溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(十三)雙曲線的簡單幾何性質(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.若雙曲線x28-y2A.4 B.8 C.16 D.32【解析】選D.由題意，得雙曲線焦點在x軸上，且a2=8，b2=m，所以a=22，b=m.又漸近線方程為y=±2x，所以m82.(2015·全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A.5 B.2 C.3 D.2【解析】選D.設雙曲線方程為x2a2|AB|=|BM|，∠ABM=120°，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=3a，故點M的坐標為M(2a，3a)，代入雙曲線方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=2.【補償訓練】已知0<θ<π4，則雙曲線C1：x2cos2θ-y2A.實軸長相等 B.虛軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等【解析】選D.因為0<θ<π4，所以雙曲線C1e1=ca=cos而雙曲線C2的離心率e2=ca=si=1+sin2θcos2θ3.(2015·石家莊高二檢測)已知F是雙曲線x23a2-A.15° B.25° C.60° D.165°【解析】選C.雙曲線的漸近線方程為y=±33x，所以漸近線的傾斜角為30°或150°，所以∠POF不可能等于60°4.(2015·銀川高二檢測)已知雙曲線x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y=x，點P(3，y0A.-12 B.-2 C.0 D.4【解題指南】由漸近線方程求出b，得到雙曲線方程，進而求出F1，F2及P的坐標即可.【解析】選C.由漸近線方程為y=x知，b2所以b=2，因為點P(3，y0)在雙曲線上，所以y0=±1，y0=1時，P(3，1)，F1(-2，0)，F2(2，0)，所以PF→1y0=-1時，P(3，-1)，PF→15.設P是雙曲線x2a2-y29=1上一點,雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,F1,F2A.1或5 B.6 C.7 D.9【解析】選C.因為雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,所以ba=3又||PF1|-|PF2||=2a=4,所以|3-|PF2||=4.所以|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).二、填空題(每小題5分，共15分)6.(2015·全國卷Ⅱ)已知雙曲線過點(4，3)，且漸近線方程為y=±12【解析】根據雙曲線漸近線方程為y=±12x，可設雙曲線的方程為x24(4，3)代入x24-y答案：x24-y7.(2015·揭陽高二檢測)如圖所示，橢圓中心在坐標原點，F為左焦點，A，B為橢圓的頂點，當FB⊥AB時，其離心率為5-12，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線【解析】設中心在坐標原點的雙曲線左焦點F，實軸右端點A，虛軸端點B，FB⊥AB，則|AF|2=|AB|2+|BF|2，因為|AF|2=(a+c)2，|AB|2=a2+b2，|BF|2=b2+c2，所以c2-a2-ac=0，因為e=ca，所以e2因為e>1，所以e=5+1答案：5【補償訓練】已知雙曲線C：x24-【解析】因為等軸雙曲線的離心率為2，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊，所以雙曲線C：x24-y2即4+m答案：(4，+∞)8.(2015·孝感高二檢測)雙曲線x29-y216=1的兩個焦點為F1、F2，點P在雙曲線上，若PF1【解析】設|PF1|=m，|PF2|=n(m>n)，所以a=3，b=4，c=5.由雙曲線的定義知，m-n=2a=6，又PF1⊥PF2.所以△PF1F2即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6，得m2+n2-2mn=36，所以2mn=m2+n2-36=64，mn=32.設點P到x軸的距離為d，S△PF1F2=12d|F1F2|=1即12d·2c=12mn.所以d=mn即點P到x軸的距離為3.2.答案：3.2三、解答題(每小題10分，共20分)9.(1)已知雙曲線的漸近線方程為y=±34(2)雙曲線的離心率為2，求雙曲線的兩條漸近線的夾角.(3)雙曲線與圓x2+y2=17有公共點A(4，-1)，圓在A點的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標準方程.【解析】(1)因為雙曲線的漸近線方程為y=±34所以ba=34或ba當ba=34時，e=54；當ba=(2)因為e=ca=2，所以a2+所以雙曲線漸近線方程為y=±x.所以雙曲線兩條漸近線的夾角為90°.(3)因為點A與圓心O連線的斜率為-14所以過A的切線的斜率為4.所以雙曲線的漸近線方程為y=±4x.設雙曲線方程為x2-y216=因為點A(4，-1)在雙曲線上，所以16-116=λ，λ=255所以雙曲線的標準方程為x210.中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2，且|F1F2|=2133∶7.(1)求這兩曲線方程.(2)若P為這兩曲線的一個交點，求△F1PF2的面積.【解析】(1)設橢圓方程為x2a2+y2b2解得：a=7，m=3，所以b=6，n=2，所以橢圓方程為x249+y236=1，雙曲線方程為(2)不妨設F1，F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6，所以|PF1|=10，|PF2|=4，所以cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=1(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的2倍，且一個頂點的坐標為(0，2)，則雙曲線的標準方程為()A.y24-x24=1 B.C.y24-x29=1 D.【解析】選A.2a+2b=2·2c，即a+b=2c，所以a2+2ab+b2=2(a2+b2)，所以(a-b)2=0，即a=b.因為一個頂點坐標為(0，2)，所以a2=b2=4，所以y2-x2=4，即y24-【補償訓練】漸近線方程為3x±4y=0，焦點為橢圓x210+【解析】雙曲線的焦點為橢圓的短軸端點，即(0，5)，(0，-5)，所求雙曲線方程可設為y29λ-x2所以5=9λ+16λ，λ=15故所求的雙曲線方程為5y29答案：5y292.已知實數4，m，9構成一個等比數列，m為等比中項，則圓錐曲線x2m+yA.306 B.7 C.306或7 D.【解析】選C.因為4，m，9成等比數列，所以m2=36，所以m=±6.當m=6時，圓錐曲線方程為x26+y2=1，其離心率為306；當m=-6時，圓錐曲線方程為y2-x【補償訓練】兩個正數a，b的等差中項是92，等比中項是25，且a>b，則雙曲線x2a【解析】因為兩個正數a，b的等差中項是92，等比中項是25所以a+b所以雙曲線方程為x225-所以c=25+16=41所以雙曲線x2a2-y2b答案：41二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2015·廣州高二檢測)若雙曲線x2a2-y【解析】雙曲線的離心率e=ca=a2+b2a=1+b2a2=3答案：±24.(2015·鄭州高二檢測)設雙曲線x29-y2【解題指南】利用雙曲線方程和直線方程求出B點的坐標，可得三角形的高.【解析】雙曲線x29-一條漸近線為y=-43則BF所在直線為y=-43由y=-43所以S△AFB=12·|AF|·|yB|=32答案：32三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2015·青島高二檢測)已知F1，F2是橢圓C1：x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點，若四邊形AF1BF2為矩形，求C【解析】設雙曲線C2的標準方程為x2a2-y2b因為A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點，所以m+n=4，n-m=2a，所以m=2-a，n=2+a.因為四邊形AF1BF2為矩形，所以AF1⊥AF2.因為|F1F2|=23，所以m2+n2=12，即8+2a2=12，所以a=2，所以e=ca=326.(2015·衡陽高二檢測)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦點F(2【解析】設雙曲線的一條漸近線方程為y=ba則過F且與其垂直的直線方程為y=-ab(x-22由y可得點P的坐標為a2所以FP→=OF→·FP→=(22解得a2