大學物理教程第1章質點運動學1.1質點運動的描述1.2圓周運動1.3相對運動

1.1質點運動描述參考系與坐標系1.1.11.經典力學中的時間與空間力學的研究對象是物體的機械運動.所謂機械運動是指物體的空間位置隨時間的變化.在經典力學的范圍內，空間和時間不依賴于物質的存在和運動的時空背景，稱為絕對的時空觀，但空間和時間需要借助物質的存在和運動去度量。經典力學的絕對時空觀與人們的感覺經驗相協調，容易使人接受.但是它畢竟只是時空性質的一種假設.近代物理學表明空間和時間與物質的存在和運動是緊密聯系的，絕對時空觀只是實際時空性質的一種近似。

1.1質點運動描述2.參考系物體的運動是絕對的，但是描述物體的運動卻是相對的，即在具有不同運動狀態的參考對象看來，同一個物體的運動狀態是不同的。從站在路邊的人的角度去看和從騎自行車的人的角度去看，一輛在公路上行駛的汽車的運動狀態是不同的。但我們認為，在具有相同運動狀態（相對靜止）的參考對象看來，一個物體的運動狀態是相同的。為了描述物體的運動，我們選擇與一個確定的參考對象相對靜止的所有物體作為一個系統，稱為參考系。在一個確定的參考系中，物體的運動狀態是可以確定的。

1.1質點運動描述3.坐標系在選定參考系后，為定量描述物體的運動，我們取參考系中的任意一點作為坐標原點建立坐標系。常用的坐標系有直角坐標系、極坐標系、柱坐標系、球坐標系等，另外還有描述曲線運動的自然坐標系。

1.1質點運動描述質點1.1.2在研究力學問題時，我們常常需要對研究對象進行模型化，最基本的力學模型是質點。所謂質點，是指忽略對象的大小和形狀，并將全部的質量集中在一個幾何點上的模型.把物體當作質點來處理是有條件的、相對的，而不是無條件的、絕對的.例如,研究地球繞太陽公轉時，由于地球到太陽的平均距離約為地球半徑的104倍，則地球上各點對于太陽的運動可以看作相同。

1.1質點運動描述質點的位置矢量和運動方程1.1.3為了定量描述質點的運動，我們在選定的參考系上建立坐標系，則質點的位置就可以用從坐標原點O到質點所在位置P的矢量r來描述，稱為位置矢量，簡稱位矢。圖1.1直角坐標系中的位矢

1.1質點運動描述

1.1質點運動描述質點的位移和路程1.1.4

1.1質點運動描述

1.1質點運動描述圖1.2位移與路程

1.1質點運動描述質點的速度和速率1.1.51.平均速度和瞬時速度

1.1質點運動描述為什么可以這樣定義質點在t時刻的瞬間速度？如圖1.3所示。當Δt→0時，B點→B1→B2→B3→無限接近A點，AB趨近于A點的切線.速度方向沿運動軌跡的切線方向。圖1.3平均速度和瞬時速度

1.1質點運動描述2.平均速率和瞬時速率若質點在時間間隔Δt內發生的路程為Δs，則定義Δt時間內的平均速率為

1.1質點運動描述例1.2如圖1.4所示，質點做半徑為R的勻速率圓周運動，周期為T，求下列過程中質點的平均速度和平均速率。（1）四分之一周期從A到B；（2）半個周期從A到C。圖1.4例1.2圖

1.1質點運動描述質點的加速度1.1.６一般情況下，質點沿某一軌跡運動時，其速度隨時間變化.如圖1.5所示，在質點的運動過程中，某一時刻t質點位于A點，經過Δt時間間隔后位于B點。

1.1質點運動描述圖1.5速度及其變化量

1.1質點運動描述

1.1質點運動描述直角坐標系中運動學的兩類問題1.1.71.第一類問題

1.1質點運動描述2.第二類問題

1.1質點運動描述例1.6一人在陽臺上以投射角θ=30°和速度v0=20m·s－1向臺前地面投出一小球，球離手時距離地面的高度為h=10m.試求：球投出后何時著地？在何處著地？著地時速度的大小和方向如何？圖1.6例1.6圖

1.1質點運動描述

1.2圓周運動自然坐標系

切向速度和法向加速度1.2.1圓周運動是一類特殊的平面曲線運動.質點作圓周運動時，由于其軌道的曲率半徑處處相等，而速度方向始終在圓周的切線上。自然坐標系是以質點的運動軌道為坐標軸的一維坐標系.如圖1.7所示，在軌道曲線上。圖1.7自然坐標系

1.2圓周運動

1.2圓周運動圖1.8切向加速度和法向加速度

1.2圓周運動圓周運動的角量描述1.2.２用自然坐標系表述圓周運動中質點的位置、路程的量綱是長度時，我們將這種表述方法稱為線量表述。同一種運動還可采用不同的表。圖1.9圓周運動的角量描述

1.2圓周運動１.角位置和角位移在平面極坐標系中，圓周運動中質點的位置可以由極角θ唯一確定，我們稱極角θ為角位置。一般規定逆時針方向為正方向，則從極軸初始位置開始，逆時針方向的角位置都是正的；順時針方向的角位置都是負的。角位置的單位是弧度（rad）。

1.2圓周運動２.角速度角速度實際是矢量，有大小和方向。質點作平面圓周運動時，其角速度的方向遵循右手螺旋法則，可知其方向為垂直運動平面，且沿大拇指豎直軸正方向，如圖1.10所示.但是，在圓周運動中，角速度矢量的方向，只有兩個方向，沿著軸向上或向下。圖1.10角速度的方向

1.2圓周運動３.角加速度同樣，可以定義角加速度β來描述角速度的變化快慢.定義逆時針的右手螺旋方向為正方向。與角速度一樣，角加速度也有正負。在國際單位制中，角加速度的單位是弧度·秒-2（rad·s-2）

1.2圓周運動4.角量描述與線量描述的關系在描述半徑為R的圓周運動時，我們同時建立平面極坐標系和自然坐標系，如圖1.11所示。以圓心為極點，任意射線為極軸Ox建立平面極坐標系，逆時針為極角θ正方向。以極軸Ox與圓周的交點O′（θ=0）作為原點，以圓周為坐標軸，建立自然坐標系，逆時針為自然坐標s正方向。圖1.11角量與線量關系

1.2圓周運動

1.3相對運動描述一個物體的運動時，采用不同的參考系會有不同的結果。若已知物體相對某一參考系S的運動，現在希望知道該物體相對另一參考系S′的運動，而S′又相對S在運動時，那么就要討論在兩個不同參考系S和S′中，描述質點P運動時的內在聯系。本節僅討論最簡單的情況，S′相對S做平動，即兩個參考系坐標軸始終保持平行。

1.3相對運動圖1.12兩個參考系中的質點運動

1.3相對運動

1.3相對運動例1.9電車以速率v0=10m·s－1向東行駛，風裹著雨使雨有7m·s－1向西的分速度.坐在行駛的電車中，人可以看到雨與豎直方向成45°角下落.求雨相對地面的速率為多少？如圖1.13所示.則雨相對于地面的速率

1.3相對運動圖1.13例1.9圖

1.3相對運動例1.10河的兩岸相互平行，一船由A點朝與岸垂直的方向勻速駛去，經10min到達對岸C點，若船從A點出發仍按第一次渡河速率不變，但垂直到達彼岸的B點，需12.5min。已知BC=l=120m，求：（1）水流速率v；（2）渡河時船速率u；（3）河寬L.

1.3相對運動圖1.14例1.10圖

1.3相對運動

1.3相對運動ThankYou!大學物理教程第2章質點動力學2.1牛頓運動定律1.82.2動量定理2.3功和能

機械能守恒定律

2.1牛頓運動定律牛頓運動三定律2.1.11.牛頓第一定律牛頓將伽利略的發現總結為動力學的重要定律。1686年，他在著名的《自然哲學的數學原理》中寫道：任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態，直到其他物體作用的力迫使它改變這種狀態為止。這就是牛頓第一定律，也稱為慣性定律。

2.1牛頓運動定律2.牛頓第二定律

2.1牛頓運動定律這是我們比較熟悉的牛頓第二定律的形式。當物體的質量發生變化時，如火箭在發射過程中，火箭的質量隨時間減少，此時，就不能用式（2-3）來分析這類變質量物體的運動。而且，當物體的速度接近光速時，即使物體在運動過程中并不噴出質量，物體的質量也將隨速度而變化，因而式（2-3）也不再適用，但式（2-1）被實驗證明依然是成立的。

2.1牛頓運動定律

2.1牛頓運動定律3.牛頓第三定律為了正確理解牛頓第三定律，必須注意以下幾點。（1）作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，沿同一直線。（2）作用力和反作用力總是成對出現，同時產生，同時消失。（3）作用力和反作用力一定是同一性質的力。（4）作用力和反作用力分別作用在兩個物體上，因此，絕對不是一對平衡力。

2.1牛頓運動定律常見力和基本力2.1.21.幾種常見的力1）重力地球表面附近的任何物體都要受到地球引力的作用，稱為地球表面物體的重力，它的大小也常常稱為物體的重量。若忽略地球自轉的影響，物體所受的重力就等于它所受的地球對它的萬有引力，其大小等于物體的質量m與重力加速度g的乘積，用P表示物體的重力，則P=mg

（2-8）

2.1牛頓運動定律2）彈力物體在外力作用下發生形變，發生形變的物體，由于要恢復原狀，就會對與它接觸的物體產生力的作用，這種力叫做彈力。拉伸或壓縮的彈簧作用于物體的力，桌面作用于放在其上的物體的力，繩子作用于系在其末端的物體的力等，都屬于彈力。彈力是一種接觸力，彈力的方向指向物體恢復原狀的方向。

2.1牛頓運動定律彈力的存在形式很多，下面只討論三種常見的表現形式。（1）支持力（或正壓力）。（2）繩子對物體的拉力。（3）彈簧的彈性力。

2.1牛頓運動定律在彈性限度內，彈力的大小與形變量成正比，若以F表示彈力的大小，以x表示被拉伸或壓縮的長度（即形變量），如圖2.1所示。圖2.1彈性力

2.1牛頓運動定律3）摩擦力當一個物體在另一個物體表面上滑動或有滑動的趨勢時，在這兩個物體的接觸面上就會產生阻礙物體間相對滑動的力，這種力就是摩擦力。當物體有相對滑動的趨勢，但尚未運動時，物體間的摩擦力稱為靜摩擦力。靜摩擦力的大小fs因物體的外力大小的不同而不同,而且總與外力的大小相等，方向相反。另外，物體之間的靜摩擦力有一個最大值，稱為最大靜摩擦力。

2.1牛頓運動定律2.基本力1）萬有引力任何物體之間都存在著相互吸引力，稱為萬有引力.萬有引力定律是牛頓在開普勒等前人研究成果的基礎上總結出來的。質量分別為m1和m2的兩個質點，相距r時，m1和m2間的引力。

2.1牛頓運動定律圖2.2m2受m1的萬有引力

2.1牛頓運動定律2）電磁力存在于靜止電荷之間的電性力以及存在于運動電荷之間的電性力和磁性力，由于它們在本質上相互聯系，19世紀末，麥克斯韋把它們統一為電磁相互作用，稱為電磁力。

2.1牛頓運動定律3）強力進入20世紀，人們認識到原子核由質子和中子組成。雖然質子間具有強大的電排斥作用，但卻能聚集在原子核的小體積內。

2.1牛頓運動定律4）弱力同樣，進入20世紀，在微觀領域中人們還發現一種短程力，稱為弱力。弱力在導致β衰變放出電子和中微子時，顯示出它的重要性。

2.1牛頓運動定律牛頓定律的應用2.1.31.認物體在有關問題中選定一個物體（抽象為質點）作為分析的對象。如果問題涉及幾個物體，那就一個一個地作為對象進行分析，認出每個物體的質量。

2.1牛頓運動定律2.看運動分析所選定物體的運動狀態，包括它的軌跡、速度和加速度。如果問題涉及幾個物體，還要找出它們運動間的聯系，即它們的速度和加速度之間的關系。

2.1牛頓運動定律3.查受力找出被選定的物體所受的所有外力，畫出簡單的示意圖表示物體受力的情況，這種圖稱為示力圖。

2.1牛頓運動定律4.列方程把上述分析出的質量、速度、加速度和力，用牛頓第二定律聯系起來，列出方程。利用直角坐標系的分量式列式時，在圖中應注明坐標軸的方向。在方程式足夠的情況下，就可以求解未知量了。在質點動力學中，一般有兩類問題：第一類，已知力的作用情況，求運動；第二類，已知運動情況，求力。這兩類問題的分析方法是一樣的，都可以按上述步驟進行，只是未知數不同罷了。

2.1牛頓運動定律例2.1如圖2.3所示，一個質量為m的小球最初位于A點，然后沿半徑為R的光滑圓軌道ABCD下滑，試求小球達到C點時的角速度和對圓軌道的作用力。圖2.3例2.1圖

2.1牛頓運動定律

2.1牛頓運動定律例2.2研究小球在水中的沉降速度。已知小球質量為m，水對小球的浮力為C，水對小球的黏滯阻力與其運動速度成正比，即f=kv,k為比例系數，設t=0時，小球的速度為零。

2.1牛頓運動定律圖2.4例2.2圖圖2.5小球在水中沉降的v－t曲線

2.1牛頓運動定律慣性參考系

慣性力2.1.41.慣性參考系實驗表明，在有些參考系中，牛頓運動定律是成立的，而在另一些參考系中，牛頓運動定律卻并不適用。例如，地面上放著一個靜止的物體，人站在地面上觀察該物體時，物體靜止著，加速度為零，這是因為作用在它上面的力相互平衡，即合力為零的緣故。因此，以地面為參考系觀察該物體，符合牛頓運動定律。

2.1牛頓運動定律生產實踐和實驗表明，地球可視為慣性參考系，但不是一個嚴格的慣性系，因為地球對太陽有公轉和自轉，也就是說地心相對于太陽以及地面相對于地心都有加速度。但是如果把地球對太陽的向心加速度和地面對地心的向心加速度計算出來，可以發現，這些向心加速度都是極其微小的，因此，在一般計算范圍內，地球或靜止在地面上的任一物體都可以近似看成慣性參考系。同樣，在地面上做勻速直線運動的物體也可近似看成慣性參考系，但是在地面上作變速運動的物體就不能看成慣性參考系了，不能直接應用牛頓運動定律。

2.1牛頓運動定律2.慣性力通過前面的學習，我們已經知道，牛頓運動定律只在慣性系中成立。然而，在實際情況下，往往要考慮非慣性系。因為，在實際問題中，需要在非慣性系中觀察和處理物體的運動現象。若仍然希望能在非慣性系中運用牛頓運動定律處理動力學問題，則必須引入一種慣性力。

2.1牛頓運動定律1）直線加速參考系的慣性力設有一個質點，質量為m，相對于某一慣性系k，在實際的外力F作用下獲得加速度a，根據牛頓第二定律，有

F=ma

2.1牛頓運動定律此式說明，質點受的合外力F并不等于ma，因此，牛頓運動定律在非慣性系k′中不成立.若仍要在非慣性系k′中應用牛頓運動定律觀測該質點的運動，則可認為質點除了受到實際的外力F外，還受到一個大小和方向由（-ma0）表示的力，稱此力為慣性力，用F0表示，即

F0=-ma0

（2－13）

2.1牛頓運動定律這個式子表明，在直線加速參考系中，慣性力的大小等于質點的質量和此非慣性系相對于慣性系的加速度a0的乘積，而方向與此加速度a0的方向相反.慣性力是為了在非慣性系中應用牛頓第二定律而必須引入的力。引入了慣性力，在非慣性系中就有了下述牛頓第二定律的形式

F+F0=ma′

（2－14）

2.1牛頓運動定律2）勻速轉動參考系的慣性力如圖2.6所示，長度為r的細繩的一端系一個質量為m的小球，另一端固定于圓盤的中心。當圓盤以勻角速度ω繞通過盤心并垂直于盤面的豎直軸旋轉時，小球也隨圓盤一起轉動。若以地面為參考系，繩子給予小球的拉力T使小球做圓周運動，這是符合牛頓運動定律的。

2.1牛頓運動定律圖2.6做勻角速度轉動的參考系中的慣性力

2.1牛頓運動定律由前面的分析可知，慣性離心力和在慣性系中觀察到的向心力大小相等，方向相反，因此常有人認為慣性離心力是向心力的反作用力，其實這是一種誤解。因為我們知道，向心力是真實力作用的表現，而慣性離心力是一種假想力，它只是運動物體的慣性在參考系中的表現，它沒有反作用力。因此，不能說慣性離心力是向心力的反作用力。

2.1牛頓運動定律圖2.7例2.3圖

2.2動量定理質點的動量定理2.2.11.質點的動量定理在實際生產實踐中發現，僅討論力的瞬時效應是不夠的。如果作用在物體上的力持續一段時間，會產生不同于牛頓第二定律的作用效果，即力作用一段時間，將上式改寫成Fdt=dp（2-16）這一關系稱為動量定理的微分形式，其中，Fdt表示質點所受合外力F在時間dt內的累積量，稱之為在dt時間內質點所受合力F的元沖量，用dI表示，即dI=F·dt（2-17）

2.2動量定理動量定理在打擊和碰撞等問題中實用性很強，在打擊和碰撞的極短時間內質點間的相互作用力稱為沖力，沖力的特點是作用時間極短。大小隨時間而急劇變化，沖力隨時間的變化情況往往很復雜，有時無法知道沖力與時間的函數關系，因此引入平均沖力的概念，如圖2.8所示。

2.2動量定理圖2.8平均沖力示意圖

2.2動量定理2.動量定理的分量形式動量定理是矢量方程，它表明，合力的沖量方向就是動量增量Δp的方向。為了正確地找出沖量I，就必須用矢量作圖法來處理。因此，在處理具體問題時，常使用動量定理的分量形式。

2.2動量定理

2.2動量定理例2.5

用棒打擊水平方向飛來的小球，小球的質量為0.3kg，速率為20m/s，小球受棒擊打后，豎直向上運動10m，即達到最高點。若棒與球的接觸時間是0.02s，并忽略小球的自重，求棒受到的平均沖力。

2.2動量定理圖2.9例2.5圖

2.2動量定理質點系的動量定理2.2.21.質點系內力和外力前面所討論的都是一個質點的運動，今后還要討論一組質點的運動。在分析運動問題時，常可以把有相互作用的若干物體作為一個整體加以考慮。在一個質點系構成的力學系統中，我們把系統外的物體對系統內的各質點的作用力稱為外力，把系統內各質點間的相互作用力稱為內力。

2.2動量定理2.質點系的動量定理一個質點的動量定理已經明確，那么一個質點系的動量定理就可以由每個質點滿足的動量定理矢量疊加得到。圖2.10質點系的內力和外力

2.2動量定理3.質心動量

2.2動量定理4.質心運動定律其中，ac是質心加速度，作用在質點系上的合外力等于質點系質量m與質心加速度ac的乘積，這就是質心運動定律.從以上推導過程，可以看出質心運動定律就是質點系動量定律的微分形式。例2.6一根質量為m,長度為L的均勻鏈條被豎直懸掛起來，其下端恰好與地面接觸，今釋放鏈條，求鏈條給予地面的最大壓力。

2.2動量定理圖2.11例2.6圖

2.2動量定理

2.2動量定理動量守恒定律2.2.31.動量守恒定律的內容由質點系的動量定理可以看出，合外力的沖量使系統的動量發生變化，當系統不受外力或外力的矢量和為零時，系統的總動量保持不變。（2-30）

2.2動量定理2.動量守恒定律的分量形式動量守恒定律是一個矢量守恒式，在實際應用動量守恒定律時，常利用動量守恒定律的分量形式。（1）動量守恒定律成立的條件是系統所受的合外力等于零，即F外=0（2）若系統所受的合外力不為零，但在某一方向上外力分量的代數等于零，則在該方向上動量的分量守恒；

2.2動量定理（3）若系統所受的合外力不為零，但外力遠小于內力，也可以近似認為動量守恒；（4）動量守恒定律比牛頓運動定律更加普遍，是物理學最普遍、最基本的定律之一；（5）動量守恒定律是由牛頓運動定律推導出來的，因此它只適用于慣性參考系。

2.3功和能

機械能守恒定律功和功率2.3.11.功功是在人類長期的生產實踐中逐漸形成的概念。下面先討論恒力做功的情形。1）恒力的功如圖2.12所示，設一質點做直線運動，在恒力F的作用下，發生一段位移Δr，則恒力F所做的功A為A=F|Δr|cosθ

（2-31）

2.3功和能

機械能守恒定律圖2.12恒力的功

2.3功和能

機械能守恒定律2）變力的功設有一質點，在大小和方向都隨時間變化的力F作用下，沿任意曲線從a點運動到b點，如圖2.13所示.可以把整個曲線分成許多小段，任取一小段位移，稱為位移元，用dr表示。只要每一段都足夠短，就可以把這段路程近似看成直線，可以認為質點在dr這一段上移動的過程中，作用在它上面的力仍為恒力。

2.3功和能

機械能守恒定律圖2.13變力的功圖2.14變力做功圖

2.3功和能

機械能守恒定律2.一對相互作用力的功如果我們的研究對象是由若干質點構成的質點系，我們已經知道，可以把作用在這些質點上的力分為內力和外力，根據牛頓第三定律，內力總是成對出現的。那么，在質點系范圍內考察，這些成對出現的內力所做的功具有怎樣的特征？是不是也和內力的沖量一樣，一定等于零呢？

2.3功和能

機械能守恒定律（2-35）

2.3功和能

機械能守恒定律可見，一對相互作用力所做的功只與作用力及相對位移有關，而與各個質點各自的運動無關。也就是說，任何一對相互作用力所做的功具有與參考系選擇無關的不變性質，只要是一對作用力和反作用力，無論從什么參考系去計算，其做功的結果都一樣，這是個很重要的性質。

2.3功和能

機械能守恒定律3.功率在實際問題中，不僅要知道做功的大小，而且要知道做功的快慢。我們把單位時間內所做的功稱為功率，用P表示，則有

2.3功和能

機械能守恒定律動能

動能定理2.3.21.質點的動能定理在前面的學習中，我們知道，力的時間累積效應，即沖量引起了質點的動量變化。那么，力的空間累積效應，做功將產生怎樣的效果呢？下面就來討論這個問題。設質量為m的質點在合外力F的持續作用下從a點運動到b點，如圖2.15所示。

2.3功和能

機械能守恒定律圖2.15質點的動能定理

2.3功和能

機械能守恒定律（1）質點的動能定理適用于質點的任何運動過程。物體在合外力的持續作用下，在某一段路程中，不管力是恒力還是變力，也不管物體運動狀態的變化情況如何復雜，合外力對物體做的功總是等于質點動能的增量；如果知道了物體動能的變化，也可以說，合外力所做的功總是決定于質點的末動能與初動能之差。下面我們就有關問題作進一步說明。

2.3功和能

機械能守恒定律（2）對于一個質量為m,以速度v運動的質點，可以用兩個物理量來描述它，一個是動量，另一個是動能.這兩個量都是由物體的質量和速度決定的，它們也都是運動狀態的函數，但是它們的物理意義是不同的。（3）由于動能定理是從牛頓運動定律導出的，所以動能定理只在慣性參考系中才成立。

2.3功和能

機械能守恒定律2.質點系的動能定理質點系由很多質點組成，對其中每一個質點應用動能定理，就可以得出質點系的動能定理。

為簡單起見，先研究由兩個相互作用的質點m1和m2組成的質點系，如圖2.16所示.設F1和F2分別表示作用于m1和m2的合外力，f12和f21分別表示兩質點的相互作用內力，這兩個內力對每個質點而言，仍屬外力，對每個質點應用動能定理。

2.3功和能

機械能守恒定律圖2.16質點系的動能定理

2.3功和能

機械能守恒定律保守力

勢能

功能原理2.3.31.保守力的功我們知道，無論什么性質的力做功，均會引起物體動能的變化，但進一步研究發現，不同性質的力所做的功，有不同的特點，因此根據做功的特點，可以把作用力分為保守力和非保守力。

2.3功和能

機械能守恒定律1）重力的功設一個質量為m的物體，在重力作用下，從點a沿任意路徑acb運動到點b,點a和點b距地面的高度分別為y1和y2，如圖2.17所示，我們把曲線acb分成許多位移元，在位移元dr中，重力所做的元功圖2.17重力的功

2.3功和能

機械能守恒定律2）彈力的功將勁度系數為k的輕彈簧一端固定，另一端與一質量為m的物體相連，當彈簧在水平方向不受外力作用時，它將不發生形變，此時，物體位于O點，即x=0處，這一位置為平衡位置，如圖2.18所示圖2.18彈力的功

2.3功和能

機械能守恒定律3）萬有引力的功人造地球衛星運動時受到地球對它的萬有引力，太陽系的行星運動時，受到太陽的萬有引力，這類問題可歸結為運動質點受到來自另一個固定質點的萬有引力作用，現在來計算萬有引力對運動質點所做的功。圖2.19萬有引力的功

2.3功和能

機械能守恒定律2.勢能我們已經知道，動能是機械運動形式中能量的一種，它由運動的狀態決定.現在我們將引入與位置有關的另一種機械運動的能量——勢能。前面已討論，重力、彈性力和萬有引力都具有做功與路徑無關，而僅取決于質點始末位置的特點，從這一特點出發分別引出重力勢能、彈性勢能和萬有引力勢能的概念。勢能是由物體之間的相互作用和相對位置決定的能量。

2.3功和能

機械能守恒定律

2.3功和能

機械能守恒定律

2.3功和能

機械能守恒定律1）勢能是狀態的函數2）勢能的物理意義3）勢能具有相對性4）勢能屬于系統為了正確理解勢能的概念，需說明以下幾點。

2.3功和能

機械能守恒定律功能原理

機械能守恒定律2.3.41.功能原理現在，我們對質點系的動能定理作進一步討論，A外表示系統的外力對各物體做功之和，A內表示系統的內力對各物體做功之和。而Ek和Ek0分別表示系統末狀態和初狀態的總動能。而對于A內這一項，我們知道，在系統的內力中可能既有保守力，也有非保守力。因此，內力的功A內可以寫成保守內力的功A保內和非保守內力的功A非保內之和。于是有A內=A保內+A非保內

2.3功和能

機械能守恒定律

2.3功和能

機械能守恒定律例2.12一鏈條總長為l，質量為m，放在桌面上，并使其下垂到桌面一側。如圖2.20所示.設鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數為μ，令鏈條由靜止開始運動，設鏈條質量均勻分布，問：（1）鏈條從開始運動到鏈條全部離開桌面的過程中，摩擦力做了多少功？（2）鏈條離開桌面時的速率是多少？

2.3功和能

機械能守恒定律圖2.20例2.12圖

2.3功和能

機械能守恒定律2.機械能守恒定律由功能原理A外+A非保內=E-E0可以看出，一個系統的機械能可以通過外力對系統做功而發生變化，也可以通過系統的非保守內力做功而發生變化，即若A外+A非保內＞0，系統的機械能增加；若A外+A非保內＜0，系統的機械能減少.那么，當A外+A非保內=0,也就是說，在外力和非保守內力都不做功或者說兩者做的總功等于零，即只有保守力做功的情況下，有E=E0=常量

（2-53）

2.3功和能

機械能守恒定律例2.13如圖2.21所示，計算第二宇宙速度v2。圖2.21例2.13圖

2.3功和能

機械能守恒定律ThankYou!大學物理教程第3章剛體力學基礎3.1剛體運動的描述3.2剛體的定軸轉動定律3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律3.4剛體定軸轉動的動能定理

3.1剛體運動的描述剛體的平動和轉動3.1.11.剛體的平動剛體在運動過程中，如果剛體上任意兩點間所連的直線始終保持平行，則這種運動稱為剛體的平動。例如,汽缸中活塞的運動，車床上車刀的運動,升降機運動等，都屬于平動。顯然，剛體做平動時，剛體上任意一條直線在剛體平動過程中始終保持平行，如圖3.1所示。

3.1剛體運動的描述圖3.1剛體的平動

3.1剛體運動的描述2.剛體的轉動剛體在運動過程中，如果剛體上所有的點都繞同一條直線做圓周運動，則這種運動稱為轉動，這條直線稱為轉軸。如果轉軸的位置或方向隨時間變化，這種轉動稱為非定軸轉動；如果轉軸的位置或方向是固定不動的，這種轉動稱為定軸轉動。本章主要研究剛體的定軸轉動。

3.1剛體運動的描述圖3.2車輪的滾動

3.1剛體運動的描述剛體的定軸轉動3.1.2定軸轉動是剛體轉動中最簡單的運動形式。剛體做定軸轉動時，剛體上各點都繞同一轉軸做圓周運動，而轉軸本身在空間的位置不動，軸上各點始終靜止不動。例如，門的開或關、機器上飛輪的轉動等都是定軸轉動。如圖3.3所示，剛體上P點處任一個質元都將在通過該點且與轉軸垂直的平面內做圓周運動，該平面稱為轉動平面，圓心O點是轉軸與轉動平面的交點。

3.1剛體運動的描述圖3.3剛體的定軸轉動

3.1剛體運動的描述描述剛體定軸轉動的物理量3.1.3我們已經知道，用角量來描述剛體的定軸轉動比較方便。那么以前討論過的角位移、角速度和角加速度以及有關公式，角量和線量的關系，對剛體的定軸轉動都適用。設一剛體繞z軸做定軸轉動，取軸的指向為正方向，如圖3.4所示。

3.1剛體運動的描述圖3.4剛體的角量描述

3.2剛體的定軸轉動定律力對轉軸的力矩3.2.1對于剛體的定軸轉動而言，若作用在剛體上p點的力F在轉動平面內，力的作用點p相對轉軸的位矢為r，力臂為d，則力F對轉軸的力矩為M=r×F其中，力矩的大小M=Frsinθ，如圖3.5所示。

3.2剛體的定軸轉動定律圖3.5力在轉動平面內圖3.6力不在轉動平面內

3.2剛體的定軸轉動定律由分析可知，在討論剛體的定軸轉動中力矩的作用時，用到的只是F⊥這個分量，因此，只需考慮垂直于轉軸的作用力或分力.既然如此，可以約定：以下所涉及的外力都認為是位于轉動平面內的。可以證明，一對相互作用力對同一轉軸的力矩之和為零.如圖3.7所示。

3.2剛體的定軸轉動定律圖3.7一對內力的力矩

3.2剛體的定軸轉動定律圖3.8例3.1圖

3.2剛體的定軸轉動定律剛體定軸轉動的轉動定律3.2.2剛體的質量可以是連續分布的質點系，也可以是離散分布的質點系。對于質量連續分布的質點系，可將其看成由無數多個質元組成的，其中每一個質元都服從牛頓運動定律。把構成剛體的全部質點的運動加以綜合，就可以得出剛體的整個運動所服從的規律。下面我們從牛頓第二定律出發推導出剛體做定軸轉動的規律。

3.2剛體的定軸轉動定律力對轉軸的力矩3.2.3圖3.9轉動定律

3.2剛體的定軸轉動定律

3.2剛體的定軸轉動定律由轉動定律的表達式M=Jβ可以看出，在相同的外力矩作用下，剛體的轉動慣量J越大，剛體所獲得的角加速度β越小，則剛體的轉動狀態不易改變；剛體的轉動慣量J越小，剛體所獲得的角加速度β越大，剛體的轉動狀態容易發生變化。轉動慣量J是和質量m相對應的物理量，物體的質量m是質點的平動慣性的量度，而剛體的轉動慣量J是剛體轉動慣性的量度。

3.2剛體的定軸轉動定律

3.2剛體的定軸轉動定律圖3.10例3.2圖

3.2剛體的定軸轉動定律例3.3求質量為m、長為l的均勻細棒在下面兩種給定的轉軸的轉動慣量。(1)轉軸通過細棒的中心O并與棒垂直；(2)轉軸通過細棒的一端O′并與棒垂直.解：細棒的質量可以認為是連續分布的，計算細棒對定軸的轉動慣量。

3.2剛體的定軸轉動定律圖3.11例3.3圖

3.2剛體的定軸轉動定律綜上所述，剛體的轉動慣量與以下因素有關。（1）剛體的質量.各種形狀的剛體，總質量越大，轉動慣量越大。

（2）剛體質量的分布。總質量相同的剛體，質量分布不同，即剛體的形狀不同，轉動慣量也不同。質量分布離轉軸越遠，轉動慣量越大。

（3）轉軸的位置。同一剛體，轉軸的位置不同，質量對轉軸的分布也不同。因而轉動慣量也不同。

3.2剛體的定軸轉動定律圖3.12平行軸定理

3.2剛體的定軸轉動定律以上例子是根據轉動慣量的定義式（3-5）計算規則幾何形狀的剛體的轉動慣量，對于幾何形狀較復雜的剛體通常要用實驗測定。表3.1列出幾種幾何形狀簡單、規則、密度均勻的物體對通過質心的不同轉軸的轉動慣量。

3.2剛體的定軸轉動定律

3.2剛體的定軸轉動定律轉動定律的應用舉例3.2.4應用剛體定軸轉動的轉動定律解題要特別注意以下問題。

首先，定軸轉動定律是合外力矩對剛體的瞬時作用規律，表達式M=Jβ中各個物理量均是同一時刻對同一剛體和同一轉軸而言。其次，在定軸轉動中，由于力矩和角加速度包括角速度在內，它們的方向均沿轉軸，通常用代數量表示。

3.2剛體的定軸轉動定律例3.4如圖3.13所示，質量m1=16kg的定滑輪A，其半徑為r=15cm，可以繞其固定水平軸轉動，忽略一切摩擦。一條輕的柔繩繞在定滑輪上，其另一端系一個質量m2=8.0kg的物體B，求:(1)物體B由靜止開始下降1.0s后的距離；(2)繩子的張力。

3.2剛體的定軸轉動定律圖3.13例3.4圖

3.2剛體的定軸轉動定律例3.5一根長為l，質量為m的均勻細桿，可繞通過其一端且與桿垂直的光滑水平軸轉動，如圖3.14所示，將桿由水平位置靜止釋放，求它下擺到角度為θ時的角加速度和角速度。圖3.14例3.5圖

3.2剛體的定軸轉動定律

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律角動量定理3.3.11.角動量

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律圖3.15質點的角動量圖3.16角動量的方向確定

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律如果質點以恒定速度v做直線運動時，對空間某一給定點也可能有角動量。如圖3.18所示，當選取參考點O時，質點對O點的角動量大小如下。這說明質點在勻速直線運動過程中對某一定點的角動量是恒定的，其方向始終垂直紙面向內。

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律圖3.17質點做圓周運動的角動量圖3.18勻速直線運動的質點對參考點O的角動量

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律2）剛體對定軸的角動量剛體是一個質點系，剛體對定軸的角動量就是所有質點對軸角動量的矢量和。如圖3.19所示，設剛體繞定軸Oz軸以角速度ω轉動，剛體上每一個質元都以相同的角速度ω繞Oz軸在各自的轉動平面內做圓周運動。

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律圖3.19剛體的角動量

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律2.力矩對于一個靜止的質點來說，當它受到外力的作用，將開始運動；但對于一個能夠轉動的物體而言，當它受到外力作用時，可能轉動也可能不轉動，這取決于此力是否產生力矩。外力對物體產生力矩，物體就會轉動起來，反之，如果外力對物體不產生力矩，物體就不會轉動。因此，力矩反映了力對物體的轉動效果。

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律圖3.20力對參考點O的力矩

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律3.角動量定理以上定義了角動量和力矩這兩個物理量，現在就來導出它們之間的定量關系，從而說明力矩的作用效果。設質量為m的質點，在合力F的作用下，某一時刻的動量為P=mv,該質點相對于某參考點O的位置矢量為r，那么此時質點相對于參考點O的角動量。

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律2）剛體對定軸的角動量定理當剛體繞固定軸做定軸轉動時，剛體對軸的轉動慣量不隨時間變化。所以，由剛體定軸轉動的轉動定律可得

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律角動量守恒定律3.3.21.質點的角動量守恒定律

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律例3.6質量為m的小球系于細繩的一端，繩的另一端綁在一根豎直放置的細棒上，如圖3.21所示。小球被約束在水平面內繞細棒旋轉，某時刻角速度為ω1，細繩的長度為r1.當旋轉了若干圈后，由于細繩纏繞在細棒上，繩長變為r2，求此時小球繞細棒旋轉的角速度ω2。

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律圖3.21例3.6圖

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律2.剛體定軸轉動的角動量守恒定律

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律式(3-17)表明，如果剛體所受的合外力矩等于零，則剛體的角動量保持不變，這一結論稱為剛體的角動量守恒定律。必須指出，上面在推導角動量守恒定律的過程中，雖然受到了剛體、定軸等條件的限制，但是它的適用范圍遠遠地超過了這些限制。

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律圖3.22運用角動量守恒的跳水運動員

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律以上結論還可通過站在轉臺上、雙手握啞鈴的人的表演給予定性證明，如圖3.23所示，若忽略轉臺軸間的摩擦力矩和空氣阻力矩等，則人和轉臺組成的系統對轉軸的角動量守恒.開始時，先使人和轉臺一起轉動，當人將握啞鈴的手逐漸收回時，對轉軸的轉動慣量減小，角速度變大；當人伸平雙臂時，轉動慣量增大，轉動的角速度變小。

3.3剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒定律圖3.23角動量守恒3.4剛體定軸轉動的動能定理剛體的轉動動能3.4.1剛體定軸轉動時，其每個質元都繞轉軸做圓周運動，都具有一定的動能.那么，所有質元的動能之和就是剛體的轉動動能。設剛體以角速度ω繞定軸轉動,其中每一個質元都在各自的轉動平面內以角速度ω做圓周運動,若第i個質元的質量為Δmi,它到轉軸的距離為ri,其速度的大小vi=riω,那么第i個質元的動能是3.4剛體定軸轉動的動能定理3.4剛體定軸轉動的動能定理剛體的重力勢能3.4.2如果剛體受到保守力的作用，也可以引入勢能的概念。例如，在重力場中剛體就具有一定的重力勢能.一個質量為m的剛體，它的重力勢能應當是組成剛體的所有質元的重力勢能之和。若取地面坐標系來計算勢能，如圖3.24所示3.4剛體定軸轉動的動能定理圖3.24剛體的重力勢能3.4剛體定軸轉動的動能定理力矩做的功3.4.3在質點力學中，當質點在合力作用下沿力的方向發生位移時，力就對質點做了功，并且功可由作用力與質點沿力的方向移動的位移的乘積來表示。與之相似，當剛體在外力矩作用下轉動時，力矩也對剛體做了功，做功的結果是使剛體的角速度發生變化。3.4剛體定軸轉動的動能定理圖3.25力矩所做的功3.4剛體定軸轉動的動能定理定軸轉動的動能定理3.4.4當外力矩對剛體做功時，力矩的空間累積效應就是剛體的轉動動能會發生變化。下面討論力矩做的功與剛體的轉動動能之間的變化關系。設剛體做定軸轉動，在合外力作用下繞定軸轉過角位移dθ3.4剛體定軸轉動的動能定理3.4剛體定軸轉動的動能定理定軸轉動的機械能守恒定律3.4.51.剛體定軸轉動的功能原理如果剛體在定軸轉動中除受到外力矩外，還受到保守力矩的作用，而在剛體的定軸轉動中，涉及的勢能主要是重力勢能。所以，保守力只考慮重力，當系統取地球和剛體時，式(3-22)可寫為3.4剛體定軸轉動的動能定理3.4剛體定軸轉動的動能定理2.剛體定軸轉動的機械能守恒定律3.4剛體定軸轉動的動能定理圖3.26例3.7圖3.4剛體定軸轉動的動能定理例3.8質量m′，長度l的勻質細桿，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉動。開始時，細桿靜止于鉛直位置，如圖3.27所示。今有一質量為m的子彈沿水平方向飛來，射入細桿的下端，并與桿一起擺到最大角度θ處。求子彈射入細桿前的速度。不計軸與細桿之間的摩擦。3.4剛體定軸轉動的動能定理圖3.27例3.8圖ThankYou!大學物理教程第4章周期振動4.1簡諧振動的運動學描述4.2簡諧振動的動力學描述4.3旋轉矢量法4.4簡諧振動的合成4.5阻尼振動4.6受迫振動

共振

4.1簡諧振動的運動學描述

簡諧振動的運動方程4.1.1下面以彈簧振子為例討論簡諧振動的規律。彈簧振子是理想模型，實際并不存在。只有滿足不考慮物體的形變和可忽略彈簧的質量的條件時，彈簧和物體組成的系統才可以稱為彈簧振子，如圖4.1所示。彈簧振子系統中輕彈簧的一端固定，另一端系一個質量為m的物體。

4.1簡諧振動的運動學描述圖4.1彈簧振子

4.1簡諧振動的運動學描述

由此可見，當物體做簡諧振動時，其速度和加速度也隨時間作周期性變化，也可以說速度、加速度在做簡諧振動。速度和加速度簡諧振動的周期與物體位移的振動周期是一樣的，只不過振幅、振動的步調不一致。圖4.2給出了某簡諧振動的位移、速度、加速度與時間的關系。

4.1簡諧振動的運動學描述

圖4.2位移、速度、加速度與時間的關系

4.1簡諧振動的運動學描述

簡諧振動的特征量4.1.21.周期

頻率

角頻率式(4-1)中的ω稱為角頻率，也稱圓頻率。我們知道，簡諧振動物體位置的變化具有時間周期性，以T表示周期，即振動往復一次所經歷的時間，在國際單位制中，角頻率ω的單位是弧度·秒-1（rad/s）。

4.1簡諧振動的運動學描述

2.振幅式(4-1)中的A稱為振幅，表示簡諧振動的物體偏離平衡位置的最大位移的絕對值。它給出了物體的振動范圍是在+A和-A之間，反映了振動的強弱，描述了簡諧振動的空間周期性。

4.1簡諧振動的運動學描述

3.相位

初相在簡諧振動的運動方程中，(ωt+φ)稱為簡諧振動的相位，初始時刻t=0的相位φ稱為簡諧振動的初相。在角頻率ω和振幅A已知的簡諧振動中，根據式(4-1)可知，振動物體在任意時刻t的位移和速度，即振子的運動狀態都由(ωt+φ)決定。(ωt+φ)是決定簡諧振動狀態的物理量。

4.1簡諧振動的運動學描述

通常把A、ω及φ三個量稱為描述簡諧振動的三個特征量，因為只要這三個量確定了，就可以寫出簡諧振動的運動方程，得到簡諧振動的全面信息.在下一節中我們會看到，A和φ由初始條件確定，而ω取決于振動系統自身的動力學性質。

4.2簡諧振動的動力學描述簡諧振動的動力學方程4.2.1以彈簧振子為例，進行簡諧振動的動力學分析，見圖4.1.彈簧振子系統的平衡位置位于x軸的坐標原點O，物體沿x軸方向運動.根據胡克定律，在小幅度振動情況下，物體所受的彈性力F與物體離開平衡位置的位移x成正比，即F=-kx(4-7)

4.2簡諧振動的動力學描述

4.2簡諧振動的動力學描述

4.2簡諧振動的動力學描述例4.1垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，靜平衡時彈簧伸長量為h.先用手將重物上托使彈簧保持自然長度然后放手。試證明放手后小球做簡諧振動，并寫出其振動的運動學方程。

證明：取靜平衡位置為坐標原點，如圖4.3所示。當小球掛在彈簧上靜平衡時，有mg－kh=0圖4.3例4.1圖

4.2簡諧振動的動力學描述簡諧振動的能量4.2.2在每一種運動形式中，采用能量的觀點描述物理的運動，這是物理學中非常重要的基本思路。仍然以彈簧振子為例，來說明簡諧振動系統的能量。在彈簧振子模型中，彈簧的彈性勢能就是系統的彈性勢能，振子振動的動能就是系統的動能。當物體的位移為x，速度為v時，彈簧振子的彈性勢能和動能分別為

4.2簡諧振動的動力學描述

4.2簡諧振動的動力學描述由上述分析可知，彈簧振子系統的動能和彈性勢能都是隨時間t做周期性變化的，如圖4.5所示，但其總能量不隨時間改變，即其機械能守恒。圖4.5彈簧諧振子的能量

4.2簡諧振動的動力學描述例4.3

如圖4.6所示，質量為m的任意形狀的物體，可繞光滑水平軸O在鉛直面內自由轉動。將它拉開一個微小角度θ后釋放，物體將繞O軸做微小的自由擺動。這樣的裝置叫作復擺.若復擺對O軸的轉動慣量為J，復擺的質心C到O軸的距離為h，求復擺的振動周期。圖4.6例4.3圖

4.3旋轉矢量法為了形象地描述簡諧振動，進一步理解振幅、相位、角頻率等量的物理意義，更形象地描述簡諧振動的周期性特征。我們常采用一種比較直觀的幾何方法——旋轉矢量法描述簡諧振動。如圖4.7所示，自Ox軸的原點O作一矢量A，矢量的模等于振幅A，使矢量A在如圖平面內繞O點做逆時針方向的勻速轉動，其角速度的數值等于簡諧振動的角頻率ω，這個矢量A就稱為旋轉矢量.設在t=0時，矢量A與x軸之間的夾角為φ，等于簡諧振動的初相。

4.3旋轉矢量法這正是式(4-1)所表示的簡諧振動的運動方程。由此可見，勻速旋轉的矢量A，其端點M在x軸上的投影點P的運動是簡諧運動。在矢量A的轉動過程中，M點做勻速圓周運動，對應的圓周稱為參考圓，故旋轉矢量法又稱參考圓法。圖4.7旋轉矢量法

4.3旋轉矢量法

4.3旋轉矢量法例4.4一簡諧振動的振動曲線如圖4.8(a)所示。求角頻率ω、初相φ及簡諧振動的運動方程。由振動曲線可以看出，t=0時，x0=0，v0>0，與此狀態相對應的旋轉矢量如圖4.8

(b)所示。圖4.8例4.4圖

4.3旋轉矢量法依據初始條件由旋轉矢量法來確定初相φ.如圖4.9所示，滿足x0=0.06m條件，有P和Q兩個點，但是只有P點在x軸的投影沿x正向運動。圖4.9例4.5圖

4.3旋轉矢量法由x=-6cm，向x軸負方向運動這一已知條件可知，這一運動狀態對應的旋轉矢量位置如圖4.10所示，其旋轉矢量與Ox軸的夾角。旋轉矢量逆時針轉動到與Ox軸。物體第一次回到平衡位置。圖4.10

4.4簡諧振動的合成兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成4.4.1設質點在一個方向上同時參與兩個獨立的同頻率簡諧振動。每個簡諧振動的運動方向均沿x軸方向，它們的角頻率都是ω，振幅分別為A1和A2，初相分別為φ1和φ2，則它們的運動方程分別為x1=A1cos（ωt+φ1）

x2=A2cos（ωt+φ2）在任意時刻合振動的位移為兩個分振動位移的代數和，即x=x1+x2

4.4簡諧振動的合成研究此問題有兩種簡便的方法，用旋轉矢量法求合振動的位移將更加直觀簡便。如圖4.11所示，兩個分振動的旋轉矢量分別為A1和A2.當t=0時，它們與x軸的夾角分別為φ1和φ2，在x軸上的投影分別為x1及x2.A1與A2的合矢量為A，而A在x軸上的投影為x=x1+x2，圖4.11振動合成矢量圖

4.4簡諧振動的合成例4.6圖4.12所示為兩個同方向、同頻率簡諧振動的振動曲線。若這兩個同方向的簡諧振動可疊加，求合振動的振幅和相位。圖4.12例4.6圖

4.4簡諧振動的合成

4.4簡諧振動的合成圖4.13例4.7圖

4.4簡諧振動的合成兩個同方向不同頻率簡諧振動的合成拍4.4.2如果兩個簡諧振動的振動方向相同而頻率不同，那么它們的合振動雖然仍與原來的振動方向相同，但不再是簡諧振動。下面先用解析法對其合成進行定量討論。

為了使問題簡化，假設兩個簡諧振動的振幅都為A，初相都為φ，它們的運動方程可分別寫成x1=Acos(2πν1t+φ)x2=Acos(2πν2t+φ)

4.4簡諧振動的合成上式不符合簡諧振動的定義，所以合振動不再是簡諧振動。這樣振幅就隨時間變化，且具有周期性，表現出振動忽強忽弱的現象，如圖4.14所示。

圖4.14兩個同方向不同頻率的簡諧振動的合成

4.4簡諧振動的合成拍是一種很重要的現象，它在聲學、電磁振蕩和無線電技術中都有廣泛的應用.例如，若已知一個高頻振動的頻率，使之與另一頻率相近但未知的振動疊加，通過測量拍頻，我們就可以進行未知頻率的測量.在無線電技術中，調幅、調頻以提高傳輸信號的能力，也是利用了拍的規律。拍現象還廣泛運用于速度測量、地面衛星跟蹤等技術領域。

4.5阻尼振動前幾節討論的簡諧振動都是在不計能量損耗條件下的理想情況。實際上，彈簧振子、單擺、復擺這類機械振動系統在振動過程中不可避免地要受到空氣阻力等摩擦阻力作用。而在LC電路這類電磁振蕩系統中，線圈和導線不可能完全沒有電阻。所以，在振動過程中，機械能或電磁能總要逐漸轉化為熱量耗散掉。這樣的能量損耗作用稱為摩擦阻尼或電磁阻尼。

4.5阻尼振動

4.5阻尼振動式(4-25)為小阻尼時阻尼振動的位移表達式，其中，A0和φ0是由初始條件決定的兩個積分常數，其振動曲線如圖4.15所示。圖4.15阻尼振動曲線

4.5阻尼振動

4.5阻尼振動此時物體也不做往復運動，對應的是小阻尼與過阻尼之間的臨界情況，與過阻尼相比，物體從運動到靜止在平衡位置所經歷的時間最短，故稱為臨界阻尼。圖4.16反映的是三種不同情況時的位移時間曲線。

圖4.16三種不同情況時的位移時間曲線

4.6受迫振動

共振阻尼振動中的振幅在減小，要維持有阻尼的振動系統等幅振動，必須給振動系統不斷地補充能量。如果對振動系統施加一個周期性的外力，其所發生的振動稱為受迫振動。這個周期性外力稱為策動力。許多實際的振動屬于受迫振動，如聲波引起耳膜的振動、機器運轉時引起基座的振動等。

4.6受迫振動

共振

4.6受迫振動

共振1.振幅由式(4-33)可知，穩態受迫振動的位移振幅隨策動力的頻率而改變，其變化情況如圖4.17所示。當策動力的頻率為某一特定值時，振幅達到極大值。圖4.17位移共振曲線

4.6受迫振動

共振2.速度用類似的方法可以分析受迫振動時的速度振動，結論是，當策動力的頻率正好等于系統固有頻率時，速度振幅達到最大值，稱為速度共振。在小阻尼的情況下，二者結論相同，可不加區分。

4.6受迫振動

共振在近代物理學中，共振的概念已被推廣，凡是有能量交換的系統，在某狀態下能使能量交換達到最大，就稱為共振。共振現象的應用極為普遍。收音機利用電磁共振來選臺，樂器利用共鳴來提高音響效果，核磁共振用于物質結構研究及醫療診斷。而在橋梁、建筑、機械的設計和機器的安裝中，則應使系統的固有頻率遠離可能發生的周期性外力頻率的概率，以避免共振產生的破壞。ThankYou!大學物理教程第5章機械波5.1機械波的產生和傳播5.2平面簡諧波的波函數5.3波的能量5.4惠更斯原理5.5波的疊加原理

波的干涉5.6駐波

5.1機械波的產生和傳播

機械波的形成和傳播5.1.1機械振動在彈性介質內傳播就形成了機械波.機械波的產生必須滿足兩個條件，即作為激發擾動的波源和能夠傳播這種機械振動的彈性介質，兩者構成產生機械波的必要條件。無限多個質點相互之間通過彈性恢復力聯系在一起的連續介質稱為彈性介質，它可以是固體、液體或氣體。如圖5.1所示，我們以沿繩子傳播的波為例，分析機械波的形成過程。

5.1機械波的產生和傳播

圖5.1波的形成

5.1機械波的產生和傳播

按照質點振動方向和波的傳播方向之間關系的不同，機械波可分為橫波與縱波。若質點振動方向與波的傳播方向相互垂直，這種波稱為橫波，如圖5.2（a）所示.若質點的振動方向與波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波，如圖5.2（b）所示。圖5.2橫波和縱波的形成

（a)橫波;(b)縱波

5.1機械波的產生和傳播

波的幾何描述5.1.2前面，我們只討論了向同—方向傳播的一維波動，如果波源引起的振動在空間向四面八方傳播，則在波源周圍各處都會出現相位依次落后的振動。即“走在最前面”的波面稱為波前。波前也就是介質中剛開始振動的點所組成的曲面，顯然它是一個特殊的波面，并且在某一時刻只有一個。通常情況下，根據波面的形狀，將波分為球面波和平面波等.波面是球面的波稱為球面波。波面是平面的波稱為平面波。圖5.3所示是波面和波前的示意圖。

5.1機械波的產生和傳播

圖5.3波振面與波線（a)球面波；（b)平面波

5.1機械波的產生和傳播

描述波動特征的物理量5.1.31.波長在同一波線上兩個相鄰的、相位差為2π的振動質點之間的距離，稱為波長，用λ表示，如圖5.4所示。因為相位差為2π的兩質點，其振動步調完全一致，所以波長就是一個完整波形的長度，波長反映了波動這一運動形式在空間上具備周期性特征。

5.1機械波的產生和傳播

圖5.4波長的表示

5.1機械波的產生和傳播

2.周期波前進一個波長的距離所需要的時間稱為[HTH]波的周期[HT]，用Т表示.周期的倒數稱為波的頻率，用ν表示，即ν=1/T.當波源做一次完全振動時,波動就傳播一個波長的距離，所以波的周期(或頻率)等于波源的振動周期(或頻率).一般說來，波的周期(或頻率)由波源決定，而與媒質性質無關。它反映了波動的時間周期性。

5.1機械波的產生和傳播

3.波速單位時間內某一振動狀態傳播的距離稱為波速，這一速度就是振動相位的傳播速度，故也稱為相速度，用u表示。它反映了波動的狀態周期性。波速的大小取決于介質的性質，在不同的介質中，波速是不同的。例如，在標準狀態下，聲波在空氣中的傳播速度為331m／s,而在氫氣中的傳播速度為1263m／s.

5.1機械波的產生和傳播

5.2平面簡諧波的波函數

平面簡諧波函數5.2.1機械波是彈性介質內大量質點參與的一種集體運動形式，雖然各質點都按余弦（或正弦）規律運動，但同一時刻各質點的運動狀態卻不盡相同。只有定量描述出每一個質點的運動狀態，才能完整地描述波動.以沿x軸方向傳播的一維橫波為例。若要描述它，則應該知道x處的質點在任意時刻t的位移y，而這個位移y顯然是空間坐標x和時間坐標t的函數，即為y(x,t).把這樣一個描述波動的函數稱為波函數，又稱波動表達式。

5.2平面簡諧波的波函數

圖5.5平面簡諧波

5.2平面簡諧波的波函數

如圖5.6所示，現在考察波線上另一任意點P處的質點的運動情況，P點的坐標為x.若波是在無吸收的均勻無限大介質中傳播，則P點處的質點將以相同的振幅和頻率重復O點處質點的振動，但時間要晚一點。

5.2平面簡諧波的波函數

圖5.6建立波函數用圖

5.2平面簡諧波的波函數

5.2平面簡諧波的波函數

波函數的物理意義5.2.21.介質中某一給定點x的振動

5.2平面簡諧波的波函數

2.在給定t時刻介質中各質點的振動當t=t0為給定值時，y只是x的周期函數，它給出t0時刻波線上各個不同質點的位移.如圖5.7所示，在沿著波傳播方向上，各質點的振動相位依次落后，與O點相距分別是x1和x2的兩點的位相差

5.2平面簡諧波的波函數

圖5.7t=t0時的波形圖

5.2平面簡諧波的波函數

3.觀察任意時刻任意位置質點的振動情況

5.2平面簡諧波的波函數

圖5.8波形的傳播

5.2平面簡諧波的波函數

例5.2一平面簡諧波在介質中以速度u=20m·s-1沿x軸負向傳播，如圖5.9所示.已知A點的振動表達式為y=3cos4πt,式中t的單位為s，y的單位為m。（1）以A點為坐標原點，寫出波函數，并求介質質元的振動速度表達式；（2）以距A點5m處的B點為坐標原點，寫出此波的波函數。

5.2平面簡諧波的波函數

圖5.9

5.2平面簡諧波的波函數

5.3波的能量波能量的傳播5.3.1以簡諧縱波在棒內傳播為例來進行分析.如圖5.10所示，有一密度為ρ的細長棒沿Ox軸放置。今在棒上距原點O為x處取一長為ab的介質元，其體積元dV=dsdx，質量dm=ρdV.當平面縱波在棒中以波速u沿Ox軸正向傳播時，棒中每一小段將不斷地受到壓縮和拉伸。

5.3波的能量圖5.10棒中縱波的傳播

5.3波的能量

5.3波的能量能流

能流密度5.3.2波動的能量在不斷傳播，所以不僅要討論波動的能量分布，還要描述它的傳播。