..七年級下三角形綜合題歸類一、雙等邊三角形模型1.〔1如圖7,點O是線段AD的中點,分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結AC和BD,相交于點E,連結BC．求∠AEB的大小；〔2如圖8,ΔOAB固定不動,保持ΔOCD的形狀和大小不變,將ΔOCD繞著點O旋轉〔ΔOAB和ΔOCD不能重疊,求∠AEB的大小.CBCBOD圖7AEBAODCE圖82.已知:點C為線段AB上一點,△ACM,△CBN都是等邊三角形,且AN、BM相交于O.①求證：AN=BM②求∠AOB的度數。③若AN、MC相交于點P,BM、NC交于點Q,求證：PQ∥AB。〔XX·中考題AABCMNOPQ同類變式：如圖a,△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形,且有一個公共頂點C,連接AF和BE.<1>線段AF和BE有怎樣的大小關系?請證明你的結論；<2>將圖a中的△CEF繞點C旋轉一定的角度,得到圖b,<1>中的結論還成立嗎?作出判斷并說明理由；<3>若將圖a中的△ABC繞點C旋轉一定的角度,請你畫出一個變換后的圖形c<草圖即可>,<1>中的結論還成立嗎?作出判斷不必說明理由.圖c3.如圖9,若和為等邊三角形,分別為的中點,易證：,是等邊三角形．〔1當把繞點旋轉到圖10的位置時,是否仍然成立？若成立,請證明；若不成立,請說明理由；〔2當繞點旋轉到圖11的位置時,是否還是等邊三角形？若是,請給出證明,若不是,請說明理由．圖圖9 圖10圖11圖8同類變式：已知,如圖①所示,在和中,,,,且點在一條直線上,連接分別為的中點．〔1求證：①；②；CENDABM圖①CAEMBDN圖CENDABM圖①CAEMBDN圖②4.如圖,四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形,連接BG與DE相交于點H．〔1證明：△ABG△ADE；〔2試猜想BHD的度數,并說明理由；〔3將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉〔0°＜BAE＜180°,設△ABE的面積CFGEDBAH為,△ADG的面積為CFGEDBAH5.已知：如圖,是等邊三角形,過邊上的點作,交于點,在的延長線上取點,使,連接．〔1求證：；〔2過點作,交于點,請你連接,并判斷是怎樣的三角形,試證明你的結論．二、垂直模型〔該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察內容考點1：利用垂直證明角相等如圖,△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,AE是BC邊上的中線,過C作CF⊥AE,垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．求證：〔1AE＝CD；〔2若AC＝12cm,求BD的長．〔XX中考如圖<1>,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是過A的一條直線,且B、C在A、E的異側,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。圖<1>圖<2>圖<3><1>試說明:BD=DE+CE.<2>若直線AE繞A點旋轉到圖<2>位置時<BD<CE>,其余條件不變,問BD與DE、CE的關系如何?寫結論,并說明理由。<3>若直線AE繞A點旋轉到圖<3>位置時<BD>CE>,其余條件不變,問BD與DE、CE的關系如何?寫出結論,可不說明理由。3.直線CD經過的頂點C,CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點,且．〔1若直線CD經過的內部,且E、F在射線CD上,請解決下面兩個問題：①如圖1,若,則〔填"",""或""號；②如圖2,若,若使①中的結論仍然成立,則與應滿足的關系是；〔2如圖3,若直線CD經過的外部,,請探究EF、與BE、AF三條線段的數量關系,并給予證明．AABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖3考點2：利用角相等證明垂直已知BE,CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,試確定AP與AQ的數量關系和位置關系2.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為BC的中點,DE⊥AB,垂足為E,過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F,連接CF．<1>求證：CD=BF；<2>求證：AD⊥CF；<3>連接AF,試判斷△ACF的形狀.拓展鞏固：如圖9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD是BC邊上的中線,過C作AD的垂線,交AB于點E,交AD于點F,求證：∠ADC＝∠BDE．AABCDEF圖9〔提示：對比此題的條件和上面那題的條件,對比此題的圖形和上題的圖像,有什么區別和聯系？3.如圖1,已知正方形的邊在正方形的邊上,連接,.

〔1試猜想與有怎樣的位置關系,并證明你的結論；〔2將正方形繞點按順時針方向旋轉,使點落在邊上,如圖2,連接和.你認為〔1中的結論是否還成立？若成立,給出證明；若不成立,請說明理由.4.如圖1,的邊BC在直線上,且的邊也在直線上,邊與邊重合,且在圖1中,請你通過觀察、測量,猜想并寫出與所滿足的數量關系和位置關系；將沿直線向左平移到圖2的位置時,交于點,連接.猜想并寫出與所滿足的數量關系和位置關系,請證明你的猜想；〔3將沿直線向左平移到圖3的位置時,的延長線交的延長線于點Q,連結,你認為〔2中所猜想的與的數量關系和位置關系和位置關系還成立嗎？若成立,給出證明；若不成立,請說明理由.ll<1>AB<F><E>CPABECFPQ<2>lAABECFPl<3>Q三、等腰三角形〔中考重難點之一考點1：等腰三角形性質的應用如圖,中,,,是中點,,與交于,與交于．求證：,．兩個全等的含,角的三角板和三角板,如圖所示放置,三點在一條直線上,連結,取的中點,連結．試判斷的形狀,并說明理由．壓軸題拓展：〔三線合一性質的應用已知中,,,為邊的中點,,繞點旋轉,它的兩邊分別交、〔或它們的延長線于、．當繞點旋轉到于時〔如圖1,易證．當繞點旋轉到和不垂直時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明；若不成立,,,又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想,不需證明．提示：此題為上面題目的綜合應用,思路與第一題相似。已知：如圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點F,H是BC邊的中點,連結DH與BE相交于點G。<1>BF=AC<2>CE=BF<3>CE與BC的大小關系如何。考點2：等腰直角三角形〔45度的聯想如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動〔點E不與點A,B重合,另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.⑴如圖14―1,當點E在AB邊的中點位置時：①通過測量DE,EF的長度,猜想DE與EF滿足的數量關系是；②連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數量關系是；③請證明你的上述兩猜想.⑵如圖14―2,當點E在AB邊上的任意位置時,請你在AD邊上找到一點N,使得NE=BF,進而猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系并證明2.在Rt△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,D是AC的中點,DG⊥AC交AB于點G.〔1如圖1,E為線段DC上任意一點,點F在線段DG上,且DE=DF,連結EF與CF,過點F作FH⊥FC,交直線AB于點H．①求證：DG=DC②判斷FH與FC的數量關系并加以證明．圖1圖2〔2若E為線段DC的延長線上任意一點,點F在射線DG上,<1>中的其他條件不變,借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形,并判斷你在<1>中得出的結論是否發生改變．〔本小題直接寫出結論,不必證明圖1圖2同類變式：〔期末考試原題哦已知：△ABC為等邊三角形,M是BC延長線上一點,直角三角尺的一條直角邊經過點A,且60o角的頂點E在BC上滑動,〔點E不與點B、C重合,斜邊與∠ACM的平分線CF交于點F〔1如圖〔1當點E在BC邊得中點位置時eq\o\ac<○,1>猜想AE與EF滿足的數量關系是.eq\o\ac<○,2>連結點E與ＡＢ邊得中點Ｎ,猜想ＢＥ和ＣＦ滿足的數量關系是.eq\o\ac<○,3>請證明你的上述猜想；〔２如圖〔２當點Ｅ在ＢＣ邊得任意位置時,ＡＥ和EF有怎樣的數量關系,并說明你的理由？EE四、角平分線問題1.如圖：E在線段CD上,EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,設AD＝,BC＝,且滿足〔1求AD和BC的長；〔2你認為AD和BC還有什么關系？并驗證你的結論；ACACBDE2.如圖①,OP是∠MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題：〔1如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；<第23題圖>OPAMNEBCDFA<第23題圖>OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③3.<北京市中考模擬題>如圖,在四邊形中,平分,過作,并且,則等于多少？4.如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1說明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的長.五、中點問題1.在△ABC中,為的中點,過點的直線交于,交的平行線于點。,并交于點.連結.〔1求證:；〔2請猜想與的大小關系,并加以證明如右下圖,在中,若,,為邊的中點．求證：．已知中,,為的延長線,且,為的邊上的中線．求證〔提示：倍長中線試試附加思考題：〔此題有很好地思維訓練價值,值得深入思考探究以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰,.連接,、分別是、的中點．探究：與的位置關系及數量關系．⑴如圖①當為直角三角形時,與的位置關系是；線段與的數量關系是；⑵將圖①中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉<>后,如圖②所示,⑴問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由．1．判斷與說理〔1如圖11－1,△ADE中,AE=AD且∠AED=∠ADE,∠EAD=90°,EC、DB分別平分∠AED、∠ADE,交AD、AE于點C、B,連接BC．請你判斷AB、AC是否相等,并說明理由；圖11－1圖11－2O〔2△ADE的位置保持不變,將△ABC繞點A逆時針旋轉至圖11－2的位置,圖11－1圖11－2O圖12

－2圖12圖12

－2圖12

－1①如圖12-1,在正三角形ABC中,M、N分別是AC、AB上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=60°,則BM=CN.②如圖12-2,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=90°,則BM=CN.圖12

－3圖12圖12

－3圖12

－4③如圖12-3,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,則BM=CN.〔友情提示：正多邊形的各邊相等且各內角也相等〔1請你從①、②、③三個命題中選擇一個說明理由；〔2請你繼續完成下面的探索：圖12

－5①如圖12-4,在正n邊形〔n≥6中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于點O,問當∠BON等于多少度時,結論BM=圖12

－5②如圖12-5,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、AE上的點,BM與CN相交于點O,當∠BON=108°時,請問結論BM=CN是否還成立？若成立,請給予證明；若不成立,請說明理由.解：〔1我選.〔僅填寫①、②、③中的一個理由如下：〔23.如圖9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD是BC邊上的中線,過C作AD的垂線,交AB于點E,交AD于點F。請你猜想∠ADC和∠BDE關系,并證明你的猜想。AABCDEF圖94.如下幾個圖形是五角星和它的變形．AABCDE<1>ABCDE<2>BACDE<3>〔1圖⑴中是一個五角星形狀,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=；〔2圖⑴中的點A向下移到BE上時〔如圖⑵五個角的和〔即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E有無變化？說明你的結論的正確性；〔3把圖⑵中的點C向上移動到BD上時〔如圖⑶,五個角的和〔即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E有無變化？說明你的結論的正確性．〔4如圖,在中,CD、BE分別是AB、AC邊上的中線,延長CD到F,使FD=CD,延長BE到G,使EG=BE,那么AF與AG是否相等？F、A、G三點是否在一條直線上？說說你的理由.AABCABCABCD圖〔1圖〔2圖〔35、操作實驗：如圖,把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開,發現被折痕分成的兩個三角形成軸對稱．所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C．ABABC圖<4>根據上述內容,回答下列問題：思考驗證：如圖〔4,在△ABC中,AB=AC．試說明∠B=∠C的理由．圖〔5CA圖〔5CABDE〔1BE與AD是否相等？為什么？〔2小明認為AC是線段DE的垂直平分線,你認為對嗎？說說你的理由。〔3∠DBC與∠DCB相等嗎？試說明理由．6.如圖13-1,在邊長為5的正方形中,點、分別是、邊上的點,且,.〔1求∶的值；〔2延長交正方形外角平分線〔如圖13-2,試判斷的大小關系,并說明理由；〔3在圖13-2的邊上是否存在一點,使得四邊形是平行四邊形？若存在,請給予證明；若不存在,請說明理由．圖13-1圖13-1ADCBE圖13-2BCEDAFPF7.團體購買某"素質拓展訓練營"的門票,票價如表〔a為正整數：團體購票人數1～5051～100100以上每人門票價a元〔a3元〔a6元⑴某中學高一〔1、高一〔2班同學準備參加"素質拓展訓練營"活動,其中高一〔1班人數不超過50,高一〔2的人數超過50但不超過80。當a=48時,若兩班分別購票,兩班總計應付門票費4914元；若合在一起作為一個團體購票,總計支付門票費4452元。問這兩個班級各有多少人？⑵某校學生會現有資金4429元用于購票,打算組織本校初三年級團員參加該項活動。為了讓更多的人能參加活動,學生會統一組織購票,購票資金恰好全部用完,且參加人數超過了100人,問共有多少人參加了這一活動？并求出此時a的值。8.如下圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,則∠B∶∠C的值為．AABCDEFO9.如左下圖,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,則圖中全等三角形的組數是〔A.3B.4C.5D.610.兩個全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置,E,A,C三點在一條直線上,連結BD,取BD的中點M,連結ME,MC．試判斷△EMC的形狀,并說明理由．11、〔1不用量角器,只利用刻度尺就能畫出一個角的平分線,下面是小明的畫法,你認為他的畫法對嗎？請你按照小明的畫法,畫出圖形,說明理由。①利用刻度尺在∠AOB的兩邊上分別取OC＝OD；②連結CD,利用刻度尺畫出CD的中點E③畫射線OE射線OE即為∠AOB的角平分線。〔2請你探索只利用你的三角尺〔可以量長度、畫直角畫出一個角的平分線的畫法。〔要求：①畫出圖形；②簡要說明畫法；③說明理由。12.〔1如圖〔1,正方形ABCD中,E為邊CD上一點,連結AE,過點A作AF⊥AE交CB的延長線于F,猜想AE與AF的數量關系,并說明理由；〔2如圖〔2,在〔1的條件下,連結AC,過點A作AM⊥AC交CB的延長線于M,觀察并猜想CE與MF的數量關系〔不必說明理由；〔3解決問題：①王師傅有一塊如圖所示的板材余料,其中==90°,AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請你幫王師傅在圖〔3中畫出剪拼的示意圖；②王師傅現有兩塊同樣大小的該余料,能否在每塊上各切一刀,然后拼成一個大的正方形呢？若能,請你畫出剪拼的示意圖；若不能,簡要說明理由．ABCDABCD圖4ABCD圖3ABCDABCDFE圖２MABCDFE圖１13.下圖是按一定規律排列的方程組集合和它解的集合的對應關系圖,若方程組集合中的方程組自左至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、……方程組n．<1>將方程組1的解填入圖中；…………方程組集合…………方程組集合對應方程組解的集合<3>若方程組的解是,求m、n的值,并判斷該方程組是否符合<2>中的規律？14．某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板,做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒．<長方形的寬與正方形的邊長相等><1>現有正方形紙板50張,長方形紙板l00張,若要做豎式紙盒x個,橫式紙盒y個．①根據題意,完成以下表格：②若紙板全部用完,求x、y的值；<2>若有正方形紙板80張,長方形紙板a張,做成上述兩種紙盒,紙板恰好全部用完．已知162<n<172,求n的值．15．〔1如圖1,圖2,圖3,在中,分別以為邊,向外作正三角形,正四邊形,正五邊形,相交于點．〔說明：每條邊都相等,每個角都相等的多邊形叫做正多邊形①如圖1,求證：；②探究：如圖1,；如圖2,；如圖3,．〔2如圖4,已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊．的延長相交于點．①猜想：如圖4,〔用含的式子表示；②根據圖4證明你的猜想．16．按照指定要求畫圖<1>如下圖1所示,黑粗線把一個由18個小正方形組成的圖形分割成兩個全等圖形,請在圖2中,仿圖1沿著虛線用四種不同的畫法,把每圖形分割成兩個全等圖形．<2>請將下面由16個小正方形組成的圖形,用兩種不同的畫法沿正方形的網格線用粗線把它分割成兩個全等圖形17.用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成四邊形ABCD,把一個含60°角的三角尺與這個四邊形疊合,使三角尺的60°角的頂點與點A重合,兩邊分別與AB、AC重合,將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉。〔1當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點E、F時〔如圖a,通過觀察或測量BE、CF的長度,你能得出什么結論？并說明理由；〔2當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時〔如圖b,你在〔1中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由。〔本題12分18.如圖,在下列網格中,⊿ABC和⊿DEF全等,且DE與AB是對應線段,則符合條件的F點的個數為〔.A.1個B.2個C.3個D.4個19、已知：如圖①所示,在和中,,,∠BAC=∠DAE=α,且點在一條直線上,連接分別為的中點．〔1求證：；〔2在圖①的基礎上,將繞點按順時針方向旋轉,其他條件不變,得到圖②所示的圖形．請直接寫出〔1中的兩個結論是否仍然成立；CENDABM圖CENDABM圖①CAEMBDN圖②第27題圖·······ABCDE21.如右圖所示,方格紙中有A、B、C、D、E五個格點<圖中的每一個方格均表示邊長為1個單位的正方形>,以其中的任意3個點為頂點,畫出所有的三角形,數一下,共構成________個三角形,其中有_______對全等三角形,它們分別___________________________________________________請選取一對非直角全等三角形,說明全等的理由．22．已知∠AOB=900,在∠AOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直角頂點與C重合,它的兩條直角邊分別與OA、OB<或它們的反向延長線>相交于點D、E．當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時<如圖1>,易證：CD=CE當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時,在圖2、圖3這兩種情況下,上述結論是否還成立?若成立,請給予證明；若不成立,請寫出你的猜想,不需證明．23．如圖,△DAC和△EBC均是等邊三角形,AE、BD分別與CD、CE交于點M、N,有如下結論：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③EM＝BN．其中,正確結論的個數是〔A．3個B．2個C．1個D．0個24．銳角為45o的直角三角形的兩直角邊長也相等,這樣的三角形稱為等腰直角三角形．我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形,也可稱它為等腰直角三角板．把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置,其中邊BC、FP均在直線l上,邊EF與