11基本不等式測(cè)試題A組一．填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）xy1?若xy>0,則+—的最小值是Yxx?工=2.xY1.2.提示：—I—22Yx2.已知a,b都是正數(shù)，則屮、屮的大小關(guān)系是A2x?工=2.xY1.2.提示：—I—22Yx2.已知a,b都是正數(shù)，則屮、屮的大小關(guān)系是A2~+B22。提示：平方作差，利用a2+b2$2ab可得。3.若x+y=4,x>0,y>0,貝lgx+lgy的最大值是x+Y3.1g4.提示：lgx+lgy=lgxyWlg()2=lg4.124.已知一+—=1(m>0,N>0),則mn的最小值是mn4.2y2o提示：1=+—>mnnMN>2J2o5.已知：2x+2y=6,則2x+y的最大值是5.9.提示：6=2x+2y$2?2y,/.2“2y<9。故2x+y的最大值是9,此時(shí)xryJog?3o6某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)Y2與到車(chē)站的距離成正比，如果在距車(chē)站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用Y1和Y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站公里處?206.8?提示由已知Y1=—;丁2=°8x（x為倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站距離），x費(fèi)用之和Y=Y1+Y2=020「208x+22j0.8x-=8,當(dāng)且僅當(dāng)0x208x=即x=5時(shí)x成立。7?已知正數(shù)x、y滿(mǎn)足xy=x+y+3，則xy的范圍是。7.[9,+8）o提示：由x>0,y>0,貝ijxy二x+y+3nxy-3=x+y>2*xy,即（\：五）2—2\：xy+3>0解得<-1（舍）或Jxy>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y且XY=x+y+3即x=Y=3時(shí)取“二”號(hào)，故xy的取值范圍是[9,+8）o8.給出下列命題：①a,b都為正數(shù)時(shí),不等式a+b22Tab才成立。y=x+的最小值為2。xy二sinx+(0<x――)的最小值為2>f2.TOC\o"1-5"\h\zsinx2當(dāng)x>0時(shí)，y=x2+16x±2\/16x3，當(dāng)x2=16x時(shí)，即x=16,y取最小值512。其中錯(cuò)誤的命題是。&①②③④。提示：①a+b±2zb成立的充要條件是a>0,b>0；-1「11/、/1、②當(dāng)x>0,y=x+三2;當(dāng)x<0時(shí)，y=x+=-(-x-)W-2、|(-x)-(一)=-2;xxxYx@y=sinx+-22J2，等號(hào)成立的條件是sinx=.，即sinx=v2，sinxsinx小兀而當(dāng)0<x——時(shí)，0〈sinxW1,故等號(hào)不成立，y的最小值可通過(guò)單調(diào)性的定義判斷22y=t+(t=sinx)在(0，1】上單調(diào)遞減，從而y=1+=3;tmin1④“2$16x3”不是定值，因此該命題也不對(duì)oy=x2+16x在xe(0,+s)單調(diào)遞增，無(wú)最小值。二．解答題(本大題共4小題，共54分)9.已知：在AABC中，ZA,ZB,ZC，的對(duì)邊分別是a,b,c,則求滿(mǎn)足下列條件的ZB的范圍分別是什么。1(c+3)>丄.4c41(c+3)>丄.4c49.解：a2+c2一b24一1+c9.解：TOC\o"1-5"\h\z⑴*.*cosB==2ac4c兀L故ZB取值范圍分別是(0,：]。取等號(hào)時(shí)c=*3.6a2+c2a2+c2一b2(2)*.*cosB=—2aca2+c2一ac2ac一ac2ac2ac兀故ZB取值范圍分別是(0,§]?取等號(hào)時(shí)a=c.10.已知直角△ABC中，周長(zhǎng)為L(zhǎng),面積為S,求證：4SW(3-2運(yùn))L2.10.設(shè)直角△ABC的兩直角邊為x，y，則斜邊為、：x2+y2，S=1xy,.*.L=x+y+yjx2+y2^2三2厲三2厲+丫藥二2伝+2點(diǎn)11.已知正數(shù)X,y滿(mǎn)足x+2y=1,求-+丄的最小值有如下解法:xy解：x+2y=1且x>0,y>0.TOC\o"1-5"\h\z???1+1=(-+丄)(x+2y)>2:丄-2*2Xy=4邁xyxyxy...(1+1)=4邁.xymin判斷以上解法是否正確？說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)給出正確解法．11.解：錯(cuò)誤.11T???一+—>2①等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x二y時(shí)成立，又???x+2y>、2xy②xyxy等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)成立，而①②的等號(hào)同時(shí)成立是不可能的.正確解法：?x+2y=1且x>0,y>0.11,112yx2yx—+—=(—+)(x+2y)>3++>3+2?=3+2\2,xyxyxyxy當(dāng)且僅當(dāng)睦=蘭xy當(dāng)且僅當(dāng)睦=蘭xy即x=v'2y，又x+2y=1,???這時(shí)<y=2-邁2xyxymin12.某食品廠定期購(gòu)買(mǎi)面粉。已知該廠每天需用面粉6t,每t面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每t每天3元，購(gòu)買(mǎi)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？12.設(shè)該廠每隔x天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，其購(gòu)買(mǎi)量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為：3[6x+6(x—1)+???+6x2+6x1]=9x(x+1).設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y元，則y=1[9x(x+1)+900]+6x1800=900+9x+10809^10989，xx當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)取等號(hào).答：該廠10天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.備選題：一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量情況是：第一年為a件，第二年比第一年增長(zhǎng)p1%，第三年比第二年增長(zhǎng)p2%，且p1>0,p2>0,，1+p2=2p，如果年平均增長(zhǎng)x%，則x,p的大小關(guān)系是—。xWp。提示：a(1+p1)(1+p2)=a(1+x)2,A1^p1p2+p1+p2=1+2x+x2op1＋p2又p1+P2~2pP]P2W~)2=p2,「?2x+x2W2p+p2o(x-p)(x+p+2)WO,「.xWp(Tx+p+2>0)2.已知m=a+]2(a>2),n=(2)x2—2(x<0)，則m與n的大小關(guān)系為a2m>n。提示：m=a-2+~-222+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)取等號(hào))a-2而x2-2>-2(Vx<0),°.n二(2)x2-2<(2)-2=4.Am>n。14已知一+—=1，且a>0,b>0，求a+b最小值。ab14TOC\o"1-5"\h\z3.解法一一由a>0,b>0,+=1.ab‘14b4a廠得a+b=(a+b)Xl=(a+b)X(—+丁)=5+—+三5+2P4=9.ababb4a當(dāng)且僅當(dāng)一=――，即b=2a,即a=3,b=6時(shí)，(a+b).=9.abmin14解法二由一+丁=1且a>0，b>0得(a-1)(b-4)=4,ab14又°.°0v<1，0<<1,aba>1,b>4,a-1>0,b-4>0.???(a-1)+(b-4)三2J(a-1)(b-4)=4。當(dāng)且僅當(dāng)a-1=b-4，即卩a=3,b=6時(shí),(a+b)min=9.B組一．填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)4已知x>0,函數(shù)y=2—3x—-有值是.x1.最大，2-4朽.提示：y=2-(3x+4)W2-2\2=2-^3.設(shè)x>—1，則函數(shù)y=x++6的最小值是。x+12.9.提示：442.9.提示：44y=x++6=x+1+x+1x+1+5'時(shí)x+1)占+5二943.函數(shù)y=x+—的值域是.x3.y\y<—43.y\y<—4或y>4(a)當(dāng)x>0時(shí),x+>2xx二4(當(dāng)x二2時(shí)取等號(hào));xFx(b)當(dāng)x<0時(shí),—x>0而(—x)+(—4)>2：(—x)(—4)=4(當(dāng)x=—2時(shí)取等號(hào))/.x+4<—4xxx所以函數(shù)的值域是i|y<—4或y>4｝。

4?當(dāng)a>0且a豐1時(shí)，函數(shù)f（x）=log（x-1）+1的圖像恒過(guò)點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線amx-y+n=0上，則4m+2n的最小值為▲(neN*).4.2J2。提示：由題意知y=f（x）過(guò)點(diǎn)（2,1）。故2m+n=l.=2\/2.4m+2n'2\4m?2n=2\：22m+n=2\/2.TOC\o"1-5"\h\z5?在4XD+9XD=60的兩個(gè)□中，分別填入兩自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上和。5.6,4.提示：設(shè)兩數(shù)為x、、，即4x+9y=60,+—=（一+）=（13++）xyxy6060yx154x9yx（13+12）=，等于當(dāng)且僅當(dāng)—=—，且4x+9y=60，即x=6且y=46012yx時(shí)成立，故應(yīng)分別有6、4。6?糖果恰好分完或糖果不夠分.提示：設(shè)孫子人數(shù)為a6?糖果恰好分完或糖果不夠分.提示：設(shè)孫子人數(shù)為a，孫女人數(shù)為b，則由爺爺?shù)姆峙浞桨缚芍瑢?shí)際準(zhǔn)備的糖果數(shù)為2ab，而按奶奶的實(shí)際分法，則需要糖果數(shù)為a2+b2，所以當(dāng)a=b時(shí)二?糖果恰好分完；當(dāng)aHb時(shí)，糖果不夠分.解答題（本大題共4小題，共54分）7.已知a、b是正數(shù)，且—+_=l（x，yWR+求證：x+y$（叮寸b）2.xyI【證明】+b二1，「?x+y二9+歹逬+f）=a+b+ya+xb^a+b+2\[0bxy”—（\；a+\'b）2???x+y2G..0+\?）2某廠家擬在2008年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠的年產(chǎn)量）k量）動(dòng)生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）?（1）將2008年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；（2）該廠家2008動(dòng)生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）?（1）將2008年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；（2）該廠家2008年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是1萬(wàn)件。已知2005年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每.?.1=3—k*k=2,.°.x=3—8?解（】）由題意可知當(dāng)m=0時(shí),x=l（萬(wàn)件）,.?.1=3—k*k=2,.°.x=3—"l8+16x/一、每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5x(兀),x2008年的利潤(rùn)y=x-[1.5x8+16X]一(8+16x+m)=4+8x一m=4+8(32—)