2022-2023學年福建省廈門市第四中學高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點是的重心，若，，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C因為點是的重心，所以，又，，所以，所以，所以的最小值是。2.下列結論正確的有①集合，集合，A與B是同一個集合；②集合與集合是同一個集合；③由，，，，這些數組成的集合有5個元素；④集合是指第二和第四象限內的點集．A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：A略3.設,則的值為_

_____.參考答案：略4.已知集合，則A∪B=（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】解不等式可得集合，根據并集的概念即可得結果.【詳解】由，，則故選B.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的運算，屬于基礎題.5.某流程如右圖所示，現輸入如下四個函數，則可以輸出的函數是（

）．A．

B．C．

D．參考答案：答案:D6.已知f（x）在R上是偶函數，且滿足f（x+3）=f（x），當x∈[0，]時，f（x）=2x2，則f（5）=（）A．8 B．2 C．﹣2 D．50參考答案：B【考點】抽象函數及其應用．【分析】利用函數的周期性以及函數的解析式，轉化求解即可．【解答】解：f（x）在R上是偶函數，且滿足f（x+3）=f（x），當時，f（x）=2x2，則f（5）=f（2）=f（﹣1）=f（1）=2．故選：B．【點評】本題考查函數的周期性以及函數的奇偶性的應用，函數的解析式求解函數值的求法，考查計算能力．7.已知奇函數在上是減函數，且，，

，則的大小關系為

A.

B.

C.

D.

參考答案：B8.已知雙曲線E：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為雙曲線E的兩個焦點，且雙曲線E的離心率是2．直線AC的斜率為k．則|k|等于（）A．2 B． C． D．3參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±，再由題意設出A，B，C，D的坐標，由離心率公式，可得a，b，c的關系，運用直線的斜率公式，計算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b=±，由題意可設A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由雙曲線E的離心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直線AC的斜率為k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故選：B．9.已知某個幾何體的三視圖如圖2所示，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），則這個幾何體的體積是(

).A.

B.

C.

D.參考答案：B三視圖的直觀圖是有一個側面垂直于底面三棱錐，底面是底邊長為6高為4的等腰三角形，三棱錐的高為3，所以，這個幾何體的體積10.已知數列{an}的通項為，我們把使乘積a1a2a3…an為整數的n叫做“優數”，則在內最大的“優數”為（）．A.

510

B.

512

C.

1022

D.

1024參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出以下四個命題：①已知命題；命題.則命題和都是真命題；②過點且在軸和軸上的截距相等的直線方程是；③函數在定義域內有且只有一個零點；④先將函數的圖像向右平移個單位，再將新函數的周期擴大為原來的兩倍，則所得圖像的函數解析式為．其中正確命題的序號為

．（把你認為正確的命題序號都填上）參考答案：①③略12.如圖，邊長為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標系xOy中，AC在x軸上，頂點B與y軸上的定點P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續．當△ABC滾動到△A1B1C1時，頂點B運動軌跡的長度為；在滾動過程中，的最大值為．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】由題意便可知道，點B的軌跡為兩個圓心角都為的圓弧和一個點，這樣即可求出點B的軌跡長度，分別求出點B在滾動前后的縱坐標的最大值，并求出P（），這樣即可求出的最大值．【解答】解：根據題意知，點B的軌跡為兩個圓心角為所對的圓弧和一個點；且圓弧的半徑為2；∴頂點B運動軌跡的長度為；，設B（x，y）；①沒滾動前點B坐標；∴；②第一次滾動后B點縱坐標y≤2；∴；③第二次滾動后B點坐標（3，0）；∴；④第三次滾動后B點縱坐標y≤2；∴；∴的最大值為．故答案為：．13.若tanα=，則tan（α+）=．參考答案：3【考點】兩角和與差的正切函數．【專題】計算題．【分析】根據tanα的值和兩角和與差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案為：3．【點評】本題主要考查兩角和與差的正切公式．屬基礎題．14.已知偶函數的圖象關于直線對稱，且時，，則=___________．參考答案：略15.給出下列幾個命題：①若函數的定義域為，則一定是偶函數；②若函數是定義域為的奇函數，對于任意的都有，則函數的圖象關于直線對稱；③已知是函數定義域內的兩個值，當時，，則是減函數；④設函數的最大值和最小值分別為和，則；⑤若是定義域為的奇函數，且也為奇函數，則是以4為周期的周期函數．其中正確的命題序號是____________.（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①④⑤略16.圖2是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為

．(注：方差，其中為x1，x2，…，xn的平均數)參考答案：6.8，.17.已知函數，則不等式的解集為_______．

參考答案：函數的導數為，則x>0時,f′(x)>0,f(x)遞增，且，則為偶函數,即有，則不等式,即為，即為，則,即,解得，即解集為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）右圖為某校語言類專業N名畢業生的綜合測評成績（百分制）分布直方圖，已知80~90分數段的學員數為21人（I）求該專業畢業總人數N和90~95分數段內的人數；（II）現欲將90~95分數段內的名畢業生分配往甲、乙、丙三所學校，若向學校甲分配兩名畢業生，且其中至少有一名男生的概率為，求名畢業生中男女各幾人（男女人數均至少兩人）？（III）在（II）的結論下，設隨機變量表示n名畢業生中分配往乙學校的三名學生中男生的人數，求的分布列和數學期望.參考答案：(Ⅱ)分數段內共名畢業生,設其中男生名,女生為名設分配往甲校的兩名畢業生中至少有一名男畢業生為事件,則則解得或(舍去)即名畢業生中有男生人,女生人…8分(Ⅲ)表示名畢業生中分配往甲學校的兩名學生中男生的人數,所以的取值可以為當時,當時,當時,所以的分布列為所以隨機變量數學期望為………12分19.已知橢圓：的離心率為，且過點.(1)求C的方程；(2)設過點的直線，與C相交于A、B兩點（點B在點P和點A之間），若，求的取值范圍．參考答案：(1)(2)，且.【分析】（1）由橢圓的離心率為，且過點（1，）．列方程組，求出a，b＝1，由此能求出C的方程．（2）直線l的斜率存在且不為0，設其方程為x＝my+2，聯立，得（2+m2）y2+4my+2＝0，利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出λ的取值范圍．【詳解】解：（1）∵橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（1，）．∴，解得a，b＝1，∴C的方程為1．（2）易知直線的斜率存在且不為0，設其方程為，代入橢圓方程，整理，得.由，得.設,，則，.由，得，所以.（，同號）將代入，得，由，得，所以，解得，且.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查參數的取值范圍，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達定理等基礎知識，考查化歸與轉化思想，考查推理論證能力，是中檔題．20.（本小題滿分10分）某廠生產產品x件的總成本(萬元)，已知產品單價P(萬元)與產品件數x滿足:，生產100件這樣的產品單價為50萬元，產量定為多少件時總利潤最大？參考答案：21.從某校高三上學期期末數學考試成績中，隨機抽取了60名學生的成績得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）根據頻率分布直方圖，估計該校高三學生本次數學考試的平均分；（2）若用分層抽樣的方法從分數在[30，50）和[130，150]的學生中共抽取6人，該6人中成績在[130，150]的有幾人？（3）在（2）抽取的6人中，隨機抽取3人，計分數在[130，150]內的人數為ξ，求期望E（ξ）．參考答案：【考點】頻率分布直方圖；離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）由頻率分布直方圖計算數據的平均分；（2）計算樣本中分數在[30，50）和[130，150]的人數，根據分層抽樣原理求出抽取的人數；（3）計算抽取的6人中分數在[130，150]的人數，求出ξ的所有取值與概率分布，計算數學期望值．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得該校高三學生本次數學考試的平均分為0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…（2）樣本中分數在[30，50）和[130，150]的人數分別為6人和3人，所以抽取的6人中分數在[130，150]的人有（人）；…（3）由（2）知：抽取的6人中分數在[130，150]的人有2人，依題意ξ的所有取值為0、1、2，當ξ=0時，；當ξ=1時，；當ξ=2時，；∴．…22.已知函數的最大值為3，其中。（1）求m的值；（2）若，，，求證：參考答案：（1）（2）見解析【分析】（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉化為2ab≥1，再構造函數利