一、敘述小波分析理論發展的歷史和研究現狀答：傅立葉變換能夠將信號的時域和特征和頻域特征聯系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但不能把二者有機的結合起來。這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息,而其傅立葉譜是信號的統計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內的積分,沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率，不能夠知道這個頻率是在什么時候產生的。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾一一時域和頻域的局部化矛盾。在實際的信號處理過程中，尤其是對非常平穩信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征很重要。如柴油機缸蓋表明的振動信號就是由撞擊或沖擊產生的，是一瞬變信號,單從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使人們去尋找一種新方法，能將時域和頻域結合起來描述觀察信號的時頻聯合特征，構成信號的時頻譜，這就是所謂的時頻分析，亦稱為時頻局部化方法。為了分析和處理非平穩信號，人們對傅立葉分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出并開發了一系列新的信號分析理論：短時傅立葉變換、時頻分析、Gabor變換、小波變換Raiidon-Wigiicr變換、分數階傅立葉變換、線形調頻小波變換、循環統計量理論和調幅一調頻信號分析等。其中，短時傅立葉變換和小波變換也是因傳統的傅立葉變換不能夠滿足信號處理的要求而產生的。短時傅立葉變換分析的基本思想是：假定非平穩信號在不同的有限時間寬度內是平穩信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從本質上講，短時傅立葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法，因為它使用一個固定的短時窗函數，因而短時傅立葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號的時間一尺度（時間一頻率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，使一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。小波變換在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率。在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態反常現象并展示其成分，所以被譽為分析信號的顯微鏡。小波分析最早應用在地箕數據壓縮中，以后在圖像處理、故障診斷等方面取得了傳統方法根本無法達到的效果.現在小波分析已經滲透到了自然科學、應用科學等方面，小波分析已成為國際研究熱點.無論是傅里葉分析還是小波分析均以線性變換為基礎，按非線性傅立葉分析提出了非線性小波變換，這種非線性小波變換處理非線性問題更為有效.二、分析小波的基本定義答：小波gavelet）這一術語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱二為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的露蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號（函數）逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題,成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數學顯微鏡”。小波分析方法是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，是小波變換具有對信號的自適應性。小波分析被看成調和分析這一數學領域半個世紀以來的工作結晶，已經和必將廣泛地應用于信號處理、圖像處理、量于場論、地露勘探、語音識別與合成、音樂、雷達、CT成像、彩色復印、流體湍流、天體識別、機器視覺、機械故障診斷與監控、分形以及數字電視等科技領域。原則上講，傳統上使用傅立葉分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析優于傅立葉變換的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質。設0（/）ez?（R）（Hr）表示平方可積的實數空間，即能量有限的信號空間），其傅立葉變換為口（0）。肖（。））滿足允許條件（AdmissibleCondition）：02A-C=[j—;lco<co時，我們稱肖（，）為一個基本小波或胃小波（MotherWavelet）o將胃函數□尺/）經伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列。對于連續的情況，小波序列為材.=:11aheR\a豐0其中，次為伸縮因壬b為平移因于。對于離散的情況，小波序列為yjkjk已z對于任意的函數。的連續小波變換為其逆變換為掙)=H礦L戶肉(mw廠訴瀝小波變換的時頻窗口特性與短時傅立葉的時頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個矩形\b一an、b+a^y/]x窗口中心為(b,土q/a),時窗寬和頻窗寬分別為〈血0和40"。其中方僅僅影響窗口在相平面時間軸上的位置，而。不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對不同的頻率在時域上的取樣步長是調節性的:在低頻時小波變換的時間分辨率較差，而頻率分辨率較高；在高頻時小波變換的時間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號變化緩慢而高頻信號變換迅速的特點。這便是它優于經典的傅立葉變換與短時傅立葉變換的地方。從總體上來說，小波變換比短時傅立葉變換具有更好的時頻窗口特性。三、小波分析是傅立葉分析思想方法的發展與延拓，二者相輔相成，試對小波分析和傅立葉變換進行比較答：小波分析是傅立葉分析思想的發展與延拓，它自產生以來，就一直與傅立葉分析密切相關，他的存在性證明，小波基的構造以及結果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的，兩者主要的不同點：1、傅立葉變換實質是把能量有限信號雄)分解到以Cp(j3t)｝為正交基的空間上去；小波變換的實質是把能量有限信號f(t)分解到W-j和V-j所構成的空間上去的。2、傅立葉變換用到的基本函數只有sin(3t),c()s(3t),uxp(j3t)，具有唯一性；小波分析用到的函數(即小波函數)則具有多樣性，同一個工程問題用不同的小波函數進行分析有時結果相差甚遠。小波函數的選用是小波分析運用到實際中的一個難點問題(也是小波分析研究的一個熱點問題)，目前往往是通過經驗或不斷地試驗(對結果進行對照分析)來選擇小波函數。3、在頻域分析中，傅立葉變換具有良奸的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅立葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式,如sin(wit)+0.345sin((i)2t)+4.23cos(co3t)，但在時域中傅立葉變換沒有局部化能力，即無法從雎)的傅立葉變換中看出f(t)在任一時間點附近的性態。事實上，F(w)dw是關于頻率為贏的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由雉)的整體性態所決定的。4、在小波分析中，尺度a的值越大相當于傅立葉變換中w的值越小。5、在短時傅立葉變換中，變換系數S(3,T)主要依賴于信號在［t-8,t+8］片段中的情況，時間寬度是26(因為5是由窗函數g(t)唯一確定的，所以26是一個定值)。在小波變換中，變換系數Wf(a,b)主要依賴于信號在［b-aA?,b+以彳)片斷中的情況，時-間寬度是2^彳，該時間的寬度是隨尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。6、若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅立葉變換不容之處在于:對短時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬“與中心頻率F無關；相反小波變換帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率fo四、闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT算法的表達式答：Meyer于1986年創造性地構造出具有一定衰減性的光滑函數，其二進制伸縮與平移構成芒侃)的規范正交基，才使小波得到真正的發展。1988年S.Ma血t在構造正交小波基時提出"T多分辨分析(Muiti-Rus()lutionAnalysis)的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構造法統一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波變化的快速算法，即、⑷加算法。Mallav算法在小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換算法在經典傅立葉分析中的地位。定義：空間芒(R)中的多分辨分析是指/?(&滿足如下性質的一個空間序列⑴調一致性：V.czV；+1，對任意jeZ(2)漸進完全性：匕=①，cloN"l3｛R)⑶伸縮完全性：/(1)平移不變性：WeZ,(P(Ti，2t)eV,.=>A(2Tj,2t-k)GVjRicsz基存在性:存在0⑴％使得｛0(2"2/_燈|%構成匕的Risuz基。關于Rig的具體說明如下：若0(/)是％的Risuz基，則存在常數A,B,且，使得：州創沖“(一)訶⑷I;對所有雙無限可平方和序列匕｝，即險』；vs成立。滿足上述個條件的函數空間集合成為一個多分辨分析，如果颯/)生成一個多分辨分析，那么稱0⑴為一個尺度函數。關于多分辨分析的理解，我們在這里以一個三層的分解進行說明，其小波分解樹如圖所示。從圖可以明顯看出，多分辨分析只是對低頻部分進行進一步分解，而高頻部分則不予以考慮。分解的關系為S=Al+D.+D2+DiO另外強調一點這里只是以一個層分解進行說明，如果要進行進一步的分解，則可以把低頻部分倡分解成低頻部分人和高頻部分D,,以下再分解以此類推。在理解多分解分析時，我們必須牢牢把握一點：其分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近芒依)空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹型結構圖可以看出，多分辨分析只對低頻空間進行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。MALLAT算法中包括兩個主要的過程，這就是分解過程和重構過程。對于一個多分辨分析巴也，以及信號/=gl+g2+...+g”+/”，其中rrJ=1,2,-,721、分解算法■由于A)eV°eV，以及故有:0(,)二丈以隊⑵-燈R.-X0(f)二丈條0⑵-k)

g?-x■信號分析和處理是，常常需要知道它在各個閉于空間的小波系數。首先由其采樣值，經計算得其中的系數，同時：Ck?l二工％2山//W=工勺?2言召/■其中和〃T都是“使用分解序列在偶整數點的抽樣，這稱為向下抽樣。■空間5是空間人和％的值和，故有：0（2刃二x［'」。（丫-燈+b-2ky/（x-R）］

k0（2x-/）=工ki0（x-《）+b^^W（x-k）］k則數列｛譏、｛水hz、｛中｝g具有如下公式：A'-.W+lN7“-"+1小波重構五、基于MATLAB,請自行選擇一個一維信號，采用DB3小波函數，進行3尺度分解與重構。要求:(1)附上源程序;(2)繪出原始信號以及分解、重構的結果圖。答：loadlclcccum;S=lclcccum(l:1000);w=，db3‘；Subploi(621);pk)t(s);Tidc('原始信號’)；Dwtmodc;[cazpd,cdzpd]=dwt(s,w);Lxtzpd=2*lcngth(cazpd)Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx);Subplot(622);plot(xzpd);Tide('zpd模式重構圖’);rhx-tmodc('sym');Xsym=idwt(casym,cdsym,wjx);[casym,cdsym]=dwt(s,w);Lxtzpd=2*lcngth(caspd)Subplot(625);plot(xsym);Tide('sym模式重構圖，)；Dwlmodc:("spcT);[casym,cdsym]=dwt(s,w);Lxtzpd=2*lcngth(caspd)Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,lx);Subplot(626);plot(xspd);Tide('spd模式重構圖’)；六、給出一個小波分析的應用實例對于一給定的信號(信號序列文件名為lclcccum.mat),利用小波分析對深夜時段信號分析答：源程序如下：Loadlc