選修4-5不等式選講考點不等式選講(2017漸課標I,23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(10分)⑴當a=1時，求不等式f(x)>g(x)的解集；⑵若不等式f(x)Ag(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范圍.1.(1)解：當a=1時，f(x)=-x2+x+4,是開口向下，對稱軸為x=12的二次函數(shù)，(2rx>lg(x)=|x+1|+|x-1|=I,歡一1,當x6(1,+°°)時，令—x2+x+4=2x,解得x==，g(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，f(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞減，.」此時f(x)>g(x)的解集為(1, ］;當x6［—1,1］時，g(x)=2,f(x)>f(-1)=2.當x6(-°°,-1)時，g(x)單調(diào)遞減，f(x)單調(diào)遞增，且g(=f(-1)=2.Jn-］綜上所述，f(x)>g(x)的解集為［-1,―一］;(2)依題意得：-x2+ax+4A在［-1,1］恒成立，即x2-ax-2<0ft

[-1,1]恒成立，則只需k獷-口(-1)-2SO,解得-iwa'l故a的取值范圍是[-1,1].(2017漸課標H,23)已知a>0,b>0,a3+b(2017漸課標出(2017漸課標出,23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(I)(a+b)(a5+b5)>4(H)a+bW22.證明：(I)由柯西不等式得：(a+b)(a5+b5)>(西彳+亞石)2=(a3+b3)2>4當且僅當局=府，即a=b=1時取等號，(C)?「a3+b3=2,(a+b)(a2-ab+b2)=2,(a+b)[(a+b)2—3ab]=2,(a+b)3-3ab(a+b)=2,由均值不等式可得:-H8)由均值不等式可得:-H8)=abw(2)2(a+b)3-2< 4a4(a+b)&Z「.a+bwz當且僅當a=b=1時等號成立.(I)求不等式f(x)Al的解集；(H)若不等式f(x)>2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.(-3 13.(I)f(X)=|x+1|-|x-2|=( 3K>2 ,f(X)A]當—1Wxw時，2x—1AL解得1Wx02當x>2時，3Al恒成立，故x>2;綜上，不等式f(x)Al的解集為{x|xA1.}(n)原式等價于存在x6R使得f(x)-x2+xAm成立，即m<[f(x)-x2+x]max,設g(x)=f(x)-x2+x.I-X-+X-3 -1-x3+3t-1]<x<2由(1)知，g(x)=1一h2+h+sx之，，當xW-1時，g(x)=-x2+x-3,其開口向下，對稱軸方程為x=-1,??g(x)Wg(-1)=-1-1-3=-5；當-1<x<2時，g(x)=-x2+3x-1,其開口向下，對稱軸方程為x=屋(-1,2),3 9 9 5?g(x)Wg(二)=-4+2-1=4；1當xA2時，g(x)=-x2+x+3,其開口向下，對稱軸方程為x=1<2,.g(x)<g(2)=-4+2=3=1;5綜上，g(x)max=4,5「.m的取值范圍為(-s,I].4.(2017虹蘇,21D)已知a,b,c,d為實數(shù)，且a2+b2=4,c2+d2=16,證明ac+bd<84.證明：:a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosqb=2sin學c=4cosgd=4sinBac+bd=8(cosccosB+sin%)siFF8(cos(%—B)當且僅當cos(%-B)=1日寸取等號.因此ac+bd<85.(2016全國I,24)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.⑴在圖中畫出y=f(x)的圖象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.x—4,x—1,35.解(1)f(x)= 3x-2?—1<x<2'y=f(x)的圖象如圖所示.一八3—x+4,x>2，(2)當f(x)=1時,可得乂=1或乂=3;當f(x)=—1時，可得x=1或x=5,31,、一故f(x)>1的解集為{x|1<x<3};f(x)<—1的解集為x|x<a或x>5.31.一所以|f(x)|>1的解集為x|x<a或1<x<3或x>5.36.(2016全國I,24)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當a=2時，求不等式f(x)w的解集；(2)設函數(shù)g(x)=|2x—1|.當xIR時，f(x)+g(x)0求a的取值范圍..解 (1)當a=2時，f(x)=|2x—2|+2.解不等式|2x—2|+2W6得—1^<3.因此f(x)w田勺解集為{x|—14W3}.⑵當xIR時，f(x)+g(x)=|2x—a|+a+|1-2x|?f2-a+1-2x|+a=|1一a|+a，所以當xIR時，f(x)+g(x)n警價于|1—a|+an3.I當awl時，①等價于1—a+an§無解.當a>1時，①等價于a-1+a>^解得a>2.所以a的取值范圍是［2,+s).一 ，一 1 1.(2016全國 1,24)已知函數(shù) f(x)=x—2 +x+2 ,乂為不等式 f(x)<2的解集.⑴求M;(2)證明：當a,b6M時，|a+b|<|1+ab|.TOC\o"1-5"\h\zc， 1—2x，x<—2，- 1 17.(1)解f(x)=1,—2<x<2，2x,x>2., 1 1當x<-2'時油f(x)<2得—2x<2,解得x>—1,所以,-1<xV］；-1 1一，當-2<x<2時,f(x)<2;, 1 1當x馬時，由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以，-2<x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)證明由(1)知，當a,b6M時,-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,即(a+b)2<(1+ab)2,因止匕|a+b|<|1+ab|.8.(2015重慶,16)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x—a|的最小值為5,則實數(shù)a

8.4或一6[由絕對值的性質(zhì)知f(x)的最小值在x=-1或x=a時取得,3 7若f(-1)=2|—1-a|=5,a=/或a=—經(jīng)檢驗均不合適；若f(a)=5,則|x+1|=5,a=4或a=—6,經(jīng)檢驗合題意，因此a=4或a=—6.]9.(2015陜西，24)已知關于x的不等式|x+a|vb的解集為{x[2<x<4}.(1)求實數(shù)a,b的值；(2)求]at+12+而的最大值.一b-a=2,9.解(1)由|x+a|vb,得一b—a<xvb—a,則 解得a=—b—a=4,3,b=1.(2)3t+12 +叱=典/A+Vt<當且僅當=甲,y][(^)2+12][(\/4^)2+(<t)2]=244當且僅當=甲,即t=1時等號成立，故(#—3t+12+比)max=4.10.(2015新課標全國I,24)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.⑴當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.10.解(1)當a=1時，f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.當xw—1時，不等式化為x-4>0,無解；當—1<x<1時，不等式化為3x-2>0,解得2<x<1；3當xAl時，不等式化為—x+2>0,解得14<2.2所以f(x)>1的解集為x3<x<2.x—1—2a,x<—1,(2)由題設可得，f(x)=3x+1—2a,—1我<a,—x+1+2a,x>a.所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A2^1,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),3△ABC的面積為|(a+1)2.由題設得2(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值3 3范圍為(2,+8)..(2015新課標全國I,24)設a、b、c、d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明：⑴若ab>cd,則?+Vb>Vc+Vd;(2)g+Vb>必+Vd是|a—b|<|c—d|的充要條件.11證明 (1)因為(Va+Vb)2=a+b+2V0b,(5+&)2=c+d+2VCd,由題設a+b=c+d,ab>cd得(ya+yb)2>(yc+yd)2.因此qa+qb>c+d.(2)若|a—b|<|c—d|,則(a—b)2<(c—d)2,即(a+b)2—4abe(c+d)2—4cd.因為a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得,+包>加+^/d.②若5+他>加+出，則(6+也)2>(加+&)2,即a+b+2^>/ab>c+d+2cd.因為a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a—b)2=(a+b)2—4abe(c+d)2—4cd=(c—d)2.因此|a-b|<|c-d|.綜上,g+Mb>，c+，d是|a-b|<|c-d|的充要條件..(2014廣?東，9)不等式|x—1|+|x+2|A的解集為.x>1,.{x|xw―3或xn2}[原不等式等價于〈X一工十(x十2)4J、—2<x<1, 、xw—2,或 或—(x—1)+(x+2)>5—(x-1)—(x+2)>5解得xA2或x『3.故原不等式的解集為{x|xw—3或xA2}.]TOC\o"1-5"\h\z13.(2014湖南，13)若關于x的不等式|ax—2|<3的解集為x|-|<x<1,3 3貝Ua=.13.-3[依題意，知a#邸—2|<3I-3<ax-2<3I-1<ax<5,當a>051 15 . ,a-3? 、一時，不等式的解集為一a5,從而有1 5此方程組無解.—a=—3，5__55 1 a-3'當a<0時，不等式的解集為a，—a，從而有11解得a=—3.]-a=3,114.(2014重慶，16)若不等式|2x—1|+|x+2|O2+2a+2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.5 114.—1,2 [令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=1依題息得a2+]5 1a+2松1-1均行.]15.(2014新課標全國I,24)設函數(shù)f(x)=|x+；|+|x-a|(a>0).a(1)證明：f(x)A?⑵若f(3)<5,求a的取值范圍.15.(1)證明 由a>0,有f(x)=|x+1|+|x—a|^^1-(x-a)|=J+a>2.a a a

所以f(x)>2.(2)解f(3)=|3+1|+|3—a|.當a>3時，f(3)=a+1,由f(3)<5得

a a5+213<a<-2―當0<aW3時，f(3)=6—a+1,由f(3)<5得E^5<a<3.a 2綜上，a綜上，a的取值范圍是1+乘5+^212，216.(2014天?津，19)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設集合M={0,1,2,…，q—1},集合/r