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線性代數概念引入之三:行列式

李尚志

中國科學技術大學

一.二元一次方程組的幾何意義行列式的定義

方程組可寫成向量形式即1.有唯一解的條件不共線即2.消元:方程(1.1)兩邊與(1.1)作內積消去y,得其中稱為二階行列式,記作是平行四邊形OAPB的有向面積,是兩個向量或的函數,計算公式:或圖23.代數算法利用幾何圖形表達出來,就是:以上算法用到二階行列式的如下基本性質(1)det(a,b)可以看成向量a,b的乘積來展開:det(ka+k1a1,b)=kdet(a,b)+k1det(a1,b)det(a,kb+k1b1)=kdet(a,b)+k1det(a,b1)如圖,就是可寫成其中二.三階行列式與體積1.三元一次方程組的幾何意義從原點O出發作有向線段OA，OB，OC使則就是以OA,OB,OC為棱的平行六面體的有向體積。稱為三階行列式，記作2.三階行列式—平行六面體體積3.三階行列式的基本性質(3)det(e1,e2,e3)=1,e1,e2,e3分別是三條坐標軸上的單位向量.)可以看作的乘積來展開.(1)det((2)如果三個向量中有兩個相等,則det()=0.擠成“照片”

將三個向量中的任意兩個互換位置,則det()變為原來值的相反數。4.利用基本性質計算三階行列式(2.1)這樣的項可以從(2.1)中去掉。只剩下i,j,k兩兩不相等的項。(2.1)變成當i,j,k中有兩個相等時，代入(2.2),得又類似地有(2.2)我們有類似地有三.n

階行列式的引入其中n

階行列式利用基本性質計算n階行列式(3.1)當i1,i2,…,in中有兩個相等時，這樣的項可以從(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in

兩兩不相等的項,(3.1)中的變成對1,2,…,n的全體排列(i1,i2,…,in)求和,成為:將排列中任意兩個數相互交換位置,稱為這個排列的一個對換。相應地，行列式中的互換了位置，其值變為原來值的相反數。進行若干次對換(設為s次)可以將排列變成標準排列(12…n),相應地將變成(3.2)

以下只須對每個排列求四.n

階行列式的定義1.排列的奇偶性

由1,2,…,n按任意順序重新排列而成的有序數組稱為一個n元排列。將1,2,…,n按從小到大的順序得到的排列(12…n)稱為自然排列。在任意一個排列中,可能出現順序“顛倒”的情況：p<q然而jp>jq,也就是較大的數jp反而排在較小的數jq

的前面。每出現一對這樣的(jp,jq)

稱為這個排列的一個逆序。排列中的逆序的個數稱為這個排列的逆序數，記作。

逆序數為偶數的排列稱為偶排列，逆序數為奇數的排列稱為奇排列。例.排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3個,因此t(3142)=3,(3142)是奇排列。自然排列(12…n)的逆序數為0,因此自然排列是偶排列。

將n個數aij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列的形式,按如下方式計算：2.n

階行列式的定義得到一個數，稱為

n階行列式。上面的式子中的求和號表示對所有的排列求和。五.