專題七輔助線作法專題七輔助線作法1證明：如圖，連接AC.在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS）.∴∠B=∠D.一、構造全等證明：如圖，連接AC.一、構造全等2證明：如圖，連接BC.∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.∴AB＝DC.證明：如圖，連接BC.3在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（AAS）.∴OA＝OD.在△ABO和△DCO中，4證明：如圖，過D作DG∥AC交BC于點G.∵DG∥AC，∴∠GDE＝∠CFE，∠DGE＝∠FCE．在△DGE和△FCE中，∴△DGE≌△FCE（AAS）．∴DG＝FC.證明：如圖，過D作DG∥AC交BC于點G.5∵BD＝CF，∴DG＝BD.∴∠DGB＝∠B.∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB.∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC.∵BD＝CF，6解：如圖，延長CE，BA相交于點F．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°∴∠EBF＝∠ACF．即∠DBA=∠FCA.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）.∴BD＝CF.解：如圖，延長CE，BA相交于點F．7專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件8證明：如圖，過點A作AF⊥BC交BC于點F.∵BE⊥AD，DA=DB，∴∠AFB＝∠BEA，∠DAB=∠ABD，即∠EAB=∠FBA.在△ABF和△BAE中，∴△ABF≌△BAE（AAS）.∴BF＝AE.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝BC.∴BC＝2AE．證明：如圖，過點A作AF⊥BC交BC于點F.9解：如圖，延長AD至點E，使DE=AD，連接EC.∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.在△ADB與△EDC中，∴△ADB≌△EDC（SAS）.∴CE=AB.∵AB=5，AC=3，∴CE=5.∴2<AE<8.∴1<AD<4.二、倍長中線構造全等解：如圖，延長AD至點E，二、倍長中線構造全等10證明：如圖，延長AD到點G，使得AD=DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線，∴DC=DB.在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS）.∴∠CAD=∠G，BG=AC.∵BE=AC，∴BE=BG.∴∠BED=∠G.∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∠AEF=∠FAE.∴AF=EF.證明：如圖，延長AD到點G，使得AD=DG，連接BG．11證明：如圖，延長FE到點G，使EG=EF，連接CG．在△DEF和△CEG中，∴△DEF≌△CEG（SAS）．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC.∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．故AE平分∠BAC.證明：如圖，延長FE到點G，使EG=EF，連接CG．12證明：如圖，在AB上取一點E使AE=AC，連接DE.在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DE=DC，∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB，∠C=2∠B，∴∠B=∠EDB.∴BE=DE．又∵DE=DC，∴BE=DC.∵AB=AE+BE，∴AB=AC+DC.三、截長補短法構造全等證明：如圖，在AB上取一點E使AE=AC，連接DE.三、13證明：如圖，在線段AB上取點F使AF=AD，連接EF.在△ADE與△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴∠D=∠AFE.證明：如圖，在線段AB上取點F使AF=AD，連接EF.14由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=180°.∵∠BFE+∠AFE=180°，∴∠C=∠BFE.在△CBE與△FBE中，∴△CBE≌△FBE（AAS）.∴BF=BC.∵AB=BF+AF，∴AB=AD+BC.由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=115證明：如圖，連接BE.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°-∠A＝60°.∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝30°.∴∠CBE＝∠ABC-∠ABE＝30°.在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°，∴BE＝2CE，∴AE＝2CE．四、構造30°的直角三角形證明：如圖，連接BE.四、構造30°的直角三角形16證明：如圖，連接AP.∵AB＝AC，P為BC邊的中點，∴AP⊥BC.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝■（180°-∠BAC）＝■（180°-120°）＝30°.∵PD⊥AC，∴∠CPD+∠C＝90°.∵∠APD+∠CPD＝90°，∴∠APD＝∠C＝30°.∴AP＝2AD，AC＝2AP.即AC＝4AD.∴CD＝AC-AD＝4AD-AD＝3AD，即CD＝3AD.證明：如圖，連接AP.17專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件18專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件19證明：如圖，連接AE.∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°-30°＝90°.∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.∵BE＝AE，∴CE＝2BE．證明：如圖，連接AE.20解：如圖，延長CD，BA交于點E.∵∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，∴∠E=60°，∠DAB=120°.∴∠EDA=60°，∠EAD=60°.∴△ADE是等邊三角形.設AD＝AE＝DE＝x.在Rt△BCE中，∠C=30°，∴BE=2CE.即8＋x＝2（x＋2）.解得x＝4.∴AD＝4.解：如圖，延長CD，BA交于點E.21證明：如圖，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E.∵DC//AB，∠DAB=30°，∴∠DCA=∠BAC，∠CDE=30°.在Rt△CDE中，∠CDE=30°，∴CD=2CE.∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA.∴AD=CD.∴AD=2CE.∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD，∴BC=CE.∴AD=2BC.證明：如圖，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E.22證明：如圖，過點A作AH⊥BC交BC于點H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.∵BM＝CN，∴HM＝HN.又AH⊥BC，∴AM＝AN.∴△AMN是等腰三角形．五、利用“三線合一”作輔助線證明：如圖，過點A作AH⊥BC交BC于點H．五、利用“三線23證明：如圖，連接AD.∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE=DF．證明：如圖，連接AD.24專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件25專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件26證明：如圖，連接BD.∵在等邊△ABC中，D是AC的中點，∴∠DBC=∠ABC=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E=30°.∴BD=ED.即△BDE為等腰三角形.∵DM⊥BC，∴點M是BE的中點．證明：如圖，連接BD.27證明：如圖，作BC邊上的高AD，D為垂足.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=∠E+∠AFE，∠AEF=∠AFE，∴∠CAD=∠E，∴AD∥EF.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.證明：如圖，作BC邊上的高AD，D為垂足.28證明：如圖，連接BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠ABD-∠ABC，∠CDB＝∠ADB-∠ADC.∴∠CBD＝∠CDB.∴BC＝DC.六、構造等腰三角形證明：如圖，連接BD.六、構造等腰三角形29證明：如圖，過點E作EG∥AC交BC于點G.∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠F.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠EGB=∠B.∴BE=GE.證明：如圖，過點E作EG∥AC交BC于點G.30∵BE=CF，∴GE=CF.在△EDG和△FDC中，∴△EDG≌△FDC（AAS）.∴DE=DF.∵BE=CF，31證明：如圖，延長CB至E，使BE=BA，連接AE.∵BE=BA，∴∠BAE=∠E.∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E，∴∠C=∠E.∴AC=AE.證明：如圖，延長CB至E，32∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA.∴EA=ED.∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE，∴AC=AB+BD.∵AD平分∠BAC，33證明：如圖，延長BA到點E，使AE=AD，連接DE.∵∠BAD=120°，∴∠DAE=180°-120°=60°.又AE=AD，∴△DAE是等邊三角形.∴DE=AD，∠E=60°.∵BE=AB+AE，AC=AB+AD，AE=AD，∴BE=AC.七、構造等邊三角形證明：如圖，延長BA到點E，使AE=AD，連接DE.七、構34在△BDE和△CDA中，∴△BDE≌△CDA（SSS）.∴∠CAD=∠E=60°.∵∠BAD=120°，∴∠BAC=∠CAD=60°.∴AC平分∠BAD.在△BDE和△CDA中，35專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件36（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵點E是AB的中點，∴CE平分∠ACB，AE＝BE.∴∠BCE＝30°.∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°．∵∠ABC＝∠D+∠BED，∴∠BED＝30°.∴∠D＝∠BED.∴BD＝BE．∴DB=AE.（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，37解：AE＝DB；理由如下.如圖，過點E作EF∥BC交AC于點F．則∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB.解：AE＝DB；理由如下.38∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°.即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.∴△AEF是等邊三角形．∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°.∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF．∵△ABC是等邊三角形，39在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF（AAS）.∴DB＝EF.又EF=AE，∴AE＝BD.在△DEB和△ECF中，40謝謝！謝謝！41專題七輔助線作法專題七輔助線作法42證明：如圖，連接AC.在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS）.∴∠B=∠D.一、構造全等證明：如圖，連接AC.一、構造全等43證明：如圖，連接BC.∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.∴AB＝DC.證明：如圖，連接BC.44在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（AAS）.∴OA＝OD.在△ABO和△DCO中，45證明：如圖，過D作DG∥AC交BC于點G.∵DG∥AC，∴∠GDE＝∠CFE，∠DGE＝∠FCE．在△DGE和△FCE中，∴△DGE≌△FCE（AAS）．∴DG＝FC.證明：如圖，過D作DG∥AC交BC于點G.46∵BD＝CF，∴DG＝BD.∴∠DGB＝∠B.∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB.∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC.∵BD＝CF，47解：如圖，延長CE，BA相交于點F．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°∴∠EBF＝∠ACF．即∠DBA=∠FCA.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）.∴BD＝CF.解：如圖，延長CE，BA相交于點F．48專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件49證明：如圖，過點A作AF⊥BC交BC于點F.∵BE⊥AD，DA=DB，∴∠AFB＝∠BEA，∠DAB=∠ABD，即∠EAB=∠FBA.在△ABF和△BAE中，∴△ABF≌△BAE（AAS）.∴BF＝AE.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝BC.∴BC＝2AE．證明：如圖，過點A作AF⊥BC交BC于點F.50解：如圖，延長AD至點E，使DE=AD，連接EC.∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.在△ADB與△EDC中，∴△ADB≌△EDC（SAS）.∴CE=AB.∵AB=5，AC=3，∴CE=5.∴2<AE<8.∴1<AD<4.二、倍長中線構造全等解：如圖，延長AD至點E，二、倍長中線構造全等51證明：如圖，延長AD到點G，使得AD=DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線，∴DC=DB.在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS）.∴∠CAD=∠G，BG=AC.∵BE=AC，∴BE=BG.∴∠BED=∠G.∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∠AEF=∠FAE.∴AF=EF.證明：如圖，延長AD到點G，使得AD=DG，連接BG．52證明：如圖，延長FE到點G，使EG=EF，連接CG．在△DEF和△CEG中，∴△DEF≌△CEG（SAS）．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC.∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．故AE平分∠BAC.證明：如圖，延長FE到點G，使EG=EF，連接CG．53證明：如圖，在AB上取一點E使AE=AC，連接DE.在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DE=DC，∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB，∠C=2∠B，∴∠B=∠EDB.∴BE=DE．又∵DE=DC，∴BE=DC.∵AB=AE+BE，∴AB=AC+DC.三、截長補短法構造全等證明：如圖，在AB上取一點E使AE=AC，連接DE.三、54證明：如圖，在線段AB上取點F使AF=AD，連接EF.在△ADE與△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴∠D=∠AFE.證明：如圖，在線段AB上取點F使AF=AD，連接EF.55由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=180°.∵∠BFE+∠AFE=180°，∴∠C=∠BFE.在△CBE與△FBE中，∴△CBE≌△FBE（AAS）.∴BF=BC.∵AB=BF+AF，∴AB=AD+BC.由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=156證明：如圖，連接BE.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°-∠A＝60°.∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝30°.∴∠CBE＝∠ABC-∠ABE＝30°.在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°，∴BE＝2CE，∴AE＝2CE．四、構造30°的直角三角形證明：如圖，連接BE.四、構造30°的直角三角形57證明：如圖，連接AP.∵AB＝AC，P為BC邊的中點，∴AP⊥BC.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝■（180°-∠BAC）＝■（180°-120°）＝30°.∵PD⊥AC，∴∠CPD+∠C＝90°.∵∠APD+∠CPD＝90°，∴∠APD＝∠C＝30°.∴AP＝2AD，AC＝2AP.即AC＝4AD.∴CD＝AC-AD＝4AD-AD＝3AD，即CD＝3AD.證明：如圖，連接AP.58專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件59專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件60證明：如圖，連接AE.∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°-30°＝90°.∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.∵BE＝AE，∴CE＝2BE．證明：如圖，連接AE.61解：如圖，延長CD，BA交于點E.∵∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，∴∠E=60°，∠DAB=120°.∴∠EDA=60°，∠EAD=60°.∴△ADE是等邊三角形.設AD＝AE＝DE＝x.在Rt△BCE中，∠C=30°，∴BE=2CE.即8＋x＝2（x＋2）.解得x＝4.∴AD＝4.解：如圖，延長CD，BA交于點E.62證明：如圖，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E.∵DC//AB，∠DAB=30°，∴∠DCA=∠BAC，∠CDE=30°.在Rt△CDE中，∠CDE=30°，∴CD=2CE.∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA.∴AD=CD.∴AD=2CE.∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD，∴BC=CE.∴AD=2BC.證明：如圖，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E.63證明：如圖，過點A作AH⊥BC交BC于點H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.∵BM＝CN，∴HM＝HN.又AH⊥BC，∴AM＝AN.∴△AMN是等腰三角形．五、利用“三線合一”作輔助線證明：如圖，過點A作AH⊥BC交BC于點H．五、利用“三線64證明：如圖，連接AD.∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE=DF．證明：如圖，連接AD.65專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件66專題七輔助線作法人教版八年級數學上冊課件67證明：如圖，連接BD.∵在等邊△ABC中，D是AC的中點，∴∠DBC=∠ABC=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E=30°.∴BD=ED.即△BDE為等腰三角形.∵DM⊥BC，∴點M是BE的中點．證明：如圖，連接BD.68證明：如圖，作BC邊上的高AD，D為垂足.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=∠E+∠AFE，∠AEF=∠AFE，∴∠CAD=∠E，∴AD∥EF.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.證明：如圖，作BC邊上的高AD，D為垂足.69證明：如圖，連接BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠ABD-∠ABC，∠CDB＝∠ADB-∠ADC.∴∠CBD＝∠CDB.∴BC＝DC.六、構造等腰三角形證明：如圖，連接BD.六、構造等腰三角形70證明：如圖，過點E作EG∥AC交BC于點G.∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠F.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠EGB=∠B.∴BE=GE.證明：如圖，過點E作EG∥AC交BC于點G.71∵BE=CF，∴GE=CF.在△EDG和△FDC中，∴△EDG≌△FDC（AAS）.∴DE=DF.∵BE=CF，72證明：如圖，延長CB至E，使BE=BA，連接AE.∵BE=BA，∴∠BAE=∠E.∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E，∴∠C=∠E.∴