§3.4

功和動能定理F

F

rA

F

r

cosr1.恒力做功功是標量，無方向，有正負.0

900

900900

1800做正功不做功做負功單位：1J

=

1N

·m

1eV

=

1.610-19

J32.

變力做功r32rr1AriFiF3F21Fi

A

F1

r1

F2

r2

F3

r3

Fi

ri1rr0ABA

F

dr：

d

A

F

dr總功：變力所做的總功等于 的和.43.

功的計算AL

L

(Fxdx

Fydy

Fzdz)FFxdrdxdy

L

Fxi

Fy

j

dxi

dyj

L

(

Fx

dx

Fy

dy)三維坐標：L5Ox(1)

直角坐標系：

AL

L

F

dryFy3.

功的計算(2)

平面自然坐標系：

AL

L

F

dr

L

F?

Fnn?

dr

L

F?

Fnn?

dS?

L

F

dS6F

F1

F2

F3

F44.

合力做功AL

F

drLL1F23FF1FF2F3FF4

L

(F1

F2

F3

F4

)

dr(F1

dr

F2

dr

F3

dr

F4

dr)LAL

A1

A2

A3

A47合力的功等于其各分力的功的代數和.t平均功率:P

Adt

dt瞬時功率:P

lim

A

dA

F

dr

F

v5.功率單位：W(瓦特)—實際問題中作功的快慢是一個重要因素.t

0tP

F

v

Fv

cosv

F

;

v

F

變速箱：低速時用低傳動比可獲得更大的驅動力；高速時用高傳動比可降低牽引力獲得更高速度。9功是標量，可以為正、負值或零，反映被做功物體能量的變化；功是過程量，數值與做功的路徑有關，是力對空間的積累.當物體不能視為質點時，受力質點的位移與物體的位移不一致；受力點的變換不能視為質點有位移；Note質點的動能定理：在一段位移中，合外力對質點做的功等于質點動能的增量.drv12vFB6.

質點的動能定理BAAAB

F

drBAdvmdt

vdtAAB

EkB

EkABAAmv

dvBxyy

zAm(v

i

vj

vzk

)(dvxi

dv j

dv

j)x

xy

y

z

zAB

m(v

dv2A

v

dv

v

dv

)

B

1

2

2

2d[

m(v

v

v

)]x

y

z212BAd

(21212mv2Amv

)

Bmv

2kE

1

mv27.

質點系的動能定理三質點系統：(A1,ex

A2,ex

A3,ex)(A1,in

A2,in

A3,in)Ek1Ek2

Ek3Aex

Ain

Ek質點系的動能定理：質點系的合外力與內力所做的總功等于質點系總動能的增量.F13mF12F23

F32

F3F2F31F21m1F13對質點3:

A3,ex

A3,in

Ek311對質點1:

A1,

ex

A1,in

Ek1對質點2:

A2,ex

A2,in

Ek2

m2Note質點系的內力不能改變系統的動量，但是可以改變系統的動能；動能定理表明功是能量變化的量度，說明了功的真正內函；動能定理適應用于慣性系中任何機械過程。Aex

Ain

Ek一對相互作用力的功一對相互作用力的功只決定于兩質點間的相對位移，與參考系無關.12例：一個質量

m=15

g

的

，以

200

m/s

的速度射入一固定的木板內，如阻力與射入木板的深度成正比，即

f

x求：

射入木板的深度。(

5.0103

N/cm).Oxmxlv0

f解：以

m為研究對象，建立坐標系Ox，設射入深度為

l

，初始速度為

v0

.13由動能定理：A

Ek

2

Ek12k1k

2E

1

mv2

;

E

0220112

2

l

3.4610

2

m0mv215103

2002l

5.010520012l

xdx

l

0

mvxF

dx

OxllmxA

v0

f14例：一單擺自水平開始下落，求下落至與水平方向成

角時擺球的速率.

解：設單擺下落至角度

時mgT2mgT1

mv

2

A

A

ABm

g

drAB

T

drA=0A15Bl

mgTh

A

mv221mg

drB

ABAmgdrcosl

d

mg

cos

l

d0

mglsin

0

mghABv

2gl

sin

2gh16l§3.5

勢能結論：重力做功與路徑無關，只與始末位置有關A

QP(mgj

)

(dxi

dyj

)

(mgh2

mgh1

)

mgj

dr

dxi

dyjoyh1h2PQx

2hh1mgdy1.重力做功18結論：彈簧彈力（回復力）做功與路徑無關，只與始末位置有關。2x1xA

Fdx2

12

2

(

1

kx

2

1

kx2

)xoyxm2.彈簧彈力做功19x2x1kxdx

pQpGm

m

Q

A

F

dr

2

r

dr1r3

[(

Gm1m2

)

(

Gm1m2

)]r2

r1r

dr

rdrGm

m1r

22

drA

r2r1結論：萬有引力做功與路徑無關，只與始末位置有關，與具體路徑無關。3.萬有引力做功odrr12rr

yPQxNN

'M

r20oABxl12l12L l

:ABl

:B

AF

dr

F

dr

F

dr

0

L

Fcon

dr

04.保守力與非保守力保守力：如果一對力所做的功與相對路徑的形狀無關，而只決定于相互作用的兩質點的始末相對位置，這樣的一對力稱為保守力（例如重力，彈簧彈力和萬有引力等）。非保守力：如果一對力所做的功與相對路徑的形狀有關，這樣的一對力稱為非保守力。y保守力沿閉合路徑做功為零。21重力功彈簧彈力功萬有引力功2212

21122

11212kx

)r

rA12

(mgh2

mgh1

)A

[(

Gm1m2

)

(

Gm1m2

)]A

（

kx

5.勢能保守力做功特點：與路徑無關，且數值為位置函數在兩點函數值的差.勢能：與保守力做功相關的位置函數在某點的函數值.保守力與勢能關系：保守力做功等于勢能增量的負值.22AAB

(Ep,B

Ep,

A

)

EpppEEp

mghE

1

kx22

Gm1m2r勢能是位置的函數，因此與參考點的選擇有關；在一個勢場中，某一點的勢能值是相對的，而兩點之間的勢能差值是

；當規定某一位置處勢能為零時，即可給出其它點的勢能相對值，勢能被規定為零的位置稱為零勢能參考點.在以保守力相互作用的系統中，將其中一個質點從A點移到零勢能參考點時，保守力所做的功，稱為系統在

A點所具有的勢能。pp,

AE

0E

F

drAAAB

(Ep,B

Ep,

A

)

Ep23引力勢能重力勢能彈性勢能r

Gm1m2EP勢能零點的選擇：Pr

,

E

0rEPEP

mghh

0,

EP

0hxEP2EP24PE

1

kx2Px

0,

E

0由于決定保守力做功的是勢能差而不勢能的絕對值，因此參考點可以任意選擇，以研究問題方便為宜。AAB

Ep勢能只能在保守力的基礎上定義；系統勢能的變化對應于相應保守內力所做的功；勢能是相互作用能，屬于以保守力相互作用的整個系統，而不是系統中某個；以相互作用的一方為參照系，只計算相互作用力對另一方做功的值，等于以第為參照系時，相互作用力雙方共同做的功。Note25§3.6機械能守恒定律質點系的動能定理質點系的內力：保守內力:

做功與路徑無關，有相應勢能.非保守內力:

做功與路徑有關，無相應勢能.A外力＋A內力=Ek2

—Ek1A外力＋A保守內力＋A非保守內力=Ek2

—Ek1A外力—(Ep2

—Ep1)＋A非保守內力=Ek2

—Ek1A外力＋A非保守內力=(Ep2

＋Ek2)—(Ep1

＋Ek1)注意：系統的外力也有保守力、非保守力之分，但相互作用的雙方不都在所研究的系統中，因而所做的功不構成所研究系統的勢能。E

Ek

EpA外力＋A非保守內力=(Ep2＋Ek2)—(Ep1＋Ek1)機械能：系統的動能和勢能之和稱為機械能.A外力＋A非保守內力=E2

-E1功能原理：當系統從狀態

1

變化到狀態

2

時，其機械能的增量等于系統外力及非保守內力做功之和.2.

功能原理28功能原理說明只有外力及非保守內力才能改系統的機械能；功能原理與動能定理并無本質差別：功能原理：引入了勢能概念，因而無需計算保守內力所做的功；動能定理：未引入勢能概念，因而應計算包括保守內力在內的所有力所做的功.A外力＋A非保守內力=

E2

—

E1A外力

＋

A內力

=

Ek2

—

Ek1Note29機械能守恒定律：如果系統內除保守內力以外，其它外力及非保守內力都不做功，那么系統的總機械能保持不變。A外力＋A非保守內力=0，ΔE

=03.

機械能守恒定律A外力＋A非保守內力=ΔE如果A外力＋A非保守內力=0，則ΔE=0E2

E1Ek2

Ep2

Ek1

Ep130即機械能守恒的條件：A外力＋A非保守內力=0機械能守恒定律是普遍能量守恒定律的特例；（能量守恒定律：能量不能消滅，只能轉化或傳遞.）對于孤立的保守系統，機械能守恒，則動能的增加一定伴隨著等量勢能的減少，保守內力是動能與勢能轉化段與量度.Ek

EpA外力＋A非保守內力=0，則ΔE

=0Note3132守恒定律的意義自然界的一切過程都遵守守恒定律，若有

，可能孕育著未被認識的事物——守恒定律是尋找和發現新事物的理論依據；凡違背守恒定律的過程都不能實現——守恒定律是判斷一個過程能否實現的依據；守恒定律是解決實際問題的有力工具，如光與原子的作用，過程的細節相當復雜，但可利用守恒定律加以研究；近代物理證明守恒定律是自然界對稱性的結果。空間平移對稱性——動量守恒定律物理現象的發展過程與其在空間的位置無關空間轉動對稱性——角動量守恒定律物理現象的發展過程與其在空間的取向無關時間平移對稱性——能量守恒定律物理現象的發展過程與其開始時間無關—

y0例：兩質量分別為m1

和

m2

的木塊掛在輕質彈簧下保持

，彈簧的彈性系數為k

。若木塊

m2被

，求

m1

的最大速率。分析：

后，選擇彈簧、m1和地球為所研究的系統，則系統中只有保守力做功（重力，彈力），系統的機械能守恒。m—1m2O———

y1m1選擇彈簧原長處為坐標原點：m1

m2

g

k

y0當所受重力與彈力相等時，m1

具有最大的速率，此時其坐標為

y1：m1

g

k

y133m1

m2

g

k

y0—

y0m—1m2O———

y1m1m1

g

k

y1機械能守恒：2

2

20

1

0

1

m

1

1

11

ky2

m

gy

1

mv2

1

ky2

m

gym2

g

22km134vm

v2W

fA

A

1

mv2

0重力的功：N例：質量為

m，總長為l

的勻質鏈條，成直線