考點(diǎn)10平面向量的線性運(yùn)算知識(shí)理解知識(shí)理解一．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．(沒有方向上的規(guī)定)(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量平行或共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量二．向量的線性運(yùn)算(一)加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算1.三角形法則：首尾連，連首尾2.平行四邊形法則：起點(diǎn)相同連對(duì)角3.運(yùn)算律交換律：＋＝＋結(jié)合律：(＋)＋＝＋(＋)減法1.三角形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減2.平行四邊形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減(三)數(shù)乘：求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算1.數(shù)乘意義：|λ|＝|λ|||，當(dāng)λ>0時(shí)，λ與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λ與的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λ＝02.運(yùn)算律(1)λ(μ)＝(λμ)(2)(λ＋μ)＝λ＋μ(3)λ(＋)＝λ＋λ3．向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得＝λ.4．平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底考向分析考向一概念的辨析考向分析【例1】(2020·全國(guó)高三專題練習(xí))下列關(guān)于向量的敘述不正確的是()A．向量的相反向量是B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB＝CD，則＝D．若向量與滿足關(guān)系，則與共線【答案】C【解析】A選項(xiàng)中，向量的相反向量是，故正確；B選項(xiàng)中，模為1的向量是單位向量，其方向是任意的，故正確；C選項(xiàng)中，若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB＝CD，則與方向可能相同或相反，故不正確，；D選項(xiàng)中，若向量與滿足關(guān)系，則與共線，正確.故選：C.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高三專題練習(xí)(文))給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小．③若(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零．④λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较颍仕鼈儾荒鼙容^大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小．③錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，不論λ為何值，.④錯(cuò)誤，當(dāng)λ=μ=0時(shí)，，此時(shí)，與可以是任意向量．故選C．2．(2020·全國(guó)高三專題練習(xí))給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.③(為實(shí)數(shù))，則必為零.④為實(shí)數(shù)，若，則與共線.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)向量終點(diǎn)相同，起點(diǎn)若不在一條直線上，則也不共線，命題錯(cuò)誤；由于兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題是正確的；若(為實(shí)數(shù))，則也可以零，因此命題也是錯(cuò)誤的；若為0，盡管有，則與也不一定共線，即命題也是錯(cuò)誤的，應(yīng)選答案A．3．(2020·全國(guó)高三專題練習(xí))下列命題中正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较颍灾挥蟹较蛳嗤?大小(長(zhǎng)度)相等的兩個(gè)向量才相等，因此A錯(cuò)誤；兩個(gè)向量不相等，但它們的模可以相等，故B錯(cuò)誤；無論兩個(gè)向量的模是否相等，這兩個(gè)向量都可能共線，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C考向二線性運(yùn)算【例2-1】(2020·山西高三期中)如圖，中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A【例2-2】(2020·武威第六中學(xué)高三月考)在中，為的重心，若，則＝______．【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)闉榈闹匦模瑒t點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算和三角形重心的性質(zhì)，可得：，又因?yàn)椋裕?故答案為：.【舉一反三】1．(2020·河南高三月考)如圖，在梯形中，，，為線段的中點(diǎn)，且，則()A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，故選：D．2．(2020·廣東深圳市·明德學(xué)校高三月考)在中，點(diǎn)P為中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，且，則()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵點(diǎn)P為中點(diǎn)，∴,∵，,∴,∴=,故選：B.3．(2021·全國(guó)高三專題練習(xí))設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A4．(2020·咸陽市高新一中高三月考)在中，為邊上的中線，E為的中點(diǎn)，且，則________，_________．【答案】【解析】如下圖所示：為的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，所以，，因此，，即，.故答案為：；.考向三共線定理【例3】如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為________．【答案】eq\f(5,11)【解析】注意到N，P，B三點(diǎn)共線，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，從而m＋eq\f(6,11)＝1，所以m＝eq\f(5,11).【舉一反三】1．(2020·湖北高三學(xué)業(yè)考試)已知，是不共線的兩個(gè)向量，若，，，則()A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】D【解析】由，，故，所以，，三點(diǎn)共線.故選：D.2．(2020·河南高三月考)已知中，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，則()A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以所以，所以，即①因?yàn)辄c(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，所以所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以②由①②可解得故選：B3．(2020·全國(guó)高三專題練習(xí))已知A、B、P是直線上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為_______.【答案】【解析】∵A、B、P是直線上三個(gè)相異的點(diǎn)，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故答案為：.強(qiáng)化練習(xí)強(qiáng)化練習(xí)1．(多選)(2020·全國(guó)高三專題練習(xí))若，，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是()A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則【答案】ACD【解析】對(duì)應(yīng)，若，則向量長(zhǎng)度相等，方向相同，故，故正確；對(duì)于，當(dāng)且時(shí)，，但，可以不相等，故錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)，若，，則方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正確；對(duì)應(yīng)，若，則，，，故正確．故選：2．(多選)(2020·全國(guó)高三專題練習(xí))以下說法正確的是()A．零向量與任一非零向量平行 B．零向量與單位向量的模不相等C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共線向量【答案】ABD【解析】對(duì)于A，根據(jù)零向量的性質(zhì)，可知A是正確的；對(duì)于B，由零向量的模是0，單位向量的模是1，所以B是正確的；對(duì)于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正確的；對(duì)于D，由平行向量的性質(zhì)可知，平行向量就是共線向量，所以D是正確的，故選：ABD3．(多選)(2020·威海市文登區(qū)教育教學(xué)研究培訓(xùn)中心高三期中)四邊形中，，則下列表示正確的是()A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C不正確，，故選項(xiàng)D正確；故選：BD4．(2020·安徽高三月考)在ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，E是直線BD上一點(diǎn)，且，，若，則m-n=()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴∴·故選：B5．(2020·山西呂梁市·高三期中)在中，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】.故選：A6．(2020·天津高三期中)在中，是的中點(diǎn).若，，則＝()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，故選：B7．(2021·天津市)如圖，在四邊形中，設(shè)，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在四邊形中，設(shè)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：D.8．(2020·大同市煤礦第四中學(xué)校高三)長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，，，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，依題意，故，則.故選：A.9．(2020·河北衡水市·衡水中學(xué)高三月考)已知平行四邊形中，，，，則()A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，為，，所以，又，.故選：C.10．(2020·寧縣第二中學(xué)高三期中)已知在中，點(diǎn)，分別在邊上，，且，，若，則的值為__________.【答案】【解析】，因?yàn)椋裕裕?1．(2020·全國(guó)高三月考)如圖所示，正六邊形中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】依題意，，故．故答案為：12．(2020·全國(guó)高三專題練習(xí))如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若，則______.【答案】【解析】設(shè)，則，由于可得，解得，所以故答案為：13．(2021·全國(guó)高三專題練習(xí))在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則__________．【答案】.【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，而，所以，所以，故，填．14．(2021·全國(guó)高三專題練習(xí))如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】.【解析】因?yàn)椋詣t根據(jù)B,P，N三點(diǎn)共線，,則t=故答案為．15．(2020·甘肅天水市·高三月考)在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，交于.若，則________.

【答案】【解析】因?yàn)樵谡叫沃校珽為CD中點(diǎn)，所以，又為，所以，所以，，所以，又已知，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以