2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于函數，定義滿足的實數為的不動點，設，其中且，若有且僅有一個不動點，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．2．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設摸得白球數為，已知，則A． B． C． D．3．甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀最大，乙說：我年紀最大，丙說：乙年紀最大，丁說：我不是年紀最大的，若這四人中只有一個人說的是真話，則年紀最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．已知全集，則集合的子集個數為（）A． B． C． D．6．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數”，指數學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種7．設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．8．已知函數，，若對任意的，存在實數滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．59．已知正四面體的內切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．2710．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．11．某工廠利用隨機數表示對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數據，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．57812．已知等差數列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四面體的各個點在平面同側，各點到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長為__________．14．如圖,在梯形中，∥，分別是的中點，若，則的值為___________.15．在的展開式中，項的系數是__________（用數字作答）．16．函數過定點________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知：，：，：.（1）求與的極坐標方程（2）若與交于點A，與交于點B，，求的最大值.18．（12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.19．（12分）已知定點，，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標；若不存在，請說明理由。20．（12分）已知矩形中，，E，F分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）設函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，求實數的取值范圍．22．（10分）已知的面積為，且.（1）求角的大小及長的最小值；（2）設為的中點，且，的平分線交于點，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據不動點的定義，利用換底公式分離參數可得；構造函數，并討論的單調性與最值，畫出函數圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當時，，則在內單調遞增；當時，，則在內單調遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個不動點，可得得或，解得或.故選：C【點睛】本題考查了函數新定義的應用，由導數確定函數的單調性與最值，分離參數法與構造函數方法的應用，屬于中檔題.2、B【解析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用．3、C【解析】

分別假設甲乙丙丁說的是真話，結合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀最大者，即可求得答案.【詳解】①假設甲說的是真話，則年紀最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，年紀最大的不是甲；②假設乙說的是真話，則年紀最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，年紀最大的也不是乙；③假設丙說的是真話，則年紀最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，年紀最大的也不是乙；④假設丁說的是真話，則年紀最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀最大的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀最大的，年紀最大的只有一人，所以只有丙才是年紀最大的，故假設成立，年紀最大的是丙.綜上所述，年紀最大的是丙故選：C.【點睛】本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結論，說明這種情形不會發(fā)生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.4、D【解析】

利用空間位置關系的判斷及性質定理進行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或．故選：D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質與判定等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.5、C【解析】

先求B.再求，求得則子集個數可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數為故選C【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵，是基礎題6、C【解析】

根據“數”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選：C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用，其中解答中認真審題，根據題設條件，先排列有限制條件的元素是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.7、D【解析】

由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據求數列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數列是以為公比的等比數列，而，所以，∴當時，，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.8、A【解析】

根據條件將問題轉化為，對于恒成立，然后構造函數，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉化思想，屬于難題.9、D【解析】

設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，，，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點睛】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.10、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據二次函數的性質，求得，由取得最小值為，求得結果.【詳解】由拋物線焦點在軸上，準線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設，圓，圓心為，半徑為1，則，當時，取得最小值，最小值為，故選D.【點睛】該題考查的是有關距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數的最小值，屬于中檔題目.11、D【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數據，大于600的，重復出現的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數據，編號內的數據依次為:，因為535重復出現，所以符合要求的數據依次為，故第6個數據為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數表表的應用，正確掌握隨機數表法的使用方法是解題的關鍵.12、C【解析】

根據等差數列性質得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數列的性質，是數列的?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F，根據題意F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據頂點A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F，如圖所示：由題意得：F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，，頂點D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點A到面EDF的距離為，所以，因為，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于難題，14、【解析】

建系，設設，由可得，進一步得到的坐標，再利用數量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設，則，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數量積，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.15、【解析】的展開式的通項為：.令，得.答案為：-40.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.16、【解析】

令，，與參數無關，即可得到定點.【詳解】由指數函數的性質，可得，函數值與參數無關，所有過定點.故答案為：【點睛】此題考查函數的定點問題，關鍵在于找出自變量的取值使函數值與參數無關，熟記常見函數的定點可以節(jié)省解題時間.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的極坐標方程為；的極坐標方程為：（2）【解析】

（1）根據，代入即可轉化.（2）由：，可得，代入與的極坐標方程求出，從而可得，再利用二倍角公式、輔助角公式，借助三角函數的性質即可求解.【詳解】（1）：，，的極坐標方程為：，，的極坐標方程為：，（2）：，則（為銳角），，，，當時取等號.【點睛】本題考查了極坐標與直角坐標的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數的性質，屬于基礎題.18、（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結論；（2）先由面面垂直性質定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因為平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC.點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．19、(1)；(2)存在定點，見解析【解析】

（1）設動點，則，利用，求出曲線的方程．（2）由已知直線過點，設的方程為，則聯立方程組，消去得，設，，，利用韋達定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程，推出結果．【詳解】解：（1）設動點，則，，，即，化簡得：。由已知，故曲線的方程為。（2）由已知直線過點，設的方程為，則聯立方程組，消去得，設，，則又直線與斜率分別為，，則。當時，，；當時，，。所以存在定點，使得直線與斜率之積為定值?！军c睛】本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．20、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關結論可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點R，連接，，則在中，，且，又Q是中點，所以，而且，所以，所以四邊形是平行