第二十七講圓的認識第二十七講圓的認識1.了解：圓的定義及其有關概念，圓心角和圓周角的概念.2.理解：圓的軸對稱性和中心對稱性.3.掌握：垂徑定理及其推論，圓周角定理及其推論.4.會：運用垂徑定理及其推論和圓心角所對的弦、弧之間的關系定理及其推論解決有關證明、計算和作圖問題.5.能：用垂徑定理及圓周角的性質解決與圓有關的分類問題.1.了解：圓的定義及其有關概念，圓心角和圓周角的概念.一、圓的有關概念1.圓的基本概念：(1)平面內到一定點的距離等于定長的_______組成的圖形叫做圓，這個定點叫做_____，定長叫做_____.(2)圓可以看成是平面內一個動點繞一個定點_________所形成的圖形.所有點圓心半徑旋轉一周一、圓的有關概念所有點圓心半徑旋轉一周2.圓的弦和弧如圖：線段AB，BC，AC都是⊙O的___，曲線BC，BAC都是⊙O中的___.小于半圓周的圓弧叫_____，大于半圓周的圓弧叫_____.弦弧劣弧優弧2.圓的弦和弧弦弧劣弧優弧3.圓心角與圓周角：(1)頂點在_____的角叫做圓心角;(2)頂點在_____，并且兩邊都與圓_____的角叫做圓周角.圓心圓上相交3.圓心角與圓周角：圓心圓上相交【即時應用】1.圓的最長的弦是_____.2.已知圓上有三個點，以任意兩個點為端點的弧共有__條.3.如圖______是圓心角，______為圓周角.直徑6∠BOC∠BAC【即時應用】直徑6∠BOC∠BAC二、圓的有關性質1.圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.2.垂直于弦的直徑的性質及其推論(1)定理：垂直于弦的直徑___________，并且平分這條弦所對的兩條弧;(2)推論：平分弦(不是直徑)的直徑_____于弦，并且平分弦所對的_______.平分這條弦垂直兩條弧二、圓的有關性質平分這條弦垂直兩條弧3.圓心角、弧、弦之間的關系在同一個圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等.4.圓周角定理及其推論(1)定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角_____，都等于這條弧所對的圓心角的_____；(2)推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是_____，90°的圓周角所對的弦是直徑.5.三角形的外心外心的性質：三角形的外心到三角形三個頂點的距離_____.相等一半直角相等3.圓心角、弧、弦之間的關系相等一半直角相等【即時應用】1.如圖，半徑為10的⊙O中，弦AB的長為16，則圓心到這條弦的距離為__.2.如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠ACO=16°,則∠BOC=____.632°【即時應用】632°3.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°,則∠BAC的度數等于____.4.△ABC的三邊長分別為5，12，13，則其外接圓的半徑為____.5.等邊三角形的邊長為6，則其外接圓的半徑為_____.50°6.53.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°,則∠BA【核心點撥】1.一條直線若滿足：①垂直于弦；②平分弦；③過圓心；④平分弦所對的劣弧；⑤平分弦所對的優弧中任意兩個條件，則可得到另外三個條件.2.離開同圓或等圓，不存在等弧.3.圓中常用的輔助線①作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等可得等腰三角形；②作半徑和圓心到弦的垂線段，與弦的一半構成直角三角形；③作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角.【核心點撥】

圓心角與圓周角◆中考指數:★★★★☆

知識點睛1.圓周角與圓心角是密切聯系的一個整體，實現了圓中角的轉化，知其一，可求其二.2.圓周(或心)角與它所對弧常互相轉化，即欲求證圓周(或心)角相等，可轉化證“圓周(或心)角所對的弧相等”.弧相等的條件可轉化為它們所對的圓周(或心)角相等的結論.

特別提醒1.考查圓周角和圓心角的這類題側重對基礎知識的考查，利用有關概念和定理在理解時，要注意其成立的條件，結合圖形進行分析.2.有直徑時，常常添加輔助線構造直徑上的圓周角，由此轉化為解直角三角形的問題.圓心角與圓周角◆中考指數【例1】(2012·湘潭中考)如圖，在⊙O中，弦AB∥CD,若∠ABC=40°，則∠BOD=()(A)20°(B)40°(C)50°(D)80°【例1】(2012·湘潭中考)如圖，在⊙O中，弦AB∥CD,【教你解題】

【教你解題】【對點訓練】1.(2012·黔東南中考)如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°,則∠BCD的度數為()(A)35°(B)45°(C)55°(D)75°【解析】選A.連結AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°,∴∠A=90°-55°=35°,根據同弧所對的圓周角相等可得∠BCD=∠A=35°.【對點訓練】2.(2012·六盤水中考)如圖，已知∠OCB=20°,則∠A=____度.【解析】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=20°,∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=140°,∴∠A=∠O=70°.答案：702.(2012·六盤水中考)如圖，已知∠OCB=20°,則∠3.(2011·蘭州中考)如圖，OB是⊙O的半徑，點C，D在⊙O上，∠DCB=27°，則∠OBD=____度．【解析】∠DOB=2∠DCB=54°，因為OB=OD,所以△OBD是等腰三角形，得∠OBD=(180°－54°)÷2=63°．答案：63

3.(2011·蘭州中考)如圖，OB是⊙O的半徑，點C，D在

垂直于弦的直徑的應用

◆中考指數:★★★★☆

知識點睛1.垂直于弦的直徑及其推論是證線段相等、角相等、垂直關系的重要依據，應用時要注意：垂直于弦的直徑的推論“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”一定要強調“弦不是直徑”.2.利用垂直于弦的直徑解決問題時，常常把問題轉化為半徑，弦長的一半，圓心到弦的垂線段三者組成的直角三角形中的問題.

特別提醒定理中的“直徑”是指經過圓心的弦，但在實際應用時可以不是直徑，如半徑、過圓心的直線.

【例2】(2011·江西中考)如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2，點A為弦BC所對優弧上任意一點(B，C兩點除外).(1)求∠BAC的度數；(2)求△ABC面積的最大值.(參考數據：sin60°=,cos30°=,tan30°=).【例2】(2011·江西中考)如圖，已知⊙O的半徑為2，弦B【教你解題】(1)【教你解題】(2)(2)【對點訓練】4.(2012·湛江中考)如圖，在半徑為13的⊙O中，OC垂直弦AB于點D，交⊙O于點C，AB=24，則CD的長是_________.【對點訓練】【解析】連結OA，∵OC⊥AB,AB=24,∴AD=AB=12.在Rt△AOD中，∵OA=13,AD=12,∴∴CD=OC-OD=13-5=8.答案：8【解析】連結OA，5.(2012·婁底中考)如圖，⊙O的直徑CD垂直于AB，∠AOC=48°，則∠BDC=_____度.【解析】連結BO.∵直徑CD垂直于AB，∴則∠BDC=∠BOC=∠AOC=24°.答案：245.(2012·婁底中考)如圖，⊙O的直徑CD垂直于AB，∠6.(2012·衢州中考)工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為____mm.6.(2012·衢州中考)工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的【解析】設圓心為O，過點O作OD⊥AB于點D，連結OA,根據題意知，OA=5mm，OD=8－5=3(mm)，根據勾股定理，得：

(mm)，則AB=2AD=8mm.答案：8【解析】設圓心為O，過點O作OD⊥AB于點D，連結OA,根據7.(2012·南通中考)如圖，⊙O的半徑為17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD間的距離．7.(2012·南通中考)如圖，⊙O的半徑為17cm，弦A【解析】分別作弦AB，CD的弦心距，設垂足分別為E，F，連結OA，OC.∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×30=15(cm)，【解析】分別作弦AB，CD的弦心距，設垂足分別為E，F，連結CF=CD=×16=8(cm).在Rt△AOE中，OE=在Rt△OCF中，OF=∴EF=OF-OE=15-8=7(cm)．∴AB和CD間的距離為7cm.CF=CD=×16=8(cm).

三角形的外接圓◆中考指數:★★★☆☆知識點睛

三角形的外心的位置：銳角三角形的外心在三角形內部，直角三角形的外心是的中點，鈍角三角形的外心在三角形外部.

特別提醒

1.三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點；2.根據三角形的外心的位置可以確定三角形的形狀.

三角形的外接圓◆中【例3】(2012·長沙中考)如圖，A,P,B,C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°,(1)求證：△ABC是等邊三角形.(2)求圓心O到BC的距離OD.【思路點撥】(1)∠ABC=∠APC→∠ABC=∠BAC=60°→結論(2)連結OB→解Rt△OBD→OD的長【例3】(2012·長沙中考)如圖，A,P,B,C是半徑為8【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，又∵∠BAC=∠APC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形.(2)連結OB，則易得∠OBD=30°,又∠ODB=90°,∴OD=OB=4.【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，【對點訓練】8.(2012·湖州中考)如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC是⊙O的直徑，∠C=50°,∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，則∠BAD的度數是()(A)45°(B)85°(C)90°(D)95°【解析】選B.根據直徑所對的圓周角為90°，∠C=50°,可得∠BAC的度數為40°，再利用圓周角定理，∠CBD=∠CAD==45°,∠BAD=∠CAD+∠BAC=85°.【對點訓練】9.(2012·萬寧中考)如圖所示，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連結CD，若AD=3，AC=2，則cosB的值為()(A)(B)(C)(D)【解析】選B.∵∠B和∠D所對的弧是，根據同弧所對的圓周角相等，∴∠B=∠D.又∵AD是直徑，∴∠ACD=90°，根據勾股定理，得∴cosB=cosD=9.(2012·萬寧中考)如圖所示，已知⊙O是10.(2011·煙臺中考)如圖，△ABC的外心坐標是_____.【解析】三角形的外心為三邊垂直平分線的交點，觀察圖形，畫出AB、BC的垂直平分線，即可得解.答案：(－2，－1)10.(2011·煙臺中考)如圖，△ABC的外心坐標是___【歸納整合】找圓心的兩種方法(1)利用90°的圓周角所對的弦是直徑，找到兩條直徑，它們的交點即為圓心；(2)作出兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心.【歸納整合】找圓心的兩種方法【創新命題】圓中的分類討論【例】(2011·涼山州中考)如圖，∠AOB=100°，點C在⊙O上，且點C不與A,B重合，則∠ACB的度數為()(A)50°(B)80°或50°(C)130°(D)50°或130°【創新命題】圓中的分類討論【解題導引】利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半，求得圓周角的度數即可，注意點C可能在優弧上也可能在劣弧上，分兩種情況討論.【規范解答】選D.當點C在優弧上時，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°.當點C在劣弧上時，∠ACB＝(360°－∠AOB)＝×(360°－100°)＝130°.【解題導引】利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半，求得圓【名師點評】通過對圓中分類討論的試題的分析和總結，我們可以得到以下該類型題目的創新點撥和解題啟示：【名師點評】通過對圓中分類討論的試題的分析和總結，我們可以得(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直徑AB=40，弦CD⊥AB于點E，且CD=32，則AE的長為()(A)12(B)8(C)12或28(D)8或32【解析】選D.如圖,連結OC.∵弦CD⊥AB于點E，∴CE=CD=16.(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直徑AB=40，弦CD⊥A在直角△OCE中，則AE=20+12=32，或AE=20-12=8，故AE的長是8或32.在直角△OCE中，第二十七講圓的認識第二十七講圓的認識1.了解：圓的定義及其有關概念，圓心角和圓周角的概念.2.理解：圓的軸對稱性和中心對稱性.3.掌握：垂徑定理及其推論，圓周角定理及其推論.4.會：運用垂徑定理及其推論和圓心角所對的弦、弧之間的關系定理及其推論解決有關證明、計算和作圖問題.5.能：用垂徑定理及圓周角的性質解決與圓有關的分類問題.1.了解：圓的定義及其有關概念，圓心角和圓周角的概念.一、圓的有關概念1.圓的基本概念：(1)平面內到一定點的距離等于定長的_______組成的圖形叫做圓，這個定點叫做_____，定長叫做_____.(2)圓可以看成是平面內一個動點繞一個定點_________所形成的圖形.所有點圓心半徑旋轉一周一、圓的有關概念所有點圓心半徑旋轉一周2.圓的弦和弧如圖：線段AB，BC，AC都是⊙O的___，曲線BC，BAC都是⊙O中的___.小于半圓周的圓弧叫_____，大于半圓周的圓弧叫_____.弦弧劣弧優弧2.圓的弦和弧弦弧劣弧優弧3.圓心角與圓周角：(1)頂點在_____的角叫做圓心角;(2)頂點在_____，并且兩邊都與圓_____的角叫做圓周角.圓心圓上相交3.圓心角與圓周角：圓心圓上相交【即時應用】1.圓的最長的弦是_____.2.已知圓上有三個點，以任意兩個點為端點的弧共有__條.3.如圖______是圓心角，______為圓周角.直徑6∠BOC∠BAC【即時應用】直徑6∠BOC∠BAC二、圓的有關性質1.圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.2.垂直于弦的直徑的性質及其推論(1)定理：垂直于弦的直徑___________，并且平分這條弦所對的兩條弧;(2)推論：平分弦(不是直徑)的直徑_____于弦，并且平分弦所對的_______.平分這條弦垂直兩條弧二、圓的有關性質平分這條弦垂直兩條弧3.圓心角、弧、弦之間的關系在同一個圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等.4.圓周角定理及其推論(1)定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角_____，都等于這條弧所對的圓心角的_____；(2)推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是_____，90°的圓周角所對的弦是直徑.5.三角形的外心外心的性質：三角形的外心到三角形三個頂點的距離_____.相等一半直角相等3.圓心角、弧、弦之間的關系相等一半直角相等【即時應用】1.如圖，半徑為10的⊙O中，弦AB的長為16，則圓心到這條弦的距離為__.2.如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠ACO=16°,則∠BOC=____.632°【即時應用】632°3.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°,則∠BAC的度數等于____.4.△ABC的三邊長分別為5，12，13，則其外接圓的半徑為____.5.等邊三角形的邊長為6，則其外接圓的半徑為_____.50°6.53.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°,則∠BA【核心點撥】1.一條直線若滿足：①垂直于弦；②平分弦；③過圓心；④平分弦所對的劣弧；⑤平分弦所對的優弧中任意兩個條件，則可得到另外三個條件.2.離開同圓或等圓，不存在等弧.3.圓中常用的輔助線①作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等可得等腰三角形；②作半徑和圓心到弦的垂線段，與弦的一半構成直角三角形；③作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角.【核心點撥】

圓心角與圓周角◆中考指數:★★★★☆

知識點睛1.圓周角與圓心角是密切聯系的一個整體，實現了圓中角的轉化，知其一，可求其二.2.圓周(或心)角與它所對弧常互相轉化，即欲求證圓周(或心)角相等，可轉化證“圓周(或心)角所對的弧相等”.弧相等的條件可轉化為它們所對的圓周(或心)角相等的結論.

特別提醒1.考查圓周角和圓心角的這類題側重對基礎知識的考查，利用有關概念和定理在理解時，要注意其成立的條件，結合圖形進行分析.2.有直徑時，常常添加輔助線構造直徑上的圓周角，由此轉化為解直角三角形的問題.圓心角與圓周角◆中考指數【例1】(2012·湘潭中考)如圖，在⊙O中，弦AB∥CD,若∠ABC=40°，則∠BOD=()(A)20°(B)40°(C)50°(D)80°【例1】(2012·湘潭中考)如圖，在⊙O中，弦AB∥CD,【教你解題】

【教你解題】【對點訓練】1.(2012·黔東南中考)如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°,則∠BCD的度數為()(A)35°(B)45°(C)55°(D)75°【解析】選A.連結AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°,∴∠A=90°-55°=35°,根據同弧所對的圓周角相等可得∠BCD=∠A=35°.【對點訓練】2.(2012·六盤水中考)如圖，已知∠OCB=20°,則∠A=____度.【解析】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=20°,∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=140°,∴∠A=∠O=70°.答案：702.(2012·六盤水中考)如圖，已知∠OCB=20°,則∠3.(2011·蘭州中考)如圖，OB是⊙O的半徑，點C，D在⊙O上，∠DCB=27°，則∠OBD=____度．【解析】∠DOB=2∠DCB=54°，因為OB=OD,所以△OBD是等腰三角形，得∠OBD=(180°－54°)÷2=63°．答案：63

3.(2011·蘭州中考)如圖，OB是⊙O的半徑，點C，D在

垂直于弦的直徑的應用

◆中考指數:★★★★☆

知識點睛1.垂直于弦的直徑及其推論是證線段相等、角相等、垂直關系的重要依據，應用時要注意：垂直于弦的直徑的推論“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”一定要強調“弦不是直徑”.2.利用垂直于弦的直徑解決問題時，常常把問題轉化為半徑，弦長的一半，圓心到弦的垂線段三者組成的直角三角形中的問題.

特別提醒定理中的“直徑”是指經過圓心的弦，但在實際應用時可以不是直徑，如半徑、過圓心的直線.

【例2】(2011·江西中考)如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2，點A為弦BC所對優弧上任意一點(B，C兩點除外).(1)求∠BAC的度數；(2)求△ABC面積的最大值.(參考數據：sin60°=,cos30°=,tan30°=).【例2】(2011·江西中考)如圖，已知⊙O的半徑為2，弦B【教你解題】(1)【教你解題】(2)(2)【對點訓練】4.(2012·湛江中考)如圖，在半徑為13的⊙O中，OC垂直弦AB于點D，交⊙O于點C，AB=24，則CD的長是_________.【對點訓練】【解析】連結OA，∵OC⊥AB,AB=24,∴AD=AB=12.在Rt△AOD中，∵OA=13,AD=12,∴∴CD=OC-OD=13-5=8.答案：8【解析】連結OA，5.(2012·婁底中考)如圖，⊙O的直徑CD垂直于AB，∠AOC=48°，則∠BDC=_____度.【解析】連結BO.∵直徑CD垂直于AB，∴則∠BDC=∠BOC=∠AOC=24°.答案：245.(2012·婁底中考)如圖，⊙O的直徑CD垂直于AB，∠6.(2012·衢州中考)工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為____mm.6.(2012·衢州中考)工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的【解析】設圓心為O，過點O作OD⊥AB于點D，連結OA,根據題意知，OA=5mm，OD=8－5=3(mm)，根據勾股定理，得：

(mm)，則AB=2AD=8mm.答案：8【解析】設圓心為O，過點O作OD⊥AB于點D，連結OA,根據7.(2012·南通中考)如圖，⊙O的半徑為17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD間的距離．7.(2012·南通中考)如圖，⊙O的半徑為17cm，弦A【解析】分別作弦AB，CD的弦心距，設垂足分別為E，F，連結OA，OC.∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×30=15(cm)，【解析】分別作弦AB，CD的弦心距，設垂足分別為E，F，連結CF=CD=×16=8(cm).在Rt△AOE中，OE=在Rt△OCF中，OF=∴EF=OF-OE=15-8=7(cm)．∴AB和CD間的距離為7cm.CF=CD=×16=8(cm).

三角形的外接圓◆中考指數:★★★☆☆知識點睛

三角形的外心的位置：銳角三角形的外心在三角形內部，直角三角形的外心是的中點，鈍角三角形的外心在三角形外部.

特別提醒

1.三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點；2.根據三角形的外心的位置可以確定三角形的形狀.

三角形的外接圓◆中【例3】(2012·長沙中考)如圖，A,P,B,C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°,(1)求證：△ABC是等邊三角形.(2)求圓心O到BC的距離OD.【思路點撥】(1)∠ABC=∠APC→∠ABC=∠BAC=60°→結論(2)連結OB→解Rt△OBD→OD的長【例3】(2012·長沙中考)如圖，A,P,B,C是半徑為8【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，又∵∠BAC=∠APC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形.(2)連結OB，則易得∠OBD=30°,又∠ODB=90°,∴OD=OB=4.【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，【對點訓練】8.(2012·湖州中考)如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC是⊙O的直徑，∠C=50°,∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，則∠BAD的度數是()(A)45°(B)85°(C)90°(D)95°【解析】選B.根據直徑所對的圓周角為90°，∠C=50°,可得∠BAC的度數為40°，再利用圓周角定理，∠CBD=∠CAD=