第一章數(shù)字信號處理概述簡答題：1． 在A/DD/A器，它們分別起什么作用？A/D2在D/A濾波器。判斷說明題：2自己要增加一道采樣的工序就可以了。 （ 答：錯。需要增加采樣和量化兩道工序。3．一個模擬信號處理系統(tǒng)總可以轉(zhuǎn)換成功能相同的數(shù)字系統(tǒng)，然后基于數(shù)字信號處理理論，對信號進行等效的數(shù)字處理（ ）基礎(chǔ)。一、連續(xù)時間信號取樣與取樣定理計算題：1．過濾限帶的模擬數(shù)據(jù)時，常采用數(shù)字濾波器，如圖所示，圖中表示采樣周期（足夠小，足以防止混迭效應(yīng)，把從xtyt)的整個系統(tǒng)等效為一個模擬濾波器。如果h(n)截止于8radT10kHz，求整個系統(tǒng)的截止頻率。對于T20kHz，重復(fù)（a）的計算。xnyn采樣（T）hnD/A理想低通xnyn采樣（T）hnD/A理想低通TcY(ej)1XT a

(j)1XT

(jT所以h(n)得截止頻率 8對應(yīng)于模擬信號的角頻率為c cTc 8 1因此 f c 625Hzc 由于最后一級的低通濾波器的截止頻率為T

，因此對8T

沒有影響，故整個系統(tǒng)的截止頻率由H(ej)決定，是625Hz。（b）采用同樣的方法求得1T20kHz，整個系統(tǒng)的截止頻率為f 1 1250Hzc 二、離散時間信號與系統(tǒng)頻域分析計算題：設(shè)序列x(nX(e，試求下列序列的傅里葉變換。（1）x(2n) （2）x*(n)（共軛（）x(2n)由序列傅氏變換公式DTFT[x(n)]X(ej)n

x(n)ejn可以得到DTFT[x(2n)]

n

x(2n)ejn

x(n)ejnn為偶數(shù)2222n22

1 jn[x(n) (1)nx(n)]e 2212n

x(n)ejn

12n

x(n)ej()n1X(ej)1X(ej())2 22 21X(ej)X(ej)2 22（2）x*(n（共軛）解：DTFTx*(n)

x*(n)ejn[

x(n)ejn]*X*(ej)n n計算下列各信號的傅里葉變換。1（a）2nu[n] （b）(4)nu[n2]11n()n（c）[42n] （d） 2（）X)

2n[nejn

2nejnn n

n111(ej)111X()

2n0 1

1 ej22]e

1njn（b）

（）u[n

()e4 4n n20

1()m2ej4

(m2)16 ej211 ej1（c）X()

m[nejn

4[42nejnej2（d）X)

n

1njn

n1 [ 11

1 （）e2n利用頻率微分特性，可得X()jdX()d

1 ej 1 ej2 2 ej ej2 1ej)2 2 1ej)22 2序列x(nX(ejw，求下列各序列的傅里葉變換。（1）x*(n) （2）Re[x(n)] (3)nx(n)解：（）n

x*(n)ejwn

[x(n)ejw(n)]*X*(ejw)n（）

Re[x(n)]ejwn

1[x(n)x(n)ejwn1[X(ejw)X(ejw)]n

2 2n（）

1dx(n)ejwn d

dX(ejw)nx(n)en

jwnn

j x(n)ej dw dwn

jwnjdw序列x(nX(ejw，求下列各序列的傅里葉變換。（1）x(n)

（2）jIm[x(n)]

(3)

x2(n)（）

x(n)ejwn

[x(n)ej(w)(n)][

x(n)ej(w)n]X(ejw)（2）

n

n

n1[x(n)x(n)ejwn1[

x(n)ejwn

x(n)ejwn]2n

2n

n 1 X(ejw)

x(n)ej(w)n1 1

n X(ejw)X(ejw2（3）n

x2(n)ejwnn

12

X(ej)n

x(n)ej(w)n1

X(ej)X(ej(w))d12

X(ej)X(ejw)令x(nX(ejw表示一個序列及其傅立葉變換，利用X(ejw表示下面各序列的傅立葉變換。（1）g(n)x(2n)（2）g(n)2n為偶數(shù) 0 為奇數(shù)（）G(ejw)

n

g(n)ejnw

n

x(2n)ejnw

k

kx(k)ej2wk為偶數(shù)k

x(k)(1)kx(k)ej2w11 122k2

x(k

jkw2

12k

x(k)(e

)ejkw221X(ejw)12 222

x(k)ejk(w)1X(ejw)1

k

j(w)222 Xe2 22 1 w w X(ej2)X(ej2)2 （2）G(ejw)

n

g(n)ejnw

r

g(2r)ej2rw

r

x(r)ejr2wX(ej2w)設(shè)序列x(nX(ejw，求下列序列的傅立葉變換。0 x(nn) n0 g(n)2n為偶數(shù) 0 n為奇數(shù)（3）x(2n)（）X(ejw)ejwn0x(x(n

n為偶數(shù)g(n) X(ej2w)0 n（3）x(2n)X(ejw2)計算下列各信號的傅立葉變換。1n ()（1）2

u(n3)u(n2)（2）n7)sin(2n)）x(n)cosn3) 1n4 0 其它（1）

1

j2knX(k)

n

()n2

u(nu(n2)e N

1()n2

j2N

1 () 2

j2Nn32

n22 j3Nk

ej2NkN11ej2kN21

411ej22Nj52kN21()5e Nj3Nk 2N11ej2kN27（2）假定n和sin(2nX(kX(k，則71 2X(k)(k182)(k182)1k

N

7 N 7 X(k)

(2k22k)(2k22k)2 jk

N

N 所以 X(k)X1

(k)

(k)2(k182)(k182)j(k22)j(

k22k) N 7k

N 7 N N ）X(k)4n44

cos31

nejn2kNN

2 (ej3nej3n)ejnNk2n4N33NN31ej4(2k)9ej(2k)n1ej4(k)9N33NN3

23Nej( )n3N2 2n0 n01 2

21ej( k)9 1

2

21ej( k)9 ej4(Nk32

3N21ej(3Nk)

ej4(Nk32

3N21ej(3Nk)求下列序列的時域離散傅里葉變換0x(n)， x(n)0解：

x(n) x(n)ej(n)X(ej) Rex(n)1x(n)x(n)ejn1X(ej)X(ej)X2 2

(ej) x0

(n)ej12

x(n)x(n)ejnjImX(ej)三、離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)填空題：設(shè)Hz是線性相位FIRH(z31+j，該系統(tǒng)階數(shù)至少為（。10.8z1j41階。簡答題：min何謂最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H (Z)有何特點？min式H(Z)

P(Z)

Mr

bZrr

，他的所有極點都應(yīng)在單位圓內(nèi)，即Q(Z)

1Nk1

aZkk 1。但零點可以位于Zk一個系統(tǒng)，使它的逆系統(tǒng)G(Z)1H(Z也是穩(wěn)定因果的。這就需要H(Z)的零點也位于單位圓內(nèi)，即 1。一個穩(wěn)定因果的濾波器，如r果它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的，則稱這個系統(tǒng)是最小相位。等價的，我們有如下定義。【定義】一個有理系統(tǒng)函數(shù)，如果它的零點和極點都位于單位圓內(nèi)，則有最小相位。一個最小相位系統(tǒng)可由它的傅里葉變換的幅值H(e唯一確定。從e求H(Z)的過程如下：給定e，先求ejw2，它是cos(kw)的函數(shù)。然后，用1(ZkZk替代cos(kw，我們得到G(ZH(Z)H(Z1。最后，2最小相位系統(tǒng)由單位圓內(nèi)的G(Z)的極、零點形成。一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)總可以分解成一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)的乘積，即H(Z)H

min

(Z)Hap

(Z)完成這個因式分解的過程如下：首先，把H(Z)的所有單位圓外的零點映射到它在單位圓內(nèi)的共軛倒數(shù)點

min

(Z)是最小相位的。然后，選擇全通濾波器Hap的零點映射回單位圓外。

(Z，把與之對應(yīng)的

min

(Z)中ap何謂全通系統(tǒng)？全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H (Z)有何特點？ap解：一個穩(wěn)定的因果全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)Hap

(Z)對應(yīng)的傅里葉變換幅值H(ej1該單位幅值的約束條件要求一個有理系統(tǒng)函數(shù)方程式的零極點必須呈共軛倒數(shù)對出現(xiàn)，即H (Z)P(Z)

Mr

bZrr

Z1k

Z

處有一個ap Q(Z)

1NaZkk1

1Zkkk極點，則在其共軛倒數(shù)點Z

處必須有一個零點。11kxnxnhnynH(ej)

h(n)ejn系統(tǒng)函數(shù)：H(Z)

h(n)ZnX(Z)ZX(Z) 卷積關(guān)系：y(n)

h(n)x(n)第三章離散傅立葉變換一、離散傅立葉級數(shù)計算題：如果x(n)2的周期序列。把x(n)的周期序列有x(n)

~(k)X1X

（周期為；把x(n)2的周期序列有x(n)~

~（周期為2~2。2

X(k)2

X（k）1~ N1

N1~

j2kn解： X1

(k)

x(n)WknN

x(n)e Nn0 n0X~(k)X2

2N1~ x(n~ 2N

N1x(

j2kN2

~2N~x

j2kN2n0 n0 nN對后一項令nnN，則~ N1

j2k

N1~

j2k(nN)X(k)2

x

N2

x(nN)e N2n0 n0e

)N1x(n0

j2kN2)X(ejk )X(2~k

k為偶數(shù)

(k)

2X()122

k為奇數(shù)二、離散傅立葉變換定義填空題某DFT的表達式是Xl)N1x(kWkl，則變換后數(shù)字頻域上相鄰兩Mk0個頻率樣點之間的間隔是（ 解：2MDF的表達式是Xl)N1x(kWkl，由此可看出，該序列的時Mk0域長度（ 變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間隔是（ 。解：N M如果希望某信號序列的離散譜是實偶的，那么該時域序列應(yīng)滿條件（ 。解：純實數(shù)、偶對稱采樣頻率為FHzz代表的物理s意義是（ ，其中時域數(shù)字序列x(n)的序號n代表的樣值際位置（ ；x(n)DFTk)中序號k代表的樣值實際位置又是（ 。解：延時一個采樣周期T1FnTnF，k

2kN用8kHz的抽樣率對模擬語音信號抽樣，為進行頻譜分析，計算了512點的DFT。則頻域抽樣點之間的頻率間隔f為 ,數(shù)字角率間隔為 和模擬角頻率間隔 。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s判斷說明題：一個信號序列，如果能做序列傅氏變換對它進行分析，也就能DFT對它進行分析。 （ ）解：錯。如果序列是有限長的，就能做DFT對它進行分析。否則，頻域采樣將造成時域信號的混疊，產(chǎn)生失真。計算題1X(k表示N點的序列x(n的NX(k本身也是一個NX(k的離散傅里葉變換得到一序列x(n)，11試用x(n)求x(n)。1解：x(n)N1X(kW

N1N1x(nWn

N1x(n)N1

k(nn)1 N

W WNN Nk0因為N1 N

k

n0 n0 k0nnNlk0所以

Wk(nn)N 0 其他x(n)N1Nx(nNl)Nx((n))1 n

R(n)Nx(n4點DFTx(k)x(n按下列（（點的DF（盡量利用DFT的特性）Xx(n)y(n)

n kn0~3（1）1

x(n4) n4~7x(n)y(n)

n0~3（2）2

0 n4~7y(n)x(n2

n偶數(shù)（3）3

0 n奇數(shù)解（）Y2k2Xk, 0k31 Y2k101（2）

k Yk X1Xk,k2k,0

7,0k32 1 2 1 1（3）

Y3

Xk1

Xk40k1

7,0kkk1

mod4設(shè)x(n2Nx(nN)x(n)x1

(n)x(n)RN

(nNDFTX1

(kx(n的2N點DFTX(k)X(k的關(guān)系。1解：X2

k推導(dǎo)過程略 12 N點DFT（閉合形式表達式）（1）x(n)anR(n) （2）x(n)nR(n)N N（）因為x(n)anRN

(n)，所以N1 j2

1aNX(k)

n0

ane

N 1

j2Nx(nnR(n，得NX(k)N1nWnkRN N

(k)n0WkX(k)N1nW(n)kR

(k)N N Nn0X(k)1Wk)(N1nWnkN1nW(n)k)R

(k)N N N N n0 n0 Wk2W2k3W3k(N1)W(N1)k(W2k2W3k(N2)W(N1)kN1)R

(k)N N N N N N N N((N)N1Wnk)RN N

(k)n1 Wk1(N1) N R(k)NR

(k)1Wk N N所以NX(k)

R1Wk N

(k)116計算下列序列N點DFT：116（1）x(n)an,0nN1（2）x(n)cosnm，0nN，0mN（）

N1

N 1aNWNK 1aN ，X(k)

n0

anWnkN

N1aWkN

1aWkN

0kN1（2）

N1

1N1

2 2 j mn j mn j nk2 2 X(k)

cos mnWnk eN e N e NN N 2 n0 n0 11ej2(km)1ej2(km)2 2 2 1e

j (km)N

1ejN(km)1ej(km)ej(km)

ejN1(km)

ej(km)ej(km)

ejN1(km)N2

N ejN(km)ejN(km) ejN(km)ejN(km) /r/