指數方程，則得相應的量綱方程根據量綱齊次性原理，有41例題2[例2]實驗發現，球形物體在粘性流體中運動所受阻力FD與球體直徑d、球體運動速度V、流體的密度ρ和動力粘度μ有關，試用π定理量綱分析法建立FD的公式結構.[解]選基本物理量ρ、V、d，根據π定理，上式可變為其中假定例題2[例2]實驗發現，球形物體在粘性流體中運動所受阻力42例題2對π1：解上述三元一次方程組得：故例題2對π1：解上述三元一次方程組得：故43例題2代入，并就FD解出，可得：式中為繞流阻力系數，由實驗確定。同理：例題2代入，并就FD解出，可得：式中44例題3[例3]已知溢流壩的過流量Q＝1000m3/s,若用長度比尺CL＝1/60的模型(介質相同)進行實驗研究，試求模型的流量Q

.[解]溢流壩流動，起主要作用的是重力，應選擇弗勞德準則進行模型設計.例題3[例3]已知溢流壩的過流量Q＝1000m3/s,若45例題3由Fr準則：例題3由Fr準則：46第四章量綱分析與相似原理

本章主要介紹流體力學中的相似原理，模型實驗方法以及量綱分析法。

解決流體力學問題的方法數學分析

實驗研究

模型實驗以相似原理為基礎

第四章量綱分析與相似原理本章主要介紹流體力學中的相47量綱分析與相似理論課件48量綱分析與相似理論課件49量綱分析與相似理論課件50量綱分析與相似理論課件51第4章量綱分析與相似理論★本章重點掌握：量綱分析方法（瑞利法、定理）相似理論及其應用（相似準則、模型實驗設計）第4章量綱分析與相似理論★本章重點掌握：52§4-1量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位：表征各物理量的大小。如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。量綱：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質量類，用M表示。§4-1量綱分析的基本概念53二、基本量綱與基本物理量1.基本量綱：具有獨立性、唯一性

在工程流體力學中，若不考慮溫度變化，則常取質量M、長度L和時間T三個作為基本量綱。其它物理量的量綱可用基本量綱表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強dimp=ML－1

T－1二、基本量綱與基本物理量542.基本物理量：具有獨立性，但不具唯一性在工程流體力學中，若不考慮溫度變化，通常取3個相互獨立的物理量作為基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管徑)或F(力)、a(加速度)、l(長度)等。

?基本物理量獨立性判別任何兩個物理量的組合不能推出第3個物理量的量綱，即為3個物理量相互獨立。2.基本物理量：具有獨立性，但不具唯一性55三、物理方程的量綱齊次性原理凡是正確描述自然現象的物理方程，其方程各項的量綱必然相同。量綱齊次性原理是量綱分析的理論基礎。工程中仍有個別經驗公式存在量綱不齊次。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項去除其余各項，使其變為無量綱方程。如流體靜力學基本方程用除其余各項，可得無量綱方程：三、物理方程的量綱齊次性原理56§4-2量綱分析法

常用的量綱分析方法有瑞利法和泊金漢法（也稱π定理）。

一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間呈指數形式的乘積組合。例題1§4-2量綱分析法例題157二、π定理

基本思想：某一物理現象中，共有i個物理量(這些物理量不能由其它物理量組合而成)，這些物理量的基本量綱為j個，則i個物理量存在某種函數關系。例題2f(x1，x2，……，xi)=0如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，xi組成的無量綱量，則有：F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0

二、π定理基本思想：某一物理現象中，共有i個物理量(這些58應用Π定理的步驟（5步）：①確定影響此物理現象的各個物理量②從n個物理量中選取m個基本物理量作為m個基本因次的代表。m一般為3，應使其分別具有質量因次、時間因次（運動因次）、長度因次，如ρ、V、d③從三個基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個，連同三個基本物理量組合成一個無量綱的Π項，一共寫出n－3個Π項。④據因次齊次性求各Π項的指數ai，bi，ci⑤寫出描述物理現象的無因次關系式

應用Π定理的步驟（5步）：59§4-3流動相似的基本概念§4-3流動相似的基本概念60表征流動過程的物理量

描述幾何形狀的如長度、面積、體積等

描述運動狀態的如速度、加速度、體積流量等

描述動力特征的如質量力、表面力、動量等

按性質分幾何相似運動相似動力相似流動相似應滿足的條件表征描述幾何形狀的描述運動狀態的描述動力特征的按性質分幾何運61一.幾何相似（空間相似）定義：模型和原型的全部對應線形長度的比值為一定常數。（4-1）

以上標“＇”表示模型的有關量

:長度比例尺（相似比例常數）

一.幾何相似（空間相似）（4-1）以上標“＇”表示模62面積比例尺:（4-2）

體積比例尺:（4-3）

圖4-1幾何相似滿足上述條件，流動才能幾何相似

面積比例尺:（4-2）體積比例尺:（4-3）圖4-1幾63定義：滿足幾何相似的流場中，對應時刻、對應點流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度場（加速度場）相似。圖4-2速度場相似二運動相似（時間相似）定義：滿足幾何相似的流場中，對應時刻、對應圖4-2速度場相似64加速度比例尺:（4-6）注：長度比例尺和速度比例尺確定所有運動學量的比例尺。時間比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）加速度比例尺:（4-6）注：長度比例尺和速度比例尺確定所有65運動粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）運動粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）66定義：兩個運動相似的流場中，對應空間點上、對應瞬時作用在兩相似幾何微團上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它們的動力場相似。圖4-3動力場相似三.動力相似（力相似）定義：兩個運動相似的流場中，對應空間點上、對應瞬時作用在兩相67（4-10）

又由牛頓定律可知：其中：為流體的密度比例尺。（4-9）力的比例尺：（4-10）又由牛頓定律可知：其中：為流68動力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型與原型的密度比例尺，長度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動力學量的比例尺。

壓強（應力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）動力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了69幾何相似是運動相似和動力相似的前提；動力相似是決定流動相似的主要因素；運動相似是幾何相似和動力相似的表現。幾何相似是運動相似和動力相似的前提；70定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現象保證相似的條件或準則。由式(4-10)得:

（4-15）（4-16）（4-17）當模型與原型的動力相似，則其牛頓數必定相等，即；反之亦然。這就是牛頓相似準則。

稱為牛頓數，它是作用力與慣性力的比值。或:

令:

§4-4流動相似的準則定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現由式(4-10)得71一、重力相似準則（弗勞德準則）二、粘性力相似準則（雷諾準則）三、壓力相似準則（歐拉準則）四、彈性力相似準則(柯西準則)五、表面張力相似準則（韋伯準則）六、非定常性相似準則（斯特勞哈爾準則）

流場中有各種性質的力，但不論是哪種力，只要兩個流場動力相似，它們都要服從牛頓相似準則。一、重力相似準則（弗勞德準則）二、粘性力相似準則（雷諾準則）72一、重力相似準則或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）稱為弗勞德數，它是慣性力與重力的比值。

當模型與原型的重力相似，則其弗勞德數必定相等，反之亦然。這就是重力相似準則（弗勞德準則）。

（a）將重力比帶入式(4-15)得：重力場中，則：一、重力相似準則或:令:（4-18）（4-19）（473二、粘性力相似準則將粘性力之比帶入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）稱為雷諾數，它是慣性力與粘性力的比值。

當模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數必定相等，反之亦然。這就是粘性力相似準則（雷諾準則）。

（b）

模型與原型用同一種流體時，，則：二、粘性力相似準則將粘性力之比74三、壓力相似準則或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）當壓強用壓差代替：將壓力比帶入式(4-15)得：稱為歐拉數，它是總壓力與慣性力的比值。

當模型與原型的壓力相似，則其歐拉數必定相等，反之亦然。這就是壓力相似準則（歐拉準則）。

（4-27）（4-28）歐拉數:

歐拉相似準則:

三、壓力相似準則或:令:（4-24）（4-25）（475四、彈性力相似準則（柯西準則）將彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）稱為柯西數，它是慣性力與彈性力的比值。

當模型與原型的彈性力相似，則其柯西數必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準則（柯西準則）。

四、彈性力相似準則（柯西準則）將彈性力之比76四、彈性力相似準則（馬赫準則）（4-32）若流場中的流體為氣體，由于

（c為聲速）則彈性力之比帶入式(4-15)得：或:

（4-33）令:

（4-34）稱為馬赫數，它是慣性力與彈性力的比值。

稱為馬赫數，它是慣性力與彈性力的比值。

當模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數必定相等，反之亦然。這就是彈性力相似準則（馬赫準則）。

四、彈性力相似準則（馬赫準則）（4-32）若流場中的流體為77五、表面張力相似準則將表面張力之比帶入式(4-15)得:（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）稱為韋伯數，它是慣性力與表面張力的比值。

當模型與原型的表面張力相似，則其韋伯數必定相等，即；反之亦然。這就是表面張力相似準則（韋伯準則）。

五、表面張力相似準則將表面張力之比78六、非定常性相似準則或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）將慣性力之比帶入式(4-15)得：稱為斯特勞哈爾數，它是當地慣性力與遷移慣性力的比值。

當模型與原型的非定常流動相似，則其斯特勞哈爾數必定相等，即；反之亦然。這就是非定常相似準則（斯特勞哈爾準則）。

六、非定常性相似準則或:令:（4-38）（4-39）79以上給出的牛頓數、弗勞德數、雷諾數、歐拉數、柯西數、馬赫數、韋伯數、斯特勞哈爾數均稱為相似準則數。

如果已經有了某種流動的運動微分方程，可由該方程直接導出有關的相似準則和相似準則數，方法是令方程中的有關力與慣性力相比。幾點說明：弗勞德準則、雷諾準則和歐拉準則是工程流體力學的常用準則.

一般弗勞德準則、雷諾準則為獨立準則，而歐拉準則為導出準則.

以上給出的牛頓數、弗勞德數、雷諾數、歐拉如果80流動相似條件

流動相似：在對應點上、對應瞬時，所有物理量都成比例。

相似流動必然滿足以下條件：

1．任何相似的流動都是屬于同一類的流動，相似流場對應點上的各種物理量，都應為相同的微分方程所描述；2．相似流場對應點上的各種物理量都有唯一確定的解，即流動滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準則數相等是流動相似也必須滿足的條件。流動相似條件流動相似