20/20正方形一周強化一、一周知識概述、正方形的定義與性質有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形．從定義可知，正方形既是一種特殊的矩形（有一組鄰邊相等的矩形），又是一種特殊的菱形（有一個角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性質．正方形被對角線分成的三角形，都是等腰直角三角形．、正方形的判定從平行四邊形出發：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形．從矩形出發：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．從菱形出發：有一個角是直角的菱形是正方形．、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關系如圖．二、重難點知識歸納正方形的判定和性質的綜合運用是重點．幾種特殊的平行四邊形的判定的恰當選擇是難點．三、例題解析、利用正方形對角線的性質解題例、如圖，在正方形中，點、在上，且．請猜測四邊形的形狀，并對你的猜測給出合理的說明．解：四邊形為菱形．理由如下：連結交于點．∵四邊形為正方形，∴，，又，∴．∴四邊形是平行四邊形．又∵⊥∴四邊形為菱形點撥：正方形的對角線互相垂直平分且相等的性質，會為解題帶來很多方便．例、如圖，正方形的對角線交于點，是上任一點，⊥于點，交于點．求證：．證明：∵四邊形為正方形，∴對角線、互相垂直平分于點，即，⊥．又⊥，∴∠∠．∴∠∠∠．∴△≌△，∴．點撥：這里主要是應用正方形對角線互相垂直平分來破題的．、利用正方形的軸對稱性解題例、如圖，已知、分別是正方形的邊、上的點，、分別與對角線相交于點、．若∠°，求∠＋∠的度數．解：在四邊形中，∵∠°，∠°，∴∠＋∠°－（°＋°）°．∵與、與均關于直線對稱，∴∠∠°，∴∠＋∠°．又五邊形內角和為°，∴∠＋∠°－(∠＋∠)－(∠＋∠)－∠°－°－°－°°．點撥：利用正方形的對稱性作角和線段的轉化十分快捷，如圖中∠∠，∠∠，，等．例、已知，如圖，在正方形中，點在上．解：（）∵點在上，點、關于對稱，∴．（）能用文字概括為“正方形一條對角線上的一點和另一條對角線的兩端距離相等”．（）能．證明：連結，由（）可知，又∵⊥，⊥，∴∠∠°．又∵∠°，∴四邊形是矩形，∴，∴．點撥：該題（）的結論是一個常用到的正方形的性質，也可用對稱的知識或證△≌△得到，在例中該圖已經出現過；第（）小題的證明思路是，抓住正方形是軸對稱圖形這一特點，把正方形沿對稱軸翻折，使翻折到，把要證轉化為只要證，從而達到把分散的條件集中到一塊的目的．、利用旋轉法解決有關正方形問題例、如圖，正方形的邊長，為上一點，連結，作⊥交的延長線于點，作⊥交于點．若，求的長．解：△繞點旋轉°后可以得到△，∴△≌△．∴．∴．點撥：分析條件⊥，⊥，，于是可以將△旋轉，旋轉實質還是兩個三角形全等．例、如圖，在一正方形花池內需要裝一只噴頭，且滿足︰︰︰︰．求∠的度數．解：將△繞點順時針旋轉°得△′，連結′．∵︰︰︰︰，∴可設′，′，．又△′為等腰直角三角形，∴′＋′()＋()．又()，∴′＋′．∴∠′°．故∠′°＋°°．∴∠∠′°．點撥：這里是通過旋轉，將分散的條件集中起來，再由三角形邊與邊的關系，求出有關角的大小．、構造正方形解題例、如圖，⊥，⊥，是上一點，，，，∠°，∠°．求的長．解：過作的垂線交延長線于點，則∵∠°，∠°，∴∠°－(°＋°)°，∠°－°°．又，∴△是等邊三角形，∴．又∠°－(°＋°)°，∴∠∠，∴△≌△．∴．點撥：此題是通過補圖，構造正方形求解．、利用正方形性質解選擇題例、如圖，有兩個正方形和一個等邊三角形，則圖中度數為°的角有（）．個．個．個．個解：如圖．∵△′為正三角形，四邊形、四邊形′′′均為正方形，∴∠′∠′°．在四邊形′中，易知∠′°－°×－°°．故∠′∠′°．故選．點評：本題極易誤選．梯形一周強化一、一周知識概述、梯形的概念梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形，這兩個條件缺一不可．換一種說法就是，一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形．等腰梯形和直角梯形是兩種特殊梯形．、等腰梯形的性質與判定()等腰梯形的性質①等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，底邊的垂直平分線是它的對稱軸；②等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；③等腰梯形的兩條對角線相等．()等腰梯形的判定同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形．、梯形中常見輔助線作法()平移一腰，使兩腰、兩底角集中于同一個三角形中，并且得出兩底之差(如圖())；()平移一條對角線，使兩條對角線與兩底之和構成一個三角形，并且能得出兩底之和(如圖())；()延長兩腰交于一點，將梯形轉化為三角形(如圖())；()作梯形的高，將梯形轉化為矩形與直角三角形(如圖())；()延長頂點與一腰中點的連線交底邊于一點，將梯形轉化為三角形，并且集中了兩底(如圖())；()將梯形割補為平行四邊形(如圖())；二、重難點知識歸納、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有關概念，并了解它們之間的關系．、探索等腰梯形的有關性質和常用判別方法，并能運用它們進行有關的證明和計算．、通過對梯形輔助線的探索，學會將未知問題轉化為已知問題，培養化歸意識．三、典型例題剖析、直接利用等腰梯形的性質或判定解題例、如圖，為等腰梯形的下底上一點，⊥，⊥，，為垂足，⊥，為垂足．求證：＋．證明：過點作⊥于點．∵⊥，⊥，∴四邊形是矩形．∴，∥．∴∠∠．∵四邊形為等腰梯形，∴∠∠．∴∠∠．又⊥，公共，∴△≌△．∴．∴＋＋．點撥：要證線段的和差問題，通常可以考慮用“截長法”或“補短法”來完成，本例采用的是“截長法”．例、如圖，已知矩形中，、分別是、的中點．求證：四邊形是等腰梯形．證明：∵四邊形是矩形，∴，∥．又、分別是、中點，∴∥，．∴∥．又，∴四邊形是梯形．又，∴△≌△()．∴∠∠又∠∠，∴∠∠∴梯形是等腰梯形．點撥：這里是先根據梯形定義，判定四邊形是梯形，再證同一底上兩底角相等．例、如圖，已知四邊形中，，，≠．求證：四邊形是等腰梯形．證明：過點作∥交邊于點．∵，，，∴△≌△，∴∠∠又∥，∴∠∠∴∠∠，∴，∴．∴四邊形是平行四邊形．∴∥．又，且≠，∴四邊形為等腰梯形．點撥：判定一個任意四邊形為等腰梯形，如果不能直接運用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通過作輔助線，將此四邊形分解為熟悉的多邊形，此例就是通過作平行線，將四邊形分解成為一個平行四邊形和一個等腰三角形．、梯形輔助線的作法例、如圖，在等腰梯形中，∥，，，．求∠的度數．解：過點作∥交于點，∵∥，∴四邊形是平行四邊形．∴，．∴－，∴又，∴∴△是等邊三角形．∴∠°點撥：過頂點作一腰的平行線，把梯形化為平行四邊形和三角形，轉化的目的是把條件都集中到以∠為內角的三角形中．例、如圖，在梯形中，∥，且＋，為的中點．求證：⊥．證明：延長交的延長線于點．∵為中點，∥，∴△≌△．∴，．∴＋．由等腰三角形“三線合一”知，⊥．點撥：根據證題的需要，集中梯形的兩底也是常用的添加輔助線的方法．本例也可以先延長至，使，再證、、共線．例、如圖，梯形中，∥，對角線⊥，且，，求該梯形上下底的和．解：過作∥交的延長線于點．∵∥，∴，．∵⊥，∴⊥．在△中，∴＋＋．點撥：過頂點作一條對角線的平行線，把兩條對角線的數量關系和位置關系集中到一個三角形中，將求梯形上下底的長轉化為求直角三角形斜邊的長．例、如圖，在等腰梯形中，∥，，且⊥，是梯形的高，梯形的面積是．求梯形的高．解法：如圖(甲)，過作∥交的延長線于點．∵⊥，∴⊥．∵∥，∴，．又∵四邊形是等腰梯形，∴．∴．∴△是等腰直角三角形．又是斜邊上的高，故也為斜邊上的中線．∴∴∴解法：設梯形的兩條對角線相交于點，過作⊥于點，延長交于點(如圖(乙))．∵∥，∴⊥．∵，，公共，∴△≌△．∴∠∠．又∵⊥，∴△是等腰直角三角形．∴．同理．∴．以下解答過程與解法相同．解法：過作⊥于點(如圖(丙))．∵梯形是等腰梯形，∴，∠∠．又∵，∴△≌△，∴∠∠．又∵⊥，∴∠∠°．∴△和△都是等腰直角三角形．∴，，∴．以下解答過程與解法相同．點撥：本題的三種解法都是利用等腰直角三角形的性質或全等三角形的性質來證明該梯形的高就等于該梯形的中位線的長．因此，在等腰梯形中，若兩條對角線垂直，則這個梯形的高就等于中位線的長，梯形的面積就等于高的平方．例、如圖，已知在等腰梯形中，∥．()若，，梯形的高是，求梯形的周長；()若，，梯形的高是，梯形的周長為，則；(請用含的代數式表示；答案直接寫在橫線上，不要求證明)