大學物理競賽培訓電學第四講理學院物理系張晚云大學物理競賽培訓電學第四講理學院物理系一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電容器、電介質有關的計算；五、電場能量的計算。三、靜電平衡問題的計算；本講主要內容大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：應特別注意矢量的運算方法１直接積分法方法２典型帶電體的場強場強疊加原理方法３利用高斯定理求特殊對稱分布帶電體的場強方法４利用場強與電勢的關系大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：應特別注例1.很細的不導電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空隙為2cm，電荷量為3.12×10-9C的正電荷均勻分布在細棒上。求圓心處場強的大小和方向。Rd=3.12mRld=π2q=l

l解：運用補償法。圓心處的場強等于缺口段負電荷所產生的場強。<d<R缺口段的電荷可以看作為點電荷。∵′q=l

d=2.0×10-11CπqR2ε40=EO′=0.72

V/m方向由圓心指向缺口一、場強與電通量的計算大學物理競賽培訓第四講例1.很細的不導電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=

其方向為由圓心O點指向

變1：真空中一半徑為R的均勻帶電球面，總電量為今在球面上挖去非常小塊的面積ΔS(連同電荷)，不影響原來的電荷分布，且假設Q(Q>0)。大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=其方向為由圓心O點··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－腔內場強：半徑為R1的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球內場強空腔內為勻強場。變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔內任一點的電場強度E。大學物理競賽培訓第四講疊加一、場強與電通量的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的A角上，則通過側面abcd

的電場強度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平面。設q在垂直于平面并通過圓心o的軸線上A點處，A點與圓心o點的距離為d試計算通過此平面的E通量。ARqo.πΩ2=()rrdr2=π2()rdr解：A點對平面所張的立體角為：通過整個球面(即立體角4π)為的電通量為qε0通過圓平面的電通量為=Φeqεπ40Ωd()=qεπ40π2Rd2+2Rd2+2dr大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，其密度僅與到球殼中心的距離r有關，若球殼外任一點的電場的大小相等，求電荷體密度ρ與r的關系。解：球殼外任一點的場強大小＝球殼表面處場強取半徑分別為r和r+△r的兩個同心球面作為高斯面由高斯定律：由此解得：大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，變1.設氣體放電形成的等離子體在圓柱內的電荷分布可用右式表示式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處的電荷體密度,a是常量。試計算其場強分布。1+ar20()ρρ(r)=2解：先計算高斯面內的電量πρ2rld=dq()rr1+ar20()ρ=2π2ldrr1+ar20()ρ=2π2ldrrqòr01+ra20()ρ=πla2大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算變1.設氣體放電形成的式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+ra2()1.=2Erε00ρa21+ra2()1由高斯定律：q1+ra20()ρ=πla2高斯面內的電量為：理學院物理系張晚云大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+raqOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷受力：點電荷在范圍內作簡諧振動例4、如圖，在兩平行無限大平面內是電荷體密度ρ(>0)的均勻帶電空間。有一質量為m，電量為q(<0)的點電荷在帶電板的邊緣自由釋放。在僅考慮電場力不考慮其他阻力的情況下，求該點電荷運動到中心對稱面OO’的時間。大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算qOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：標量直接求和方法Ⅰ直接積分法方法Ⅱ典型帶電體的電勢電勢疊加原理方法Ⅲ場強積分法（沿電力線積分）熟記電偶極子、均勻帶電圓環/圓盤、均勻帶電球面/球體，無限長均勻帶電圓柱面/柱體、無限大帶電平面的E、Ｕ分布。大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：標量直例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷，測得圖中P、Q兩點（均為相應正三角形的中心）的電勢分別為和，若撤去BC棒，則P、Q兩點的電勢各為多少？BPQAC解：根據對稱性，設AB、BC、CA三棒對P點的電勢貢獻及AC對Q點的電勢貢獻皆為AB、BC棒對Q點的電勢貢獻皆為撤去BC棒后，應有大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二半兩球面上的面電荷密度為σ1與σ2

滿足關系σ1R1=-σ1R2。(1)試證小球面所對的圓截面S為一等勢面；(2)求等勢面S上的電勢。提示：將兩半球面均補全為閉合球面因上述任一閉合帶電球面內為等勢體，則小球面所圍區域內各點電勢為各去掉一半時，由電勢疊加大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電荷密度為σ，A點的坐標為(0,R/2),B點的坐標為(3R/2,0),如圖所示。則A、B兩點處的電勢差為_________。根據對稱性BxryAC解：取如圖所示C點(0,3R/2)補上下半球面成為完整球面后再由根據對稱性大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球體內、外的場強：變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔中心處的電勢。均勻帶電球體內某點的電勢大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均例3.如圖，某質子加速器使每個質子獲得2KeV的動能，很細的質子束射向一個遠離加速器、半徑為r的金屬球，從球心到質子束延長線的垂直距離d=r/2。假定質子與金屬相碰后將其電荷全部交給金屬球，經足夠長時間后，金屬球的最高電勢（以無窮遠處的電勢為零）為

。qedr解：當金屬球達到最高電勢時，質子軌跡剛好與金屬球相切。此時，質子與金屬球組成的系統角動量守恒，且機械能守恒。大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算例3.如圖，某質子加速器使每個質子獲得2KeV的動能，很細三、靜電平衡問題的計算1、導體的靜電平衡狀態及其特點【靜電平衡狀態】導體的內部和表面都沒有電荷作任何宏觀定向運動的狀態.特點(a)導體內部任一點的電場強度都等于零(b)導體表面任一點的場強方向垂直于表面(c)整個導體為一等勢體2、導體在靜電平衡狀態下的電荷分布(1)凈電荷只能分布于導體的表面上.(2)導體表面任意點的電荷的面密度與該點附近的場強的關系.(3)孤立帶電導體：電荷面密度與曲率半徑成反比。大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算1、導體的靜電平衡狀態及其特點【靜電平3、解決靜電平衡問題的基本依據1.靜電平衡的條件2.基本性質方程3.電荷守恒定律(沒接地時）注：導體接地時，其電勢必為零，但其表面電荷不一定為零大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算3、解決靜電平衡問題的基本依據1.靜電平衡的條件2.基本性質例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很小)，則板上離點電荷最近處的感應電荷面密度σ=

。解：因金屬板接地，在背離+q的面上無感應電荷，感應電荷只分布在面向+q的一面Pd+qσ由靜電平衡條件：其中：大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很變1、帶電導體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導體球表面附近一點，若無限大帶電平面的面電荷密度為，P點附近導體球表面的面電荷密度為，則P點電場強度的大小等于__________。解：導體球達到靜電平衡后，導體球為等勢體，其內部場強為零，球表面的電荷形成穩定分布O此時，導體外表面附近的電場強度僅由該處電荷面密度決定：大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算變1、帶電導體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導體球表q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應過程中總電量不變；靜電平衡后，導體球為等勢體。例2、如圖所示，有一半徑為R，帶電量Q的導體球，在距球心O點d1處放置一已知點電荷q1，在距球心d2處再放置一點電荷q2，當q2電荷電量為_______時可使導體球電勢為零（以無窮遠處為電勢零點）。大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應過程中總電量不變；例2、電荷守恒:例3空腔導體球殼外有點電荷求：⑴感應電荷在O處的⑶空腔接地，求感應電荷的總量.已知:⑵腔內任一點的解:⑴感應電荷在O處的感應電荷在O處的電勢:大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算電荷守恒:例3空腔導體球殼外有點電荷求：⑴感應電荷在O接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導體為等勢體:腔內任一點:⑵求腔內任一點的⑶空腔接地，求感應電荷的總量大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導體為等勢體:腔內任一點:例4、如圖所示，兩個同心的薄導體球殼均接地，內球殼半徑為a，外球殼半徑為b。另有一電量為Q的點電荷置于兩球殼之間，距球心r處，則內球上的感應電荷q1=

，外球上的感應電荷q2=

。解：將兩薄球殼視為一導體組，若不接地，由靜電感應，系統將產生+Q感與-Q的感應電量，兩者地后，+Q被移入大地。故有aQrb大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算例4、如圖所示，兩個同心的薄導體球殼均接地，內球殼半徑為a，四、電介質中靜電場的計算1、電介質中的電場強度2、極化電荷面密度:介質+真空導體+介質3、均勻、線性、各向同性電介質中的電極化強度：４、電位移:大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算1、電介質中的電場強度2、極化電荷面例1、在電荷面密度為的無限大帶電導體板兩側分別充以介電常數與的均勻電介質，如圖所示，則導體兩側電場強度的大小

，

。解：設加介質后導體板兩側的自由電荷面密度分別為由D的高斯定理，得設板兩側界面處的束縛電荷面密度為導體板兩側均相當于均勻無限大帶電平面，為保證導體板內E=0，必有故兩側介質中的電場大小相等由(1)、(2)式可得大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算例1、在電荷面密度為的無限大帶電導體板兩側分別充以介電常數變1、厚度為d的無限大平板內分布有均勻電荷密度()的自由電荷，在板外兩側分別充有介電常數為和的電介質，如圖。（1）求板內外的電場分布；（2）板外的A點和B點分別距左右兩板壁為l，求。提示：由電荷分布的特點可知，在板內一定存在一個E=0的平面(MM′)，它距左、右側面分別為a、b.dllMM′abx板內板外AB大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算變1、厚度為d的無限大平板內分布有均勻電荷密度(例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分充滿相對介電常數為的電介質，左半部分空間的正中位置有一帶電小球P,電容器充電后P恰好處于平衡狀態，斷開電源后將電介質快速抽出,不計靜電平衡經歷的時間及帶電球P對電容器極板電荷分布的影響，則P將經多久后到達某極板。提示：設小球質量為m電量為q，電容器極板面積S,電量為Q抽出電介質前P抽出電介質后由牛頓第二定律大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分充滿相對介電常量為的固態電介質的大平行板電容器相連，設此時圖中帶電小球P恰好處于平衡狀態，現將電介質快速抽出,穩定后P將經t=

后到達某極板。提示：設小球質量為m電量為-q，抽出電介質前P+-抽出電介質后由牛頓第二定律大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數為、外徑為2R的均勻電介質殼，介質內均勻地分布著電量為

，的自由電荷，金屬球接地，則介質殼的電勢為

。解：金屬球接地，U=0，其上電量設為q，介質殼內的場強為介質殼外的場強為故介質殼外表面的電勢為大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數為、外五、電容器及其儲能的計算大學物理競賽培訓第四講1、電容器及其電容（1）孤立導體(無窮遠處為電勢零點)（2）雙導體電容器（3）電容器的串并聯熟記平行板電容器、球形電容器與圓柱形電容器的電容。五、電容器及其儲能的計算大學物理競賽培訓第四講1、電容器及其2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續帶電體的靜電能（自能）U為所有電荷元在dq（非點電荷）所在處激發的電勢Ui為除qi

以外的所有電荷在qi處產生的電勢（3）電容器的儲能（4）一般靜電場的能量大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續帶電體的五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導線單位長度間的電容（導線半徑a，軸線間距離d）解：設單位長度帶電（導體內）（導體間）大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導線單位長度間的例2一同軸圓柱形電容器，外導體筒的內徑為b，內導體筒的外徑可調，兩筒間充滿了各向同性均勻電介質。已知電介質的擊穿場強為E0，試求該電容器所能承受的最大電壓

xb解：設內筒的外徑為x，內、外筒的電量線密度為λ、-λ,由高斯定理可得內、外筒的電勢差為由(1)式知，最大場強（即擊穿場強）為大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算例2一同軸圓柱形電容器，外導體筒的內徑為b，內導體筒的外徑例3在長為L、內芯導線半徑為a、外導體圓筒內徑b的的同軸圓柱形電容器中充以相對介電常數為的固體電介質。則(1)若把該電容器與電勢為U的電源相連后，抽出電介質一部分，當不計邊緣效應時，為維持電介質拉出的位置不動，需多大的力，方向如何？(2)若與上述電源充電后，斷開電源，則結果如何。解：同軸圓柱形電容器中充滿電介質時的電容為當拉出一部分電介質時，設拉出部分長度為x，則電容變為(1)電介質的移動使電容器的儲能發生變化，為維持兩板間電壓不變，電源必須做功。且電源的功轉化為儲能的增量和電力的功方向指向內部大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算例3在長為L、內芯導線半徑為a、外導體圓筒內徑b的的同軸圓當拉出一部分電介質時，設拉出部分長度為x，則電容變為(2)電容器充電后斷開電源，則電量固定。此時，儲能的變化量等于電力的功方向指向內部注意：電容器內的電場有“吸引”電介質的作用！因此，當把電容器浸入液體介質中時，會使得液體在電容器內部上升形成液柱，當液柱的重力與上述靜電引力相平衡時，液面不再上升。大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算當拉出一部分電介質時，設拉出部分長度為x，則電容變為(2)六、有關電路的計算1、電阻大學物理競賽培訓第四講對非均勻截面電阻：2、歐姆定律微分形式的歐姆定律：一段含源電路的歐姆定律：電流方向和電動勢方向與A→B方向一致的取“﹢”,反之，取“-”。3、焦耳-楞次定律的微分形式六、有關電路的計算1、電阻大學物理競賽培訓第四講對非均勻截面六、有關電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學物理競賽培訓第四講對電路的“節點”：IiS節點(1)基爾霍夫第一定律規定從節點流出：

I

>0，流入節點：I

<0。(2)基爾霍夫第二定律在穩恒電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數和等于零。六、有關電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學物理競賽培訓六、有關電路的計算5、RC充、放電電路大學物理競賽培訓第四講(1)電路似穩

(2)Kirchhoff方程仍然適用(3)時間常數充電：放電：六、有關電路的計算5、RC充、放電電路大學物理競賽培訓第1、電阻的計算例1：一電纜的芯線是半徑為

r1的銅線，在銅線外包一層同軸的絕緣層，絕緣層的外徑為r2，電阻率為ρ，在絕緣層外又用鉛層保護起來。當電纜在工作時，芯線與鉛層之間存在著徑向漏電電流。試求長為l的這種纜線的徑向漏電電阻。分析：由于漏電電流沿徑向通過不同截面的圓柱，因此絕緣層的電阻可視為無數圓柱薄層的電阻串聯而成。解：在此絕緣層沿徑向取半徑為r、厚為dr的薄圓柱層，其電阻為：大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算1、電阻的計算例1：一電纜的芯線是半徑為r1的銅線，在銅線例2：一長為L的金屬接頭具有如圖所示的圓臺狀，電流從半徑為r1的端面S1流向半徑為r2的端面S2，且在任一截面上都是均勻分布的，試求：S1和S2面之間的電阻。O大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算例2：一長為L的金屬接頭具有如圖所示的圓臺狀，電流從半徑為例3：碳膜電位器中的碳膜，它是蒸敷在絕緣基片厚為t、內半徑為r1，外半徑為r2

的一層碳構成。A、B為引出端，環形碳膜總張角為,電流沿圓周曲線流動。求：A、B之間的電導？ABr1

r2

A、B

間電阻可視為由若干不同長度而截面相同的電阻并聯而成。電導為：大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算例3：碳膜電位器中的碳膜，它是蒸敷在絕緣基片厚為t、內半徑為2、歐姆定律的微分形式應用歐姆定律微分形式常涉及到電場和電勢，它們之間仍有：例1：一高壓輸電線被風吹斷，一端觸地，從而使強度為I的電流由接觸點流入地內，高地面水平，土地的電阻率為ρ，當人走近輸電線接地端，左右兩腳（間距為l）間的電壓稱為跨步電壓.試求距觸地點為L處的跨步電壓。分析：高壓線觸地后，電流以觸地點為球心，呈半球狀沿徑向流入地面，離地r處的電流密度為rab距觸地點為L處的跨步電壓離觸地點越近，跨步電壓越高。大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算2、歐姆定律的微分形式應用歐姆定律微分形式常涉及到電場和電勢變1：在一塊很大的電阻材料的水平表面上，豎直并排地插四根金屬針，針間距都是d，針與表面接觸良好。外邊兩針間接以電源，中間兩針接電壓表。設流過電源的電流為I,電壓表讀數為U.則材料的電阻率為

。分析：電阻材料中的電流是流入電流與流出電流（均以接觸點為球心，呈半球狀沿徑向流入或流出）的疊加，當只有流入存在時，媒質中的電流密度為r電壓表兩端所在位置的電勢差為dddab同理，當只有流出電流時，電壓表兩端所在位置的電勢差為故電壓表讀數應為材料電阻率為大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算變1：在一塊很大的電阻材料的水平表面上，豎直并排地插四根金屬例2：球形電容器的兩個極為兩同心金屬球殼，極間充滿均勻各向同性的線性介質，其相對介電常數為。當電極帶電后，其極上電荷量因介質漏電而逐漸減少。設介質的電阻率為ρ，t=0時，內外電極上電量分別為±Q，求電極上電量隨時間減少的規律以及兩極間與球心相距為r的任一點處的傳導電流密度。解：取包圍內電極，位于內外電極之間的任一閉合面，由電流連續性方程高斯定理因電流密度與電場均呈球對稱，有0大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算例2：球形電容器的兩個極為兩同心金屬球殼，極間充滿均勻各向同變1：已知兩個同心金屬球殼的半徑分別為a、b(b>a)，中間充滿電導率為，且，其中K為常數，現將兩球殼維持恒定電壓U，求兩球殼間的電流。解：在兩金屬球殼間取半徑為r的球面，則穿過此面的電流為而兩金屬球殼間的電勢差大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算變1：已知兩個同心金屬球殼的半徑分別為a、b(b>a)，中間例3、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導電性的電介質A和B，它們的介電常數、電導率和厚度分別為和；且。現將此電容器接至電壓為U的電源上，。試求穩定時(1)電容器所損耗的功率P；(2)介質A和B中的電場能量WA和WB；(3)兩介質交界面上的自由電荷與束縛電荷面密度。解：(1)兩板間電阻+-故損耗功率為(2)由電流連續大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算例3、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導變1、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導電性的電介質A和B，它們的介電常數、電導率和厚度分別為和；且。現將此電容器接至電壓為U的電源上，。試求穩定時(1)電容器所損耗的功率P；(2)介質A和B中的電場能量WA和WB；(3)兩介質交界面上的自由電荷與束縛電荷面密度。(3)在兩介質交界面應用D的高斯定理，得+-由E的高斯定理，得大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算變1、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導例4、如圖所示，電鍵S原來置于a端，電容器C已經被充滿了電。現將S由a端擲向b端，直至電容器完全放完電。試證明：在此過程中，電容器原來所儲存的能量完全轉化為電阻器中的焦耳熱。大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算證:把電容器C接在電動勢為ε的電源上，充滿電以后，電容器中儲存的能量為：當電鍵S擲向b時，電容器經電阻R放電。放電過程中電流隨時間的變化關系為：由此可計算出電阻R中的焦耳熱：即電容器所儲存的能量在放電過程中完全轉化為電阻器中的焦耳熱例4、如圖所示，電鍵S原來置于a端，電容器C已經被充滿了電。大學物理競賽培訓電學第四講理學院物理系張晚云大學物理競賽培訓電學第四講理學院物理系一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電容器、電介質有關的計算；五、電場能量的計算。三、靜電平衡問題的計算；本講主要內容大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：應特別注意矢量的運算方法１直接積分法方法２典型帶電體的場強場強疊加原理方法３利用高斯定理求特殊對稱分布帶電體的場強方法４利用場強與電勢的關系大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：應特別注例1.很細的不導電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空隙為2cm，電荷量為3.12×10-9C的正電荷均勻分布在細棒上。求圓心處場強的大小和方向。Rd=3.12mRld=π2q=l

l解：運用補償法。圓心處的場強等于缺口段負電荷所產生的場強。<d<R缺口段的電荷可以看作為點電荷。∵′q=l

d=2.0×10-11CπqR2ε40=EO′=0.72

V/m方向由圓心指向缺口一、場強與電通量的計算大學物理競賽培訓第四講例1.很細的不導電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=

其方向為由圓心O點指向

變1：真空中一半徑為R的均勻帶電球面，總電量為今在球面上挖去非常小塊的面積ΔS(連同電荷)，不影響原來的電荷分布，且假設Q(Q>0)。大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=其方向為由圓心O點··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－腔內場強：半徑為R1的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球內場強空腔內為勻強場。變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔內任一點的電場強度E。大學物理競賽培訓第四講疊加一、場強與電通量的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的A角上，則通過側面abcd

的電場強度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平面。設q在垂直于平面并通過圓心o的軸線上A點處，A點與圓心o點的距離為d試計算通過此平面的E通量。ARqo.πΩ2=()rrdr2=π2()rdr解：A點對平面所張的立體角為：通過整個球面(即立體角4π)為的電通量為qε0通過圓平面的電通量為=Φeqεπ40Ωd()=qεπ40π2Rd2+2Rd2+2dr大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，其密度僅與到球殼中心的距離r有關，若球殼外任一點的電場的大小相等，求電荷體密度ρ與r的關系。解：球殼外任一點的場強大小＝球殼表面處場強取半徑分別為r和r+△r的兩個同心球面作為高斯面由高斯定律：由此解得：大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，變1.設氣體放電形成的等離子體在圓柱內的電荷分布可用右式表示式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處的電荷體密度,a是常量。試計算其場強分布。1+ar20()ρρ(r)=2解：先計算高斯面內的電量πρ2rld=dq()rr1+ar20()ρ=2π2ldrr1+ar20()ρ=2π2ldrrqòr01+ra20()ρ=πla2大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算變1.設氣體放電形成的式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+ra2()1.=2Erε00ρa21+ra2()1由高斯定律：q1+ra20()ρ=πla2高斯面內的電量為：理學院物理系張晚云大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+raqOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷受力：點電荷在范圍內作簡諧振動例4、如圖，在兩平行無限大平面內是電荷體密度ρ(>0)的均勻帶電空間。有一質量為m，電量為q(<0)的點電荷在帶電板的邊緣自由釋放。在僅考慮電場力不考慮其他阻力的情況下，求該點電荷運動到中心對稱面OO’的時間。大學物理競賽培訓第四講一、場強與電通量的計算qOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：標量直接求和方法Ⅰ直接積分法方法Ⅱ典型帶電體的電勢電勢疊加原理方法Ⅲ場強積分法（沿電力線積分）熟記電偶極子、均勻帶電圓環/圓盤、均勻帶電球面/球體，無限長均勻帶電圓柱面/柱體、無限大帶電平面的E、Ｕ分布。大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續帶電體：標量直例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷，測得圖中P、Q兩點（均為相應正三角形的中心）的電勢分別為和，若撤去BC棒，則P、Q兩點的電勢各為多少？BPQAC解：根據對稱性，設AB、BC、CA三棒對P點的電勢貢獻及AC對Q點的電勢貢獻皆為AB、BC棒對Q點的電勢貢獻皆為撤去BC棒后，應有大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二半兩球面上的面電荷密度為σ1與σ2

滿足關系σ1R1=-σ1R2。(1)試證小球面所對的圓截面S為一等勢面；(2)求等勢面S上的電勢。提示：將兩半球面均補全為閉合球面因上述任一閉合帶電球面內為等勢體，則小球面所圍區域內各點電勢為各去掉一半時，由電勢疊加大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電荷密度為σ，A點的坐標為(0,R/2),B點的坐標為(3R/2,0),如圖所示。則A、B兩點處的電勢差為_________。根據對稱性BxryAC解：取如圖所示C點(0,3R/2)補上下半球面成為完整球面后再由根據對稱性大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球體內、外的場強：變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔中心處的電勢。均勻帶電球體內某點的電勢大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均例3.如圖，某質子加速器使每個質子獲得2KeV的動能，很細的質子束射向一個遠離加速器、半徑為r的金屬球，從球心到質子束延長線的垂直距離d=r/2。假定質子與金屬相碰后將其電荷全部交給金屬球，經足夠長時間后，金屬球的最高電勢（以無窮遠處的電勢為零）為

。qedr解：當金屬球達到最高電勢時，質子軌跡剛好與金屬球相切。此時，質子與金屬球組成的系統角動量守恒，且機械能守恒。大學物理競賽培訓第四講二、電勢（電勢能）的計算例3.如圖，某質子加速器使每個質子獲得2KeV的動能，很細三、靜電平衡問題的計算1、導體的靜電平衡狀態及其特點【靜電平衡狀態】導體的內部和表面都沒有電荷作任何宏觀定向運動的狀態.特點(a)導體內部任一點的電場強度都等于零(b)導體表面任一點的場強方向垂直于表面(c)整個導體為一等勢體2、導體在靜電平衡狀態下的電荷分布(1)凈電荷只能分布于導體的表面上.(2)導體表面任意點的電荷的面密度與該點附近的場強的關系.(3)孤立帶電導體：電荷面密度與曲率半徑成反比。大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算1、導體的靜電平衡狀態及其特點【靜電平3、解決靜電平衡問題的基本依據1.靜電平衡的條件2.基本性質方程3.電荷守恒定律(沒接地時）注：導體接地時，其電勢必為零，但其表面電荷不一定為零大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算3、解決靜電平衡問題的基本依據1.靜電平衡的條件2.基本性質例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很小)，則板上離點電荷最近處的感應電荷面密度σ=

。解：因金屬板接地，在背離+q的面上無感應電荷，感應電荷只分布在面向+q的一面Pd+qσ由靜電平衡條件：其中：大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很變1、帶電導體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導體球表面附近一點，若無限大帶電平面的面電荷密度為，P點附近導體球表面的面電荷密度為，則P點電場強度的大小等于__________。解：導體球達到靜電平衡后，導體球為等勢體，其內部場強為零，球表面的電荷形成穩定分布O此時，導體外表面附近的電場強度僅由該處電荷面密度決定：大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算變1、帶電導體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導體球表q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應過程中總電量不變；靜電平衡后，導體球為等勢體。例2、如圖所示，有一半徑為R，帶電量Q的導體球，在距球心O點d1處放置一已知點電荷q1，在距球心d2處再放置一點電荷q2，當q2電荷電量為_______時可使導體球電勢為零（以無窮遠處為電勢零點）。大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應過程中總電量不變；例2、電荷守恒:例3空腔導體球殼外有點電荷求：⑴感應電荷在O處的⑶空腔接地，求感應電荷的總量.已知:⑵腔內任一點的解:⑴感應電荷在O處的感應電荷在O處的電勢:大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算電荷守恒:例3空腔導體球殼外有點電荷求：⑴感應電荷在O接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導體為等勢體:腔內任一點:⑵求腔內任一點的⑶空腔接地，求感應電荷的總量大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導體為等勢體:腔內任一點:例4、如圖所示，兩個同心的薄導體球殼均接地，內球殼半徑為a，外球殼半徑為b。另有一電量為Q的點電荷置于兩球殼之間，距球心r處，則內球上的感應電荷q1=

，外球上的感應電荷q2=

。解：將兩薄球殼視為一導體組，若不接地，由靜電感應，系統將產生+Q感與-Q的感應電量，兩者地后，+Q被移入大地。故有aQrb大學物理競賽培訓第四講三、靜電平衡問題的計算例4、如圖所示，兩個同心的薄導體球殼均接地，內球殼半徑為a，四、電介質中靜電場的計算1、電介質中的電場強度2、極化電荷面密度:介質+真空導體+介質3、均勻、線性、各向同性電介質中的電極化強度：４、電位移:大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算1、電介質中的電場強度2、極化電荷面例1、在電荷面密度為的無限大帶電導體板兩側分別充以介電常數與的均勻電介質，如圖所示，則導體兩側電場強度的大小

，

。解：設加介質后導體板兩側的自由電荷面密度分別為由D的高斯定理，得設板兩側界面處的束縛電荷面密度為導體板兩側均相當于均勻無限大帶電平面，為保證導體板內E=0，必有故兩側介質中的電場大小相等由(1)、(2)式可得大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算例1、在電荷面密度為的無限大帶電導體板兩側分別充以介電常數變1、厚度為d的無限大平板內分布有均勻電荷密度()的自由電荷，在板外兩側分別充有介電常數為和的電介質，如圖。（1）求板內外的電場分布；（2）板外的A點和B點分別距左右兩板壁為l，求。提示：由電荷分布的特點可知，在板內一定存在一個E=0的平面(MM′)，它距左、右側面分別為a、b.dllMM′abx板內板外AB大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算變1、厚度為d的無限大平板內分布有均勻電荷密度(例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分充滿相對介電常數為的電介質，左半部分空間的正中位置有一帶電小球P,電容器充電后P恰好處于平衡狀態，斷開電源后將電介質快速抽出,不計靜電平衡經歷的時間及帶電球P對電容器極板電荷分布的影響，則P將經多久后到達某極板。提示：設小球質量為m電量為q，電容器極板面積S,電量為Q抽出電介質前P抽出電介質后由牛頓第二定律大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分充滿相對介電常量為的固態電介質的大平行板電容器相連，設此時圖中帶電小球P恰好處于平衡狀態，現將電介質快速抽出,穩定后P將經t=

后到達某極板。提示：設小球質量為m電量為-q，抽出電介質前P+-抽出電介質后由牛頓第二定律大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數為、外徑為2R的均勻電介質殼，介質內均勻地分布著電量為

，的自由電荷，金屬球接地，則介質殼的電勢為

。解：金屬球接地，U=0，其上電量設為q，介質殼內的場強為介質殼外的場強為故介質殼外表面的電勢為大學物理競賽培訓第四講四、電介質中靜電場的計算例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數為、外五、電容器及其儲能的計算大學物理競賽培訓第四講1、電容器及其電容（1）孤立導體(無窮遠處為電勢零點)（2）雙導體電容器（3）電容器的串并聯熟記平行板電容器、球形電容器與圓柱形電容器的電容。五、電容器及其儲能的計算大學物理競賽培訓第四講1、電容器及其2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續帶電體的靜電能（自能）U為所有電荷元在dq（非點電荷）所在處激發的電勢Ui為除qi

以外的所有電荷在qi處產生的電勢（3）電容器的儲能（4）一般靜電場的能量大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續帶電體的五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導線單位長度間的電容（導線半徑a，軸線間距離d）解：設單位長度帶電（導體內）（導體間）大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導線單位長度間的例2一同軸圓柱形電容器，外導體筒的內徑為b，內導體筒的外徑可調，兩筒間充滿了各向同性均勻電介質。已知電介質的擊穿場強為E0，試求該電容器所能承受的最大電壓

xb解：設內筒的外徑為x，內、外筒的電量線密度為λ、-λ,由高斯定理可得內、外筒的電勢差為由(1)式知，最大場強（即擊穿場強）為大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算例2一同軸圓柱形電容器，外導體筒的內徑為b，內導體筒的外徑例3在長為L、內芯導線半徑為a、外導體圓筒內徑b的的同軸圓柱形電容器中充以相對介電常數為的固體電介質。則(1)若把該電容器與電勢為U的電源相連后，抽出電介質一部分，當不計邊緣效應時，為維持電介質拉出的位置不動，需多大的力，方向如何？(2)若與上述電源充電后，斷開電源，則結果如何。解：同軸圓柱形電容器中充滿電介質時的電容為當拉出一部分電介質時，設拉出部分長度為x，則電容變為(1)電介質的移動使電容器的儲能發生變化，為維持兩板間電壓不變，電源必須做功。且電源的功轉化為儲能的增量和電力的功方向指向內部大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算例3在長為L、內芯導線半徑為a、外導體圓筒內徑b的的同軸圓當拉出一部分電介質時，設拉出部分長度為x，則電容變為(2)電容器充電后斷開電源，則電量固定。此時，儲能的變化量等于電力的功方向指向內部注意：電容器內的電場有“吸引”電介質的作用！因此，當把電容器浸入液體介質中時，會使得液體在電容器內部上升形成液柱，當液柱的重力與上述靜電引力相平衡時，液面不再上升。大學物理競賽培訓第四講五、電容器及其儲能的計算當拉出一部分電介質時，設拉出部分長度為x，則電容變為(2)六、有關電路的計算1、電阻大學物理競賽培訓第四講對非均勻截面電阻：2、歐姆定律微分形式的歐姆定律：一段含源電路的歐姆定律：電流方向和電動勢方向與A→B方向一致的取“﹢”,反之，取“-”。3、焦耳-楞次定律的微分形式六、有關電路的計算1、電阻大學物理競賽培訓第四講對非均勻截面六、有關電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學物理競賽培訓第四講對電路的“節點”：IiS節點(1)基爾霍夫第一定律規定從節點流出：

I

>0，流入節點：I

<0。(2)基爾霍夫第二定律在穩恒電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數和等于零。六、有關電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學物理競賽培訓六、有關電路的計算5、RC充、放電電路大學物理競賽培訓第四講(1)電路似穩

(2)Kirchhoff方程仍然適用(3)時間常數充電：放電：六、有關電路的計算5、RC充、放電電路大學物理競賽培訓第1、電阻的計算例1：一電纜的芯線是半徑為

r1的銅線，在銅線外包一層同軸的絕緣層，絕緣層的外徑為r2，電阻率為ρ，在絕緣層外又用鉛層保護起來。當電纜在工作時，芯線與鉛層之間存在著徑向漏電電流。試求長為l的這種纜線的徑向漏電電阻。分析：由于漏電電流沿徑向通過不同截面的圓柱，因此絕緣層的電阻可視為無數圓柱薄層的電阻串聯而成。解：在此絕緣層沿徑向取半徑為r、厚為dr的薄圓柱層，其電阻為：大學物理競賽培訓第四講六、有關電路的計算1、電阻的計算例1：一電纜的