第24頁2021年甘肅省蘭州市中考數學試卷一、選擇題〔共15小題，每題4分，總分值60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的。〕1．〔4分〕23y〔y≠0〕，那么下面結論成立的是〔〕A．= B．= C．= D．=2．〔4分〕如下圖，該幾何體的左視圖是〔〕A． B． C． D．3．〔4分〕如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于〔〕A． B． C． D．4．〔4分〕如圖，在⊙O中，，點D在⊙O上，∠25°，那么∠〔〕A．45° B．50° C．55° D．60°5．〔4分〕下表是一組二次函數2+3x﹣5的自變量x與函數值y的對應值：x1y﹣1那么方程x2+3x﹣5=0的一個近似根是〔〕6．〔4分〕如果一元二次方程2x2+30有兩個相等的實數根，那么是實數m的取值為〔〕A．m＞ B．m C． D．7．〔4分〕一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全一樣的小球，其中有9個黃球．每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球實驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計盒子中小球的個數n為〔〕A．20 B．24 C．28 D．308．〔4分〕如圖，矩形的對角線與相交于點O，∠30°，4，那么〔〕A．5 B．4 C．3.5 D．39．〔4分〕拋物線3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為〔〕A．3〔x﹣3〕2﹣3 B．3x2 C．3〔3〕2﹣3 D．3x2﹣610．〔4分〕王叔叔從市場上買了一塊長80，寬70的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱．如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長的正方形后，剩余的局部剛好能圍成一個底面積為30002的無蓋長方形工具箱，根據題意列方程為〔〕A．〔80﹣x〕〔70﹣x〕=3000 B．80×70﹣4x2=3000C．〔80﹣2x〕〔70﹣2x〕=3000 D．80×70﹣4x2﹣〔70+80〕300011．〔4分〕如圖，反比例函數〔k＜0〕與一次函數4的圖象交于A、B兩點的橫坐標分別為﹣3，﹣1．那么關于x的不等式＜4〔x＜0〕的解集為〔〕A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜012．〔4分〕如圖，正方形內接于半徑為2的⊙O，那么圖中陰影局部的面積為〔〕A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣213．〔4分〕如圖，小明為了測量一涼亭的高度〔頂端A到水平地面的距離〕，在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階等高的臺階〔0.5米，A、B、C三點共線〕，把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得15米，然后沿直線后退到點E處，這時恰好在鏡子里看到涼亭的頂端A，測得3米，小明身高1.6米，那么涼亭的高度約為〔〕A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米14．〔4分〕如圖，在正方形與正方形中，點G在上，2，將正方形繞點D順時針旋轉60°，得到正方形′F′G′，此時點G′在上，連接′，那么′′=〔〕A． B． C． D．15．〔4分〕如圖1，在矩形中，動點E從A出發(fā)，沿→方向運動，當點E到達點C時停頓運動，過點E做⊥，交于F點，設點E運動路程為x，，如圖2所表示的是y與x的函數關系的大致圖象，當點E在上運動時，的最大長度是，那么矩形的面積是〔〕A． B．5 C．6 D．二、填空題〔共5小題，每題4分，總分值20分〕16．〔4分〕假設反比例函數的圖象經過點〔﹣1，2〕，那么k的值是．17．〔4分〕如圖，四邊形與四邊形位似，位似中心點是O，=，那么=．18．〔4分〕如圖，假設拋物線2上的P〔4，0〕，Q兩點關于它的對稱軸1對稱，那么Q點的坐標為．19．〔4分〕在平行四邊形中，對角線與相交于點O，要使四邊形是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①⊥，且；②，且⊥；③，且⊥；④，且．其中正確的序號是．20．〔4分〕如圖，在平面直角坐標系中，?的頂點A，B的坐標分別是A〔3，0〕，B〔0，2〕．動點P在直線上運動，以點P為圓心，長為半徑的⊙P隨點P運動，當⊙P與?的邊相切時，P點的坐標為．三、解答題〔共8小題，總分值70分.解答時，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。〕21．〔10分〕計算：〔﹣3〕0+〔﹣〕﹣2﹣|﹣2|﹣260°．22．〔6分〕在數學課本上，同學們已經探究過“經過直線外一點作這條直線的垂線“的尺規(guī)作圖過程：：直線l與l外一點P求作：直線l的垂線，使它經過點P．作法：如圖：〔1〕在直線l上任取兩點A、B；〔2〕分別以點A、B為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；〔3〕作直線．參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：〔1〕以上材料作圖的依據是：〔3〕，直線l與l外一點P，求作：⊙P，使它與直線l相切．〔尺規(guī)作圖，不寫作法，保存作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑〕23．〔7分〕甘肅省省府蘭州，又名金城，在金城，黃河母親河通過自身文化的演繹，衍生與流傳了獨特的“金城八寶〞美食，“金城八寶〞美食中甜品類有：味甜湯糊“灰豆子〞、醇香軟糯“甜胚子〞、生津潤肺“熱冬果〞、香甜什錦“八寶百合〞；其他類有：青白紅綠“牛肉面〞、酸辣清涼“釀皮子〞、清爽溜滑“漿水面〞、香醇肥美“手抓羊肉〞，李華與王濤同時去品嘗美食，李華準備在“甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉〞這四種美食中選擇一種，王濤準備在“八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面〞這四種美食中選擇一種．〔甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉分別記為A，B，C，D，八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面分別記為E，F(xiàn)，G，H〕〔1〕用樹狀圖或表格的方法表示李華與王濤同學選擇美食的所有可能結果；〔2〕求李華與王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率．24．〔7分〕如圖，在平面直角坐標系中，直線﹣3交y軸于點A，交反比例函數〔k＜0〕的圖象于點D，〔k＜0〕的圖象過矩形的頂點B，矩形的面積為4，連接．〔1〕求反比例函數的表達式；〔2〕求△的面積．25．〔8分〕“蘭州中山橋“位于蘭州濱河路中段白塔山下、金城關前，是黃河上第一座真正意義上的橋梁，有“天下黃河第一橋“之美譽．它像一部史詩，記載著蘭州古往今來歷史的變遷．橋上飛架了5座等高的弧形鋼架拱橋．小蕓與小剛分別在橋面上的A，B兩處，準備測量其中一座弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離20m，小蕓在A處測得∠36°，小剛在B處測得∠43°，求弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離．〔結果準確到0.1m〕〔參考數據36°≈0.59，36°≈0.81，36°≈0.73，43°≈0.68，43°≈0.73，43°≈0.93〕26．〔10分〕如圖1，將一張矩形紙片沿著對角線向上折疊，頂點C落到點E處，交于點F．〔1〕求證：△是等腰三角形；〔2〕如圖2，過點D作∥，交于點G，連接交于點O．①判斷四邊形的形狀，并說明理由；②假設6，8，求的長．27．〔10分〕如圖，△內接于⊙O，是⊙O的直徑，弦交于點E，延長到點D，連接，，使得∠∠，∠∠．〔1〕求證：是⊙O的切線；〔2〕假設⊙O的半徑為5，2，求的長．28．〔12分〕如圖，拋物線﹣x2與直線交于A〔﹣4，﹣4〕，B〔0，4〕兩點，直線：﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線上的動點，過點E作⊥x軸交于點F，交拋物線于點G．〔1〕求拋物線﹣x2的表達式；〔2〕連接，，當四邊形是平行四邊形時，求點G的坐標；〔3〕①在y軸上存在一點H，連接，，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；②在①的前提下，以點E為圓心，長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求它的最小值．2021年甘肅省蘭州市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔共15小題，每題4分，總分值60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的。〕1．〔4分〕〔2021?蘭州〕23y〔y≠0〕，那么下面結論成立的是〔〕A．= B．= C．= D．=【分析】根據等式的性質，可得答案．【解答】解：A、兩邊都除以2y，得=，故A符合題意；B、兩邊除以不同的整式，故B不符合題意；C、兩邊都除以2y，得=，故C不符合題意；D、兩邊除以不同的整式，故D不符合題意；應選：A．2．〔4分〕〔2021?蘭州〕如下圖，該幾何體的左視圖是〔〕A． B． C． D．【分析】根據左視圖就是從物體的左邊進展觀察，得出左視圖．【解答】解：在三視圖中，實際存在而被遮擋的線用虛線表示，應選：D．3．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于〔〕A． B． C． D．【分析】如圖，在△中，120m，根據∠，計算即可．【解答】解：如圖，在△中，∵∠90°，130m，50m，∴120m，應選C．4．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，在⊙O中，，點D在⊙O上，∠25°，那么∠〔〕A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】直接根據圓周角定理即可得出結論．【解答】解：∵在⊙O中，=，點D在⊙O上，∠25°，∴∠2∠50°．應選B．5．〔4分〕〔2021?蘭州〕下表是一組二次函數2+3x﹣5的自變量x與函數值y的對應值：x1y﹣1那么方程x2+3x﹣5=0的一個近似根是〔〕【分析】觀察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【解答】解：觀察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一個近似根為1.2，應選C6．〔4分〕〔2021?蘭州〕如果一元二次方程2x2+30有兩個相等的實數根，那么是實數m的取值為〔〕A．m＞ B．m C． D．【分析】根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=9﹣80，解之即可得出結論．【解答】解：∵一元二次方程2x2+30有兩個相等的實數根，∴△=32﹣4×29﹣80，解得：．應選C．7．〔4分〕〔2021?蘭州〕一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全一樣的小球，其中有9個黃球．每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球實驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計盒子中小球的個數n為〔〕A．20 B．24 C．28 D．30【分析】根據利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為30%，然后根據概率公式計算n的值．【解答】解：根據題意得=30%，解得30，所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全一樣的小球．應選D．8．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，矩形的對角線與相交于點O，∠30°，4，那么〔〕A．5 B．4 C．3.5 D．3【分析】由矩形的性質得出，，∠90°，由直角三角形的性質得出28，得出4即可．【解答】解：∵四邊形是矩形，∴，，∠90°，∵∠30°，∴28，∴4；應選：B．9．〔4分〕〔2021?蘭州〕拋物線3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為〔〕A．3〔x﹣3〕2﹣3 B．3x2 C．3〔3〕2﹣3 D．3x2﹣6【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進展解答即可．【解答】解：3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為3〔x﹣3〕2﹣3，應選：A．10．〔4分〕〔2021?蘭州〕王叔叔從市場上買了一塊長80，寬70的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱．如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長的正方形后，剩余的局部剛好能圍成一個底面積為30002的無蓋長方形工具箱，根據題意列方程為〔〕A．〔80﹣x〕〔70﹣x〕=3000 B．80×70﹣4x2=3000C．〔80﹣2x〕〔70﹣2x〕=3000 D．80×70﹣4x2﹣〔70+80〕3000【分析】根據題意可知裁剪后的底面的長為〔80﹣2x〕，寬為〔70﹣2x〕，從而可以列出相應的方程，此題得以解決．【解答】解：由題意可得，〔80﹣2x〕〔70﹣2x〕=3000，應選C．11．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，反比例函數〔k＜0〕與一次函數4的圖象交于A、B兩點的橫坐標分別為﹣3，﹣1．那么關于x的不等式＜4〔x＜0〕的解集為〔〕A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0【分析】把A的橫坐標代入一次函數的解析式可求出其縱坐標，再把A的橫縱坐標代入反比例函數的解析式即可求出k的值，由此可知求關于x的不等式＜4〔x＜0〕的解集可轉化為一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方所對應的自變量x取值范圍，問題得解．【解答】解：∵反比例函數〔k＜0〕與一次函數4的圖象交于A點的橫坐標為﹣3，∴點A的縱坐標﹣3+4=1，∴﹣3，∴關于x的不等式＜4〔x＜0〕的解集即不等式﹣＜4〔x＜0〕的解集，觀察圖象可知，當﹣3＜x＜﹣1時，一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，∴關于x的不等式＜4〔x＜0〕的解集為：﹣3＜x＜﹣1．應選B．12．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，正方形內接于半徑為2的⊙O，那么圖中陰影局部的面積為〔〕A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2【分析】根據對稱性可知陰影局部的面積等于圓的面積減去正方形的，求出圓內接正方形的邊長，即可求解．【解答】解：連接，，∵是正方形，∴∠90°，2，圓內接正方形的邊長為2，所以陰影局部的面積=[4π﹣〔2〕2]=〔π﹣2〕2．應選D．13．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，小明為了測量一涼亭的高度〔頂端A到水平地面的距離〕，在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階等高的臺階〔0.5米，A、B、C三點共線〕，把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得15米，然后沿直線后退到點E處，這時恰好在鏡子里看到涼亭的頂端A，測得3米，小明身高1.6米，那么涼亭的高度約為〔〕A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米【分析】只要證明△∽△，可得=，代入條件即可解決問題．【解答】解：由題意∠∠，∵∠∠90°，∴8，∴8+0.5=8.5米．應選A．14．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，在正方形與正方形中，點G在上，2，將正方形繞點D順時針旋轉60°，得到正方形′F′G′，此時點G′在上，連接′，那么′′=〔〕A． B． C． D．【分析】作G′I⊥于I，G′R⊥于R，E′H⊥交的延長線于H．連接′．那么四邊形′是正方形．首先證明點F′在線段上，再證明′即可解決問題．【解答】解：作G′I⊥于I，G′R⊥于R，E′H⊥交的延長線于H．連接′．那么四邊形′是正方形．∵∠′F′=∠90°，∴∠′∠′F′，在△G′與△G′中，∴△G′≌△G′，∴∠G′∠G′′=90°，∴點F在線段上，在△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′30°，∴E′′F′=1，F(xiàn)′，易證△′F′≌△′E′，∴′′H，′′H，∴′′H，應選A．15．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖1，在矩形中，動點E從A出發(fā)，沿→方向運動，當點E到達點C時停頓運動，過點E做⊥，交于F點，設點E運動路程為x，，如圖2所表示的是y與x的函數關系的大致圖象，當點E在上運動時，的最大長度是，那么矩形的面積是〔〕A． B．5 C．6 D．【分析】易證△∽△，可得=，根據二次函數圖象對稱性可得E在中點時，有最大值，列出方程式即可解題．【解答】解：假設點E在上時，如圖∵∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠，∵在△與△中，，∴△∽△，由二次函數圖象對稱性可得E在中點時，有最大值，此時=，﹣，即，∴，當時，代入方程式解得：x1=〔舍去〕，x2=，∴1，∴2，，∴矩形的面積為2×=5；應選B．二、填空題〔共5小題，每題4分，總分值20分〕16．〔4分〕〔2021?蘭州〕假設反比例函數的圖象經過點〔﹣1，2〕，那么k的值是﹣2．【分析】因為〔﹣1，2〕在函數圖象上，，從而可確定k的值．【解答】解：∵圖象經過點〔﹣1，2〕，∴﹣1×2=﹣2．故答案為：﹣2．17．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，四邊形與四邊形位似，位似中心點是O，=，那么=．【分析】直接利用位似圖形的性質得出△∽△，△∽△，進而得出答案．【解答】解：如下圖：∵四邊形與四邊形位似，故答案為：．18．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，假設拋物線2上的P〔4，0〕，Q兩點關于它的對稱軸1對稱，那么Q點的坐標為〔﹣2，0〕．【分析】直接利用二次函數的對稱性得出Q點坐標即可．【解答】解：∵拋物線2上的P〔4，0〕，Q兩點關于它的對稱軸1對稱，∴P，Q兩點到對稱軸1的距離相等，∴Q點的坐標為：〔﹣2，0〕．故答案為：〔﹣2，0〕．19．〔4分〕〔2021?蘭州〕在平行四邊形中，對角線與相交于點O，要使四邊形是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①⊥，且；②，且⊥；③，且⊥；④，且．其中正確的序號是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法對各個選項進展判斷即可．【解答】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，又∵⊥，∴四邊形是正方形，①正確；∵四邊形是平行四邊形，，⊥，∴平行四邊形不可能是正方形，②錯誤；∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，又⊥，即對角線互相垂直，∴平行四邊形是正方形，③正確；∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，又∵，∴四邊形是矩形，∴平行四邊形是正方形，④正確；故答案為：①③④．20．〔4分〕〔2021?蘭州〕如圖，在平面直角坐標系中，?的頂點A，B的坐標分別是A〔3，0〕，B〔0，2〕．動點P在直線上運動，以點P為圓心，長為半徑的⊙P隨點P運動，當⊙P與?的邊相切時，P點的坐標為〔0，0〕或〔，1〕或〔3﹣，〕．【分析】設P〔x，x〕，⊙P的半徑為r，由題意⊥y軸，直線的解析式，直線的解析式為﹣x，可知⊥，分分四種情形討論即可．【解答】解：①當⊙P與相切時，∵動點P在直線上，∴P與O重合，此時圓心P到的距離為，∴P〔0，0〕．②如圖1中，當⊙P與相切時，那么，△是等腰三角形，作⊥y軸于E，那么，易知P的縱坐標為1，可得P〔，1〕．③如圖2中，當⊙P與相切時，那么點P到點B的距離與點P到x軸的距離相等，可得，解得3+或3﹣，∵3+＞，∴P不會與相切，∴3+不合題意，∴p〔3﹣，〕．④如圖3中，當⊙P與相切時，設線段與直線的交點為G，此時，∴∠∠90°不成立，∴此種情形，不存在P．綜上所述，滿足條件的P的坐標為〔0，0〕或〔，1〕或〔3﹣，〕．三、解答題〔共8小題，總分值70分.解答時，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。〕21．〔10分〕〔2021?蘭州〕計算：〔﹣3〕0+〔﹣〕﹣2﹣|﹣2|﹣260°．【分析】直接利用絕對值的性質以及特殊角的三角函數值與零指數冪的性質、負整數指數冪的性質分別化簡求出答案．【解答】解：〔﹣3〕0+〔﹣〕﹣2﹣|﹣2|﹣260°=1+4﹣2﹣2×=2．22．〔6分〕〔2021?蘭州〕在數學課本上，同學們已經探究過“經過直線外一點作這條直線的垂線“的尺規(guī)作圖過程：：直線l與l外一點P求作：直線l的垂線，使它經過點P．作法：如圖：〔1〕在直線l上任取兩點A、B；〔2〕分別以點A、B為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；〔3〕作直線．參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：〔1〕以上材料作圖的依據是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等〔3〕，直線l與l外一點P，求作：⊙P，使它與直線l相切．〔尺規(guī)作圖，不寫作法，保存作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑〕【分析】〔1〕根據線段垂直平分線的性質，可得答案；〔2〕根據線段垂直平分線的性質，切線的性質，可得答案．【解答】解：〔1〕以上材料作圖的依據是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；〔2〕如圖．23．〔7分〕〔2021?蘭州〕甘肅省省府蘭州，又名金城，在金城，黃河母親河通過自身文化的演繹，衍生與流傳了獨特的“金城八寶〞美食，“金城八寶〞美食中甜品類有：味甜湯糊“灰豆子〞、醇香軟糯“甜胚子〞、生津潤肺“熱冬果〞、香甜什錦“八寶百合〞；其他類有：青白紅綠“牛肉面〞、酸辣清涼“釀皮子〞、清爽溜滑“漿水面〞、香醇肥美“手抓羊肉〞，李華與王濤同時去品嘗美食，李華準備在“甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉〞這四種美食中選擇一種，王濤準備在“八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面〞這四種美食中選擇一種．〔甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉分別記為A，B，C，D，八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面分別記為E，F(xiàn)，G，H〕〔1〕用樹狀圖或表格的方法表示李華與王濤同學選擇美食的所有可能結果；〔2〕求李華與王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率．【分析】〔1〕根據題意用列表法即可求出李華與王濤同學選擇美食的所有可能結果；〔2〕根據〔1〕中的結果，再找到李華與王濤同時選擇的美食都是甜品類的數目，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：〔1〕列表得：李華王濤EFGHABCD由列表可知共有16種情況；〔2〕由〔1〕可知有16種情況，其中李華與王濤同時選擇的美食都是甜品類的情況有，，三種情況，所以李華與王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率=．24．〔7分〕〔2021?蘭州〕如圖，在平面直角坐標系中，直線﹣3交y軸于點A，交反比例函數〔k＜0〕的圖象于點D，〔k＜0〕的圖象過矩形的頂點B，矩形的面積為4，連接．〔1〕求反比例函數的表達式；〔2〕求△的面積．【分析】〔1〕根據矩形的面積求出，求出反比例函數的解析式；〔2〕解方程組求出反比例函數與一次函數的交點，確定點D的坐標，根據三角形的面積公式計算即可．【解答】解：〔1〕∵直線﹣3交y軸于點A，∴點A的坐標為〔0，3〕，即3，∵矩形的面積為4，∵雙曲線在第二象限，∴﹣4，∴反比例函數的表達式為﹣；〔2〕解方程組，得，，∵點D在第二象限，∴點D的坐標為〔﹣1，4〕，∴△的面積=×3×1=．25．〔8分〕〔2021?蘭州〕“蘭州中山橋“位于蘭州濱河路中段白塔山下、金城關前，是黃河上第一座真正意義上的橋梁，有“天下黃河第一橋“之美譽．它像一部史詩，記載著蘭州古往今來歷史的變遷．橋上飛架了5座等高的弧形鋼架拱橋．小蕓與小剛分別在橋面上的A，B兩處，準備測量其中一座弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離20m，小蕓在A處測得∠36°，小剛在B處測得∠43°，求弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離．〔結果準確到0.1m〕〔參考數據36°≈0.59，36°≈0.81，36°≈0.73，43°≈0.68，43°≈0.73，43°≈0.93〕【分析】過點C作⊥于D．設，在△中，可得，在△中，，可得20，解方程即可解決問題．【解答】解：過點C作⊥于D．設，在△中，36°=，在△中，∠，∴20，≈8.2m．答：拱梁頂部C處到橋面的距離8.2m．26．〔10分〕〔2021?蘭州〕如圖1，將一張矩形紙片沿著對角線向上折疊，頂點C落到點E處，交于點F．〔1〕求證：△是等腰三角形；〔2〕如圖2，過點D作∥，交于點G，連接交于點O．①判斷四邊形的形狀，并說明理由；②假設6，8，求的長．【分析】〔1〕根據兩直線平行內錯角相等及折疊特性判斷；〔2〕①根據矩形性質及第一問證得鄰邊相等判斷；②根據折疊特性設未知邊，構造勾股定理列方程求解．【解答】〔1〕證明：如圖1，根據折疊，∠∠，又∥，∴△是等腰三角形；〔2〕①∵四邊形是矩形，又∵∥，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形；②∵6，8，∴10．∴5．假設，∴﹣8﹣x．∴在直角△中，222，即62+〔8