首都師范大學附屬昌財實驗中學ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity★情德善孝

志勤專勇★GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJIGAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI第三章函數的概念與性質3.2.1第1課時函數的單調性新課引入德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關研究.他通過研究繪制出了著名的艾賓浩斯曲線，如圖所示：思考：你能說出記憶量的變化趨勢嗎？若以時間t為自變量，以記憶量y為因變量，則圖中反映了函數值隨自變量的變化而變化。5

思考1：觀察下列函數圖象，你能發現函數有什么變化趨勢？探求新知在y軸左側是下降的；在y軸右側是上升的；問題1：如何用數學語言來描述函數圖象的“上升”和“下降”呢？探求新知5

問題1：初中如何用數學語言來描述函數圖象的“上升”和“下降”呢？x…-5-4-3-2-1012345…f(x)=x2…251694101491625…

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探求新知知識點

函數單調性的概念

單調遞增單調遞減定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D?I，?x1，x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱函數f(x)在區間D上單調遞增,

區間D為f(x)的單調遞增區間.圖示單調性是局部性質②若f(x)在區間D上單調遞增(減)，則稱f(x)在區間D具有嚴格的單調性.?x1，x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),則稱函數f(x)在區間D上單調遞減,

區間D為f(x)的單調遞減區間.注：①當函數在其定義域上單調遞增(減)時，則稱f(x)是增(減)函數.探究點一確定函數的單調區間1.已知函數f(x)(x∈[-2,6])的圖象如圖.根據圖象寫出f(x)的單調區間,單調遞增區間為

,單調遞減區間為

.

[-2,-1]和[2,6][-1,2]解析

由圖象可知f(x)在[-2,6]上的單調遞增區間為[-2,-1]和[2,6],單調遞減區間為[-1,2].對于單獨一點,由于它的函數值是唯一確定的常數,沒有增減變化,所以不存在單調性問題,因此在書寫單調區間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但在某些點無意義時,單調區間不能包括這些點.單調區間用“和”不用“∪”探究點一確定函數的單調區間2.函數y=x2-2|x|+1的單調遞增區間是(

)A.[-1,0] B.[-1,0]和[1,+∞)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]和[0,1]B作出函數圖象如圖所示,由圖象可知,函數的單調遞增區間為[-1,0]和[1,+∞).故選B.探究點一確定函數的單調區間3.

(1)下列函數中,在(0,+∞)上單調遞增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-

D.f(x)=-|x|C變式訓練1已知x∈R,函數f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結合圖象寫出函數的單調區間.由圖象可知,函數的單調遞增區間為(-∞,1]和[2,+∞);單調遞減區間為[1,2].

探究點二證明函數的單調性

1、取值2、作差3、變形4、定號5、結論探究點二證明函數的單調性

1、取值2、作差3、變形4、定號5、結論

探究點二證明函數的單調性規律方法利用定義法證明或判斷函數的單調性的步驟

特別提醒

作差變形的常用技巧(1)因式分解.當原函數是多項式函數時,作差后的變形通常進行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.如本例.(3)配方.當所得的差式是含有x1,x2的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化.探究點二證明函數的單調性增+增=增減+減=減增－減=增減－增=減注：“增－增”、“減－減”無法確定單調性例如p245.5.④

探究點二函數單調性的應用角度1.根據函數單調性比較大小【例2】

已知函數f(x)在區間(0,+∞)上單調遞減,試比較f(a2-a+1)與

的大小.變式訓練2已知g(x)的定義域是[-2,2],且在區間[-2,2]上單調遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.解

∵g(x)在區間[-2,2]上單調遞增,且g(t)>g(1-3t),

規律方法函數單調性的應用問題的解題策略(1)利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在利用函數的單調性解決比較函數值大小的問題時,要注意將對應的自變量轉化到同一個單調區間上.(2)利用函數的單調性解函數值的不等式就是利用函數在某個區間內的單調性,去掉對應關系“f”,轉化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.角度2.根據函數單調區間或單調性求參數范圍【例3】

函數f(x)=x2+(2a+1)x+1在區間[1,2]上是單調函數,則實數a的取值范圍是(

)A規律方法含參數的函數單調性問題,應明確若函數在某一區間I上單調遞增(或單調遞減),則該區間是函數的原單調遞增區間(或單調遞減區間)D的子集,即I?D.變式訓練3如果函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4]上單調遞減,那么實數a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)A圖象開口向上,∴函數在區間(-∞,1-a]上單調遞減,要使f(x)在區間(-∞,4]上單調遞減,則1-a≥4,解得a≤-3.角度3.含參數的分段函數的單調性問題【例4】

[2023湖北武漢期末]已知f(2x)=|x-a|,若函數f(x)在區間(-∞,2]上單調遞減,則a的取值范圍是(

)A.a≥1 B.a>1C.a≥2 D.a>2A所以f(x)在區間(-∞,2a]上單調遞減.因為函數f(x)在區間(-∞,2]上單調遞減,所以2a≥2,得a≥1.故選A.變式訓練4若函數f(x)=是R上的單調函數,則實數a的取值范圍為

.

規律方法判斷分段函數的單調性時不要忽視分段函數定義域的分界點的大小,由于分段函數是一個函數,因此對于分段函數在實數集R上的單調遞增(減)的問題,除了保證在定義域的每一個區間上單調性相同之外,還要考慮在分界點處的函數值的大小應滿足函數的單調性的性質,否則求出的參數的范圍會出現錯誤.成果驗收·課堂達標檢測12341.(多選題)若函數y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則下列區間是函數f(x)的單調遞減區間的為(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1]C.[-4,0] D.[1,4]AD1234解析

由圖象可得f(x)在[-4,-2]上單調遞減,在[-2,1]上單調遞增,在[1,4]上單調遞減,故選AD.

12342.[2023廣東惠陽月考]已知函數f(x)=ax+1在R上單調遞減,則函數g(x)=a(x2-4x+3)的單調遞增區間為(

)A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,-2]C解析

∵函數f(x)=ax+1在R上單調遞減,∴a<0.∴函數g(x)=a(x2-4x+3)的圖象開口向下,其對稱軸方程為x=2.∴g(x)在(-∞,2]上單調遞增,即函數g(x)=a(x2-4x+3)的單調遞增區間為(-∞,2