第九章直線、平面、簡單幾何體1編輯ppt1.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側棱PA⊥底面ABCD.(1)當a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結論；(2)當a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥DM；題型4垂直中的探索題第二課時2編輯ppt(3)若在BC邊上至少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍.解：(1)當a=2時，四邊形ABCD為正方形，則BD⊥AC.又因為PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC.故當a=2時，BD⊥平面PAC.3編輯ppt

(2)證明：當a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結AM、DM、MN,因為四邊形ABMN和四邊形DCMN都是正方形，所以∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得PM⊥DM.故當a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM.4編輯ppt

(3)設M是BC邊上符合題設的點M，因為PA⊥底面ABCD，所以DM⊥AM,因此，M點應是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4為所求.5編輯ppt

點評：本題的解決中充分運用了平面幾何的相關知識.因此，立體幾何解題中，要注意有關的平面幾何知識的運用.事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的.探究空間的垂直(或平行)的條件是近幾年高考立體幾何中一類常見探索性題.此類題是垂直(或平行)問題中的逆向問題，可利用垂直(或平行)的性質逆推得出結論成立的一個條件.6編輯ppt

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA

⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠AB

C

=60°，PA=AB=BC，E是線段PC上的一點.(1)證明：CD⊥AE；(2)當E在PC什么位置時PD⊥平面ABE？7編輯ppt

解：(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.因為AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)當Ｅ為PC的中點時，有PD⊥平面ABE.證明如下：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.因為E是PC的中點，所以AE⊥PC.8編輯ppt

由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD

=C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.因為PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD.又AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE.9編輯ppt2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E為棱BB1上一點.已知平面A1EC⊥平面AA1C1C，求證：BE=B1E.證明：在平面A1EC內過點E作EG⊥A1C，垂足為G.因為平面A1EC⊥平面AA1C1C，所以EG⊥平面AA1C1C.題型5線面垂直性質的應用10編輯ppt

取AC的中點F，連結BF.因為AB=BC，

所以BF⊥AC.

因為平面ABC⊥平面AA1C1C，

所以BF⊥平面AA1C1C.于是BF∥EG.連結FG.

因為BE∥平面AA1C1C，所以BE∥FG.又BE∥AA1，所以FG∥AA1.11編輯ppt因為F為AC的中點，所以G為A1C的中點，所以

，所以又BB1=AA1，所以

，即BE=B1E.

點評：線面垂直的判定與性質反映了“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”三者之間的相互轉化，也是證空間有關垂直的轉化方向.如由“面面垂直”可得出“線面垂直”，而證“面面垂直”可轉化為證“線面垂直”.12編輯ppt在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，∠APC=90°，∠APB=∠BPC=60°，D為AC的中點.過PA、PC

的中點A′、C′作平面A′B′C′，使PD⊥平面A′B′C′，交

PB于B′點.求證：平面A′B′C′∥平面ABC.13編輯ppt

證明：因為PA=PC，D為AC的中點，所以PD⊥AC.①設PA=a.由題設△PAB和△BPC都是正三角形，△APC是等腰直角三角形，所以AB=BC=a，AC=a.連結BD，易得PD=BD=AC=a，14編輯ppt從而PD2+BD2=a2=PB2，所以PD⊥BD.②結合①②知，PD⊥平面ABC.由已知，PD⊥平面A′B′C′，所以平面A′B′C′∥平面ABC.15編輯ppt

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，

D為BC的中點，E為AD上任意一點，F為棱BB1上一點.若C1F⊥EF，求的值.題型線面垂直背景下的求值問題16編輯ppt

解：因為AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC.又B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥BB1，于是AD⊥平面BB1C1C.所以DF是EF在平面BB1C1C內的射影.所以C1F⊥EFC1F⊥DF，即DF2+C1F2=C1D2.17編輯ppt

設BC=2a，BF=x.因為BB1BC=，所以BB1=3a，B1F=3a-x.在Rt△C1B1F中，C1F2=B1C2+B1F2=4a2+(3a-x)2.在Rt△DBF中，DF2=BD2+BF2=a2+x2.在Rt△C1CD中，C1D2=CC21+CD2=10a2.由a2+x2+［4a2+(3a-x)2］=10a2，得x2-3ax+2a2=0，解得x=a或x=2a.故BFBB1==或.18編輯ppt1.“由已知想性質，由求證想判定”是處理直線與平面平行、垂直關系的一般思想方法.即看到已知條件去想有關的性質定理，看到求證的結論去想有關的判定定理，這實質上就是把綜合與分析的思路結合起來使用，使問題得以解決.2.三垂線定理及其逆定理是判定或證明兩條直線互相垂直的重要理論依據，應用時要先找“平面”，再認定“斜線”和“射影”.19編輯ppt

3.利用線線垂直、線面垂直的有關性質，將垂直條件或結論轉化為線面位置關系或數量關