復(fù)習(xí)：矩陣的定義數(shù)域P上由m×n

個(gè)數(shù)排成(i

1,

2,aij11121n的m

行n

列的數(shù)表

aaaa21

a22a2n21mnaaam1

am

2

amn稱為數(shù)域P上的

m

行n

列矩陣，簡(jiǎn)稱

m×n

矩陣．記作

aA

a

m1

m12321

aA

a

a

a

m1

m1

mn簡(jiǎn)記為A

Amn

(aij

)mn

(aij

)這m×n

個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素.建立在實(shí)數(shù)域上的矩陣稱為實(shí)矩陣，建立在復(fù)數(shù)域上的矩陣稱為復(fù)矩陣.4例如

2

213

6 2i

2

2

22是一個(gè)3

階方陣.幾種特殊矩陣(1)行數(shù)與列數(shù)都等于n

的矩陣

A

，稱為

n階方陣.也可記作

An.(2)只有一行的矩陣A

a1

,a2

,,an

,稱為行矩陣(或行向量).

an

a1

B

a2

,

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

矩陣(或?qū)顷嚕?n

0

2

1（3）形如

的方陣,稱為對(duì)角OO不全為056（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，m

n

零矩陣記作

omn

或

o

.注意00

0

0

0

0.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作A

diag1

,2

,,n

.(5)方陣

11

1nE

E稱為單位矩陣（或單位陣）.OO全為178yP(

x,

y)P1

(

x1

,y1

)投影變換0

x以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

角的旋轉(zhuǎn)變換P(

x,

y)yx0x

yx1

1 0

y1

0 0

對(duì)應(yīng)1

x

x,

y1

0.對(duì)應(yīng)

x1

cos

x

sin

y,

y

sin

x

cos

y.

1P1

(

x1

,

y1

)y

sin1

cos

xyx1

cos

sin

例19同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.例如

3 7

3

92

14

3

1

5

6與

8

4為同型矩陣.矩陣的運(yùn)算10為同型矩陣,并且2.兩個(gè)矩陣

A

aij對(duì)應(yīng)元素相等,即aij

bij

i

1,2,,

m;

j

1,2,,

n,則稱矩陣A與B相等,記作A

B.矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)m×n

矩陣A

=(aij)，B

=(bij)，那么矩陣A

與B

的和記作A＋B，規(guī)定為2121

a

bA

B

a

b

a

b

a

m1

m1

m

2

m

2

mn

m說(shuō)明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

與矩陣A

的乘積記作

A

或A

，規(guī)定為2m1m

A

A

a

a

m1矩陣的加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算稱矩陣-1A

(

aij

)為A的負(fù)矩陣，記負(fù)矩陣：14矩陣的線性運(yùn)算的性質(zhì)A

B

B

A；(

A

B)

C

A

(B

C

);A

0

A;A

(

A)

0;1A

A;k(lA)

(kl

)

A;k(

A

B)

kA

kB;(k

l

)

A

kA

lA;0

A

0,(1)

A

A,

k0

0;若kA

0，則k

0,或者A

0.15例2

設(shè)矩陣

A、B、C

滿足等式

3(

A

C

)

2(B

C

)

,5

,

B

1

2

3

6

3

2

43

3

其中A

15

,求C

.解5C

2B

21

2

3

2

2

2(3)

2

5

3(1)3

5

5

0

5

10

,155

2

.C

0

12

4

3

2

3

3

3

63

3131由等式可得16例3

設(shè)A

(aij

)2其余元素為0的21200E

0

1

0

等0A

(a11

E11

a3

a1

j

E1

jj

1或A

(a11

E122

ai1

Ei1

i

1引例:

某地區(qū)有四個(gè)工廠I、II、III、IV,

生產(chǎn)甲乙丙3種產(chǎn)品,矩陣A表示一年中各工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量,

矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價(jià)格(元)及單位利潤(rùn)(元),C表示各工廠的

總收入及總利潤(rùn)。11

12313233IIIIIIIVa

aa

aa

a

a13a21

a22

a23

A

aa

41

42 43

甲

乙

丙11

12bbB

b21

22

b

31

32

b

b

甲乙丙單位單位價(jià)格

利潤(rùn)3132cccc11

c12

cC

c21 22

cIIIIIIIV

41 42

總收入總利潤(rùn)矩陣的乘法cij

ai1b1

j

ai

2

b2

j

ai

3

b3

j17定義：矩陣的乘法A

，(aij

)ms設(shè)

，B那么(規(guī)bij定)s矩n

陣

A

與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n

矩陣，其中

C

(cij

)mncij

ai1b1

j

ai

2b2

js

aisbsj

aikbkjk

1(i

1,

2,

m;

j

1,

2, ,

n)并把此乘積記作

C

=

AB．cij

ai1b1

j

ai

2b2

ji1i

2in

ainbnjb1

j

b

)

2

j

(a

,

a

,L

,

a

L

M

bnj

A的第i行乘B的第j列(i

1,

2L

,

s;

j

1,

2,L

,

m).由矩陣乘法的定義注意1：矩陣的乘

則——左行乘右列192091

1

2

38例如？注意2當(dāng)左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。乘積矩陣C的行數(shù)＝左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣C的列數(shù)＝右矩陣的列數(shù).通過(guò)觀察， 發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)非零矩陣的乘積可以為零；AB

BA，因此矩陣乘法不滿(3)AB

AC，但B

C，因此矩陣乘法不滿足消去律；換律；0

.AB

0

0

,

BA

44

,

AC

00

00

04

4

1 1

2

2

1

01

,

B

22

,C

1

0

,例4

設(shè)A

1

求

AB,

BA,

AC2122在數(shù)的乘法中，若ac

=ad，且a

0

c

=d在矩陣乘法中,若AC

=AD,且A

O

C

=D(消去律成立)(消去律不成立)注意3：矩陣乘法與數(shù)的乘法的區(qū)別在數(shù)的乘法中，若

ab=0

a=0

或

b

=0在矩陣乘法中,若

AB

=

O

A

=

O

或

B

=O兩個(gè)非零矩陣乘積可能為O。在數(shù)的乘法中，

ab

=

ba

(交換律成立)(交換律不成立)在矩陣乘法中，AB

=BA(1)am1

x1

am

2

x2

a1n

xn

b1

a11

x1

a12

x2

a

x

a

x

a

x

b21

1

22

2

2n

n

2

amn

xn

bm例5：線性方程組的矩陣表示mn

A

a

a

a

a

a

am1

m

22n

21

22a1n

a11

a12

xn

X

x2

x1

b1

b

b

2

bm

(1)可以表示為23AX

b.24練習(xí):計(jì)算下列矩陣的乘積.1

3

2

1

2

2解:

3

2

1

2

2

2

2

22

2

23

12

12

164.43

2

3

25例6：計(jì)算下列矩陣的乘積.3

15

1

1矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)乘法結(jié)合律(

AB)C

A(BC

)(3)乘法對(duì)加法的分配律左分配律：A(B

C

)

AB

AC右分配律：(B

C)A

BA

CA(2)數(shù)乘和乘法的結(jié)合律和交換律

AB

(

A)B=A(

B)（其中

是數(shù)）27(5)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類(lèi)似于數(shù)1，即Em

Amn

Amn

n換律，但是

與任何同階方推論：矩陣乘法不一定滿陣都是可交換的.(4)零矩陣在矩陣乘法中的作用類(lèi)似于數(shù)0，即0sm

Amn

0snmn

n(6)矩陣的冪

若

A

是

n

階方陣，定義A0

Enk顯然

Ak

Al

Akl

, (Ak

)l

Akl思考：下列等式是否成立？(

AB)k

Ak

Bk(

A

B)2

A2

2

AB

B2(

A

B)(

A

B)

A2

B2A、B可交換時(shí)成立什么時(shí)候成立？29例1.6

設(shè)f

(x)

3x2

6x

2是數(shù)域P上的多項(xiàng)式，A是P上的n階方陣，則f(x)在x=A的值f

(

A)

3A2

6A

2E稱為A的一個(gè)矩陣多項(xiàng)式。設(shè)多項(xiàng)式h(x),

g(x)l(x)

h(x)

g(x),

m(x)

h(x)g(x),則l(A)

h(A)

g(A),m(A)

h(A)g(A).一般地,A的矩陣多項(xiàng)式之間可交換.例1.7設(shè)n階方陣A滿足關(guān)系式

A2

2A

3E

0,證明:存在矩陣B使得：(A

2E

)分析能否找到B為A的某一個(gè)多項(xiàng)式矩陣，由于要利用必須利用到關(guān)系式

A2

2A

3E

0,不妨假設(shè)B

aA

bE,其中參數(shù)a,b應(yīng)滿足(

A

2E

)

aA

bE

E

,即aA2

(b

2a)A

(2b

1)E

0.要利用關(guān)系A(chǔ)2

2A

3E

0,于是a,b應(yīng)滿足a

b

2a

2b

1

,1

2

3a

1

,

b

4

.5

53031

01

例1.8

設(shè)A

0

1

2

0

1

2

,求所有與A

可交換的矩陣X

.0解212232

x11

x12

x13

23

x

31

33

設(shè)X

x

x

x

滿足AX

XA,于是x

x法一直接用矩陣乘法和相等得到方程組，然后求解。法二利用A的特殊性，可改寫(xiě)A為A

E

B

0

1

0

0

0

2

0

1

0

0

0

2

,0

0

01

00

則由(E+B)X=X(E+B)當(dāng)且僅當(dāng)X+BX=X+XB,31

3221310

0

02x2

x2x2

x于是AX=XA當(dāng)且僅當(dāng)XB=BX,從而有

2x21

2x22

2x23

0

2x11

2x12

2x

2x

2x

0

33

22

0

32

由矩陣的相等得到線性方程組，11

12

13x

x11

x12

x13

110X

012

011

x

x

,

其中x

，x

，x

為任意數(shù).32練習(xí)：設(shè)矩陣A求與矩陣解：AB

BA

a12210

0

b11a3

b31

00

b

00a

12

a1b32

a3b13

a1

a

b

a

b

a

b13

1類(lèi)0;bbb11a121

2

22

2

23 2

b31a3

b33

a3

b12

a1

b22

33而b