《量子力學》考試知識點第一章：緒論一經(jīng)典物理學的困難考核知識點：（一） 、經(jīng)典物理學困難的實例（二） 、微觀粒子波一粒二象性考核要求：（一）、經(jīng)典物理困難的實例識記：紫外災難、能量子、光電效應、康普頓效應。領會：微觀粒子的波一粒二象性、德布羅意波。第二章：波函數(shù)和薛定諤方程考核知識點：（一） 、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（二） 、含時薛定諤方程（三） 、不含時薛定諤方程考核要求：（一） 、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋識記：波函數(shù)、波函數(shù)的自然條件、自由粒子平面波領會：微觀粒子狀態(tài)的描述、Born幾率解釋、幾率波、態(tài)疊加原理（二） 、含時薛定諤方程領會：薛定諤方程的建立、幾率流密度，粒子數(shù)守恒定理簡明應用：量子力學的初值問題（三） 、不含時薛定諤方程領會：定態(tài)、定態(tài)性質(zhì)簡明應用：定態(tài)薛定諤方程fdfgfdgdfg第二章：一維定態(tài)問題一、 考核知識點：（一） 、一維定態(tài)的一般性質(zhì)（二） 、實例二、 考核要求：領會：一維定態(tài)問題的一般性質(zhì)、束縛態(tài)、波函數(shù)的連續(xù)性條件、反射系數(shù)、透射系數(shù)、完全透射、勢壘貫穿、共振簡明應用：定態(tài)薛定諤方程的求解、無限深方勢阱、線性諧振子第四章量子力學中的力學量一、 考核知識點：（一） 、表示力學量算符的性質(zhì)（二） 、厄密算符的本征值和本征函數(shù)（二）、連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”（四） 、算符的共同本征函數(shù)（五） 、力學量的平均值隨時間的變化二、 考核要求：（一） 、表示力學量算符的性質(zhì)識記：算符、力學量算符、對易關系領會：算符的運算規(guī)則、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性質(zhì)、基本力學量算符的對易關系（二） 、厄密算符的本征值和本征函數(shù)識記：本征方程、本征值、本征函數(shù)、正交歸一完備性領會：厄密算符的本征值和本征函數(shù)性質(zhì)、坐標算符和動量算符的本征值問題、力學量可取值及測量幾率、幾率振幅。（二）、連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”領會：連續(xù)譜的歸一化、箱歸一化、本征函數(shù)的封閉性關系（四）、力學量的平均值隨時間的變化識記：好量子數(shù)、能量一時間測不準關系簡明應用：力學量平均值隨時間變化第五章態(tài)和力學量的表象一、 考核知識點：（一） 、表象變換，幺正變換（二） 、平均值，本征方程和Schrodingerequation的矩陣形式（三） 、量子態(tài)的不同描述二、 考核要求：（一） 、表象變換，幺正變換領會：幺正變換及其性質(zhì)簡明應用：表象變換（二） 、平均值，本征方程和Schrodingerequation的矩陣形式簡明應用：平均值、本征方程和Schrodingerequation的矩陣形式綜合應用：利用算符矩陣表示求本征值和本征函數(shù)（三） 、量子態(tài)的不同描述第六章：微擾理論一、 考核知識點：（一） 、定態(tài)微擾論（二） 、變分法（三） 、量子躍遷二、 考核要求：（一）、定態(tài)微擾論識記：微擾領會：微擾論的思想簡明應用：簡并態(tài)能級的一級，二級修正及零級近似波函數(shù)綜合應用：非簡并定態(tài)能級的一級，二級修正、波函數(shù)的一級修正。（二） 、變分法領會：變分原理簡明應用：用Ritz變分法求體系基態(tài)能級及近似波函數(shù)（三） 、量子躍遷識記：躍遷、躍遷幾率、自發(fā)輻射、受激輻射、費米黃金規(guī)則領會：躍遷理論與不含時微擾的關系簡明應用：簡單微擾體系躍遷幾率的計算、常微擾、周期微擾第七章自旋與全同粒子一、 考核知識點：（一） 、電子自旋（二） 、總角動量（三） 、堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)（四） 、自旋單態(tài)和三重態(tài)（五） 、全同粒子交換不變性二、 考核要求：（一）、電子自旋識記：自旋存在的實驗事實、二分量波函數(shù)領會：電子自旋的內(nèi)稟磁矩、對易關系、泡利表象、矩陣表示（泡利矩陣）、自旋態(tài)的表示簡明應用：考慮自旋后，狀態(tài)和力學量的描述、考慮自旋后，電子在中心勢場中的薛定諤方程（二）、總角動量識記：自旋一軌道耦合領會：總角動量、力學量完全集（H,12,j2,j）的共同本征值問題（三） 、堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)領會：堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)及反常塞曼效應的現(xiàn)象及形成原因（四） 、自旋單態(tài)和三重態(tài)領會：自旋單態(tài)和三重態(tài)簡明應用：在（Siz，S2z）和（S2,Sz）表象中兩自旋為12的粒子的自旋波函數(shù)（五） 、全同粒子交換不變性領會：全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性、費米子和玻色子體系的描述、泡利不相容原理簡明應用：兩全同粒子體系、全同粒子體系波函數(shù)的結(jié)構(gòu)1、 波函數(shù)與薛定諤方程理解波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，態(tài)迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律定態(tài)薛定諤方程。掌握一維無限深勢阱，線性諧振子。2、 力學量的算符表示理解算符與力學量的關系。掌握動量算符和角動量算符，厄米算符本征函數(shù)的正交性，算符的對易關系，兩力學量同時有確定值的條件測不準關系，力學量平均值隨時間的變化守恒定律。氫原子3、 態(tài)和力學量的表象理解態(tài)的表象，掌握算符的矩陣表示，量子力學公式的矩陣表述么正變換，了解狄喇克符號，線性諧振子與占有數(shù)表象。4、 定態(tài)近似方法

掌握非簡并定態(tài)微擾理論，簡并情況下的微擾理論，理解薛定鄂方程的變分原理及變分法。5、 含時微擾論掌握與時間有關的微擾理論，躍遷幾率，光的發(fā)散和吸收及選擇定則。6、 自旋與角動量理解電子自旋，掌握電子的自旋算符和自旋函數(shù)。7、 全同粒子體系理解兩個角動量的耦合，光譜的精細結(jié)構(gòu)和全同粒子的特性。掌握全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理，兩個電子的自旋函數(shù)。了解氦原子（微擾法）周世勛，《量子力學教程》，高等教育出版社，1979年第1版曾謹言，《量子力學教程》，科學出版社，2003年版參考書目：《量子力學導論》，北京大學出版社，曾謹言我認為考試前要清楚報考單位對《量子力學》這門課的基本要求以及主要考查內(nèi)容是什么，應當按照其要求出發(fā)，有目的性、針對性的進行的復習。中科院《量子力學》考試的重點是要求熟練把握波函數(shù)的物理解釋，薛定諤方程的建立、基本性質(zhì)和精確的以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實際的應用。把握量子力學中一些非凡的現(xiàn)象和問題的處理方法，包括力學量的算符表示、對易關系、不確定度關系、態(tài)和力學量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處理方法等，并具有綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。再者，中科院對量子力學這門課考查主要包括以下9大內(nèi)容：①波函數(shù)和薛定諤方程②一維勢場中的粒子③力學量用算符表示④中心力場⑤量子力學的⑥自旋⑦定態(tài)問題的近似方法⑧量子躍遷⑨多體問題，復習過程中應當主要對這些內(nèi)容下功夫。第一階段：首先按照中科院碩士研究生入學考試《量子力學》考試大綱中的要求將參考書目看了一遍。中科院《量子力學考試大綱》中指定的參考書目是《量子力學教程》，

這本書是由曾謹言編著的。此階段看書以理解為主，不必糾纏于細節(jié)，將不懂的知識點做上記號。第二階段：我對大綱中要求了解的內(nèi)容，熟練把握的內(nèi)容以及理解的內(nèi)容進行了分類，并且按相關要求對將這門課進行了第二輪復習。另外我認為在這一遍復習中一定要把歷年試題弄到手并且仔細分析，因為真題體現(xiàn)了命題單位的出題特點以及出題趨勢等。另外，我認為真題要比大綱更有用，因為從大綱中看不出的有價值的東西可以從真題中得到。當然，需要注重的是，單純把握真題也是不理智的做法，假如一個考生僅僅把握了歷年真題的內(nèi)容，那么考試后他會得出這樣一個結(jié)論：今年的題真偏。其實，不是題偏，而是他沒有把參考書上的東西完全把握好。所以在這個階段中我仍然以看指定的參考書為主，著重解決了在第一遍復習中留下的疑問和在做真題中自己不會的題目。對了，此輪復習一定要做一份筆記，將主要內(nèi)容歸納出一份比較簡潔的提綱，以便于下輪復習。第三階段：將專業(yè)課過第三遍，這一輪注重結(jié)合上一輪的筆記和提綱有重點的，系統(tǒng)的理解和記憶，由于專業(yè)課要求答的深入，所以可以找一些專業(yè)方面的期刊雜志來看下，擴大下自己的視野范圍。這一階段大家也可以找些習題集來做下，不斷鞏固自己把握了的知識點。第四階段：這一輪要將參考書快速翻幾遍，以便對整個知識體系有全面的把握并且牢記于心，同時要進行查缺補漏，不要放過一個疑點，要注重的是此時不能執(zhí)著于細小的知識點，要懂得抓大放小，把握最重要的知識點。另外可以根據(jù)對歷年試題的分析以及對本年度的專業(yè)考試做出一些猜測，并對考試的時間安排及如何進行考中心理調(diào)節(jié)做下演練。（中科大2003）一、試證明：（1） 投影算符P=1n>vnI是厄密算符；它在任意態(tài)IW>中的平均值是正定的，即<WIPIW?0。（2） 設IV>是歸一化波函數(shù)，對于線性厄密算符A以下等式成立

d<A> 8A,[方 一<[A,H]>+ih<—>。dt dt證明：(1)因為P+=(In><nI)+=In><n\=P所以P是厄密算符或<vIPI甲>=<WIn><nI甲>=<甲In>*<nIV>*=<甲IPIW>*<VIPIV>=<VIn><nIV>=I<nIV>I2>0(2)因為<A>=<V,Av>則半一號,AV'.：+：：V,A亨如,學V"；dt Qt .?. 6t：.dt:再由S-eq得ih——=(IA,H]：+沂竺：TOC\o"1-5"\h\zdt dt:或因為A=iv*Avdx 所以生=jdV_Avdx+jv*AdVdx+jv*^AVdxdt dt dt dt-—Jv*HAVdx+—Jv*AHVdx+Jv*竺Vdx

ih ih dt=—jv*(AH-HAvdx+jv*^AVdxih dtih—A=.：■[A,H]：+ih竺dt \dt二、對于一維諧振子，求消滅算符a的本征態(tài)Ia＞，將其表示成各能量本征態(tài)In＞的線性疊加。已知aIn.＞=vnIn-1＞。解：設Ia>=產(chǎn)CIn>n=0由于aIa>=aIa> 且利用aIn.>=、?nIn-1>aIa>=&aIn>=￡5In-1>=衛(wèi)n=0 n=0CIn>n=0以<nf-11左乘上式并利用<nfIn>=5得n'nCn七Cn-1依次遞推得 Cn=W.C0由歸一化條件<aIa>=￡|C|2=|C0|2￡匚=1n n因為￡」?=ea2C=e-2'".eh 8為實數(shù)，可取為8=0n所以Ia>=e-扣2*筆In>n=0前三、給定(0&)方向的單位矢量n=(sin0cos中,sin0sin中,cos0)，在c表象中求c=S?n的本征值和歸一化本征矢。n解：因為c=csin0cos甲+csin0sin甲+ccos0y所以cos0[sin0e叩sin0e-海'

一cos0/cn的本征值為±1由本征方程對于人=+1sin0e-海

一cos0Iaj=xbl"J求得I0jcos—2

sin0e.l2JI0“jcos—e-叩/2

2sin0e抑/2l2JI0jsin—2-cos0e叩l2JI.0j

sin—e或/2

2

0一cos—e海/2l2J四、設一定域電子（作為近似模型，不考慮軌道運動），處于沿X方向的均勻磁場B中，哈密頓量為磁場B中，哈密頓量為H=2B。=方％。eB拉莫爾（Larmor）頻率設t=0時，電子自旋“向上”（S=方/2）。z求t>0時（1）電子自旋態(tài)x（t）；（2）電子自旋S的平均值。解：（1）方法一令 x(令 x(t)=初始條件x(0)由薛定諤方程.+d，a)ih—得 a得 a=-iwb b=-iwaa+b=-iw(a+b)La-ba-b=iw(a-b)L積分得a(t)+b(t)=[a(0)+b(0)]e&Lt=e&Lta(t)-b(t)=[a(0)-b(0)]eiwt=eiwL由此可得a(由此可得a(t)=coswtb(t)=-isinwtrx(t)rx(t)=.ni-1sinwt]、 L7方法二體系能量本征態(tài)即a的本征態(tài)，本征值和本征態(tài)分別為X

電子自旋初態(tài)=+1=一1E=E+X(0)=T時刻電子自旋態(tài)為=力①L=—力①電子自旋初態(tài)=+1=一1E=E+X(0)=T時刻電子自旋態(tài)為=力①L=—力①L土「1]1~=(^+甲)■v2 + -1X(t) 天(e-釧甲+。％甲v2 +r)=cos①t'L[一isin①t（2）電子自旋各分量的平均值方(S=X+(t)SX(t)=^vcos?t方(S=X+(t)SX(t)=2Vcos?tcos①t'L八一isin①t-?sin2wt方(S=X+(t)SX(t)=-(cz z2os①tL0丫cos樨-1人-isin①t方=—cos2?t2五、已知系統(tǒng)的哈密頓量為280802808028+人H=求能量至二級近似，波函數(shù)至一級近似。解：（1）r2808]r000J0280H'=000、8028,、00力，的本征方程求其本0H0為將H0對角化，先由H可見所設表象為非H0表象，征值和本征矢。求得結(jié)果為：本征值E（0）E(0)=2s2相應本征矢11>=0,—1,12>=|01E(0)=3s3[110〔1113>=上<2②利用s=W100巨—10轉(zhuǎn)到h0表象（將H0對角化）h0=S+HS=[:、00280-202=hnnE(2)n=Zih|2 nm E(0)—E(0)nmV(1)V(1)=￡ nm n E(0)—E(0)m豐n nmE⑴=X/21E⑴2=0E⑴3=X/2人2=0X2E(2)=——E⑵E⑵= 1 882388X=0XV⑴=——V(0)V(1)V(1)=— 1 48 32348V(0)V(0)m量子力學測試題（2）1、一質(zhì)量為m的粒子沿x正方向以能量E向x=0處勢壘運動。當x<0時，3勢能為零；當x>0時，勢能為匕=4E。問在x=0處粒子被反射的幾率多大?解：S-eq為"，+k2平=0W"+k2^=0其中k2=2mE/方2ik2=2m(E-匕)/加=k：/4由題意知x<0區(qū)域既有入射波，又有反射波；x>0區(qū)域僅有透射波故方程的解為W=eik1x+re—kx x<0故方程的解為x>0W=teik2x>0在x=0在x=0處，W及「都連續(xù)，得到 1+r=tkk1(1-r)=才由此解得R=H2=9注意透射率T豐|t|2 因為k2手kire-ikixre-ikix ，teik2x分別代入幾率流密度公式? ihj=-2ma一一W-W—Wax ax*、7得 入射粒子流密度 j=竺0m反射粒子流密度 jR=-§H2透射粒子流密度 jT=與|t|2由此得反射率R=八=|r|2=1j0 9透射率 T=L=kIt|2=§R+T=1j0 k1 92、計算（1）[L,r2]=?

(2)設F(x,p)是x,p的整函數(shù)，則[p,F]=?解：(1)[L,r2]=[L,xx]=x[L,x]+[L,x]x=i加 xx+i加xx=0a aPPPaPa。。aPyPyaPyyP因為將第二項啞標作更換PIy腿xx=腿xx=一腿 xxaPyyP ayPPy aPyPy所以[L,r2]=0為(2)先由歸納法證明 [p,xn]=-ihnxn-1=-i方一xn (?)式dxn=1上式顯然成立；設n=k時上式成立，即 [p,xk]=-ihkxk-i則。[p,xk+1]=[p,xk]x+xk[p,x]=-ihkxk-ihxk=-i方(k+1)xk顯然，n=k+1時上式也成立，(?)式得證。因為 F(x,p)=ZCxmpnmnm,n=0則[p,F]=￡Cm,nmn[p,xmpn]=ZC[p,xm]pn=-，方￡Cmxm-[p,F]=￡Cm,nmnm,n m,n3、試在氫原子的能量本征態(tài)W板下，計算r-1和r-2的平均值。解：處于束縛態(tài)W 下的氫原子的能量nlmE= re4=e21n 2h2n2 2an2(1)計算vr-1>方法1相應的維里定理為vT>^=-2vV>板E=1vV>n2 nlm所以vr-1>=-生=—e2 an2方法2選z為參量相應的F-H定理dEdH nde2=< >de2 nlm方2e2H=———V2——2p r1 1——=—<—>rnlman21<r—1>= an2（2）計算<r-2>等效的一維哈密頓量甘_…_e l(l+1)加H=——+2pdr2 r 2pr2取l為參量相應的F-H定理dE dH n=< ?>dl dl nlm注意e2 (2l+1)加2pan3<r-2>= (l+1/2)a2n34、有一個二能級體系，哈密頓量為H=H0+H，H0和微擾算符H'的矩陣表示為(E0)(01、1H'=人"°EJL10/。用微擾法求H的本征值和本征態(tài)。H0其中人表征微擾強度，E1<E2解：由于是對角化的，可見選用表象為H表象0對于E1<氣，由非簡并微擾論計算公式E=E(0)+H'+EV=W(。)+Zm'IH'|2 nm +，，，E(0)—E(0)H'nm mn V(0)+，，，E(O)—E(0)mEw-E(0)E1-E2H'

21

E(0)-E0V（0）2H，—12-2E0-E(0)E2-E]H'E（0）-E（0）V件21所以，二級近似能量和一級近似態(tài)矢為X2EX2E+1)X(0)X2(0)X(1)+ ；E+ ，+ 0J氣-E211J2 E2-R11J氣-E201J ，E1-E2對于E1=E2，由簡并微擾論計算得一級近似能量和零級近似態(tài)矢為E]+X1(E]+X1(1)弟11JE-Xi土1-1J5、自旋投影算符為泡利矩陣，n為單位矢量(sin0cos中,sin0sin中,cos0)。（1）對電子自旋向上態(tài)X（s=方/2），求S的可能值及相應幾率;+z（2）對b計的本征值為1的本征態(tài),求（2）對b計的本征值為1的本征態(tài),求b＞的可能值及相應幾率。解：（1）由Sn方(cos0sin0e-海'方(cos021sin0e海21sin0e海0)cos—20)cos—2.0sin—eq12JX(s)=1—2?0)sin—20-cos—e叩1 2J對于電子自旋向上態(tài)X+（七=力/2）=a=有…s取值土2的幾率分別為(2)X「s對于電子自旋向上態(tài)X+（七=力/2）=a=有…s取值土2的幾率分別為(2)X「s))2X+(。+X+a

i2X+以

1—2fcos9"2.9丫1)

sin—eq

29=C0S2—29 Y1)-cos—eq

22 ?0=sin2—2a的本征值和本征態(tài)1f1\X=-1，X(a)=k|.-y眼1—iy的本征值為1的本征態(tài)（即S的本征值為2的本征態(tài)則ay的可能值及相應幾率為)X(a)y1n

2f_92.9sin—ei^"2y=2(1+sin9sin中)=2(1一=2(1一sin9sin中)X+X+(a)X(a)—y1n291 2ysin—1 2y6、設質(zhì)量為m的兩個全同粒子作一維運動，它們之間的相互作用能為2a（x-x）2（a>0）。（1） 若粒子自旋為0，寫出它們的相對運動態(tài)的能量和波函數(shù)；（2） 若粒子自旋s=1/2，寫出它們的相對運動基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)。

解：體系的哈密頓量為TT 力2合2 力2合21TOC\o"1-5"\h\zH―希亦—希靛*2件—％）2

1 2引入質(zhì)心坐標X和相對坐標x:X=!（x+x） x=x-x2 12 1 2在坐標變換氣,x2nX,x下，體系的哈密頓量變?yōu)镸=2m p=m/2方2M=2m p=m/2H=— — +—ax22M8X22r8x22相對運動哈密頓量為方2d2 1方2d2 1 :aH=— +—ax2=— +—p①2x2 co=I——r2pdx22 2pdx22 p（1）若粒子自旋為0，則相對運動態(tài)的能量和波函數(shù)為V(V(x)=Ne~2a2x2H(ax)-p①a=■—\方n=0,2,4,…限定n=0,2,4,...是為了保證波函數(shù)對交換x1和x2是對稱的。（2）若粒子自旋s=1/2，則相對運動態(tài)的能量和波函數(shù)為r1\ …E=n+2方o n=0,1,2,…(x,S)=Ne~2a2x2H(ax)I00> n=0,2,4,…± [111>(x,S)=Ne-2a2x2H(ax){I10> n=1,3,5,.'nnI1—1>其中I11>=a(1)I11>=a(1)a(2)I10>=[a⑴P⑵+a⑵P(1)]11-1>=P(1)P(2) 100>=-L[以(1)p(2)-以(2)p(1)]2體系基態(tài)能量和波函數(shù)E=2方3 V3,S)=Ne~*2*2I00>體系第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù)[ |I11>E=-柵 V(x,S)=Ne-2瞠x2H(ox)J110>2 ’I'|1-1>量子力學測試題(4)(復旦2002)1、已知一維運動的粒子在態(tài)V(*)中坐標*和動量p的平均值分別為x和p，x 0 0求在態(tài)9(x)=e-P0叩(x+x0)中坐標x和動量p的平均值。解：已知粒子在態(tài)V(x)中坐標x和動量px的平均值分別為-爪x=JV*(x)xV(x)dx=x0-s一+sz/.工8),、，p=Jv*(x)-[方^-V(x)dx=p-s現(xiàn)粒子處在9(x)態(tài)，坐標x和動量px的平均值—+S +Sx=J9*(x)x9(x)dx=JV*(x+x)xV(x+x)dx-s -s+s=Jv*(x')(x'-x)V(x')dx'=x一x=0-s

,單p=J中,單p=J中*(x)x-s+們epx/叩dx)中(x)dx=Jeip0x/叩*(x+x)一ih—[e-ip0x/叩(x+x)]dxk辦)/、r / 、 f』8),(x+x)[-pe-ip0x/叩(x+x)+e-ip"力一ih一審(x+x)]dxk 8x)00TOC\o"1-5"\h\z.f一8) ...=-p+Jw*

0-s(x)一ih=-p+Jw*

0-sk 8x')2、一體系服從薛定諤方程一生(v2+v2)+1k\r一r|2w(r,r)=ew(r,r)

2mi2 2 1 i2 i27指出體系的所有守恒量(不必證明)；求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。解：(1)體系的哈密頓量為H=-生V2一墮v2+1k|r一r|22m1 2m221 2引入質(zhì)心坐標r和相對坐標r: r=!(r+r)r=r一r2 1 2 1 2在坐標變換匕,七nR,r下，體系的哈密頓量變?yōu)閔h2 h2 1,-2MV2--V2+2kr2M=2mh=m/2容易得知系統(tǒng)的守恒量為E容易得知系統(tǒng)的守恒量為E,L2,L。(中心力場)(2)相對運動哈密頓量為h2 1 h2 1H=-—V2+—kr2=-—V2+—H①2r2相對運動為三維各向同性諧振子，基態(tài)能量和波函數(shù)為必=■-HE=3E=3hoN2<、 ，a3W(r)=「——e兀3/2N=0,1,2,…'.①r/ '_!一'；~T3、設t=0時氫原子處在態(tài)W(九W(九0)='[叩v10 100+w +J叩+Jw]（1）求體系能量的平均值；（2）任意t時刻波函數(shù)W（r,t）；（3）任意t時刻體系處在l=1,m=1態(tài)的幾率；（4）任意t時刻體系處在m=0態(tài)的幾率。解：氫原子定態(tài)能量和波函數(shù)為e2En=-^n Wm（r,0,中）=七（r）Ym（9,中）（1）11e2（1）40a（2）任意t時刻波函數(shù)W(r,W(r,t)=^{2eteq叩vi0100(r)+e-iEt/方[w210(r)+"卻211(r)+J3w211(r)]}（3） 任意t時刻體系處在l=1,m=1態(tài)的幾率為1/5；（4） 任意t時刻體系處在m=0態(tài)的幾率為1/2。4、一維諧振子受到微擾Hf=cx2作用，式中c為常數(shù)。在粒子數(shù)表象中，（方、1/2x= （a+a+）k2mwJa,a+分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿足aIn〉=tnIn—1> a+In>=（n+1In+1>（1） 用微擾論求準確到二級近似的能量值；（2） 求能量的準確值，并與微擾論給出的結(jié)果相比較。

解：(1)由[a,a+]=1得H'=cx2= (a+a+)2= [a2+(a+)2+1+2a+a]TOC\o"1-5"\h\z2呻 2呻利用aIn>=<nIn-1> a+In>=、京In+1>計算微擾矩陣元得H=<mIH'In>=^ <mI[a2+(a+)2+1+2a+a]In>ch C C . C=2 {^.'n(n-1)5 +(2n+1)5 +J(n+1)(n+2)8 }零級近似能量、一級和二級修正能量分別為E(0)=n(1E(0)=nI2；岬H，

mn

"n-EH，

mn

"n-Em[n(n-1)-(n+1)(n+2)]=-n+-精確到二級近似的能量值為r1)rcc2E=n+h①1+— n12)k旦①22旦2①4)c2h8日2①3（2）現(xiàn)求能量精確值P21—+T2日22c\1/20H=E+1岬2x2+cx2=0r=必1r=必1+2c2c人= r1\r1\r 2c)1/2r1)E=n+-h①=n+—h①1+——=n+—nk2)0k2)k呻2）k2)h①G+&2n=0,1,2,…視人為微小量，則(1)(kk2 、E=n+-h①1+--一+…nk2Jk28J=E(0)+E⑴+E⑵+…n n n(1)chn+ 2J呻n能量精確解的前三項與分別與零級近似能量、一級和二級修正能量相同。5、設a,a+分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿足對易關系[a,a+]=1。體系的哈密頓量為H=Aaa+Ba+a++Ca+a+D（1）問A,B,C,D滿足什么條件H才是厄密算符？（2）求體系的能量。解：（1）容易得知H是厄密算符的條件是A,B,C,D均為實數(shù)，且A=B，則TOC\o"1-5"\h\zH=A[a2+(a+)2]+Ca+a+D (1)(2)由(1)式得C 1—a+a+a2+(a+)2=(H-D) (2)A A令b=扁+ya+ b+=M+ya 其中人,丫為待定實數(shù)[b,b+]=[人a+ya+,人a++ya]=人2[a,a+]+y2[a+,a]已知 [a,a+]=1 則得 [b,b+]=為使b,b+與a,a+滿足相同的對易關系 [b,b+]=1 則人2-y2=1計算b+b=(ha++ya)(ka+ya+)=人2a+a+人y[a2+(a+)2]+y2aa+

aa+=1+a+ab+b=(X2+y2)a+a+Xy[a2+(a+)2]+y2X2+y2 1〃7 、所以(3) a+a+a2+(a+)2=——(b+b—y所以(3)Xy Xy比較(2)式和（比較(2)式和（3）式，如令X2+y2 C則得A(H—D)=Xy(b+b—y2)由此可得AH由此可得AH=l(b+b—y2)+DXy(4)如果已知人,如果已知人,丫，則H的本征值為AE=—(n—y2)+DnXyn=0,1,2,…現(xiàn)在來求X現(xiàn)在來求X,邛油于人2—y2=1解之得:C:C+t’C2-4A2X=,=C—Jc2—4A2(C2-4A2AXy=,VC2—4A2所以<C2所以<C2—4A2n— 1" 2JC2—4A2Jn=0,1,2,…武漢大學2002年度研究生入學考試量子力學試題選解

一. 名詞解釋（4分x5題）1.德布羅意假設：微觀粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E和動量P與波的頻率v和波長*之間的關系，正像光子和光波的關系一樣，為：（&=hv=力①|(zhì)p=h/*=hk2.波函數(shù)：描述微觀體系的狀態(tài)的一個函數(shù)稱之為波函數(shù)，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。Q [X,X]=0 [p,p]=0[x,p]=ihS3.基本量子條件： ap ap aP?P4.電子自旋：電子的內(nèi)稟特性之一：①在非相對論量子力學中。電子自旋是作為假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：每個電子具有自旋角動量S，它在空間任何方向上的投影只能取+h兩個數(shù)值：z2；每個電子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角動量的關系式：=-京-M疽+竺*SZ 2*。②在相對論量子力學中，自旋象粒子的其他性質(zhì)一樣包含在波動方程中不需另作假定。程中不需另作假定。5.全同性原理：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)。計算題（20分x4題）I-U,x<0U⑴={ °’I0,x>0 …,1.粒子以能量E由左向右對階梯勢 I 入射，求透射系數(shù)。討論如下三種情況:（1）—U0<E<0；（2）E>0；（3）E>0,但由右向左入射。解：⑴—U0<E<0寫出分區(qū)薛定諤方程為:

力2d2W c—2-~dT~^—U0*1=Ew1，x<0加d2W—2—-d~^=E*2,x>07 ；2—(E+U) [ ，■—2—E*廠飛1“I：亍令： ， 可將上述方程簡化為:dd*1"1叩i=0,x<0d2*—k2*=0,x>0Idx2 22一般解可寫為：=Aeik1x+Ae-.x,x<02=Bek2x+Be—k2x,x>0由*2(8)有限，得B=0由波函數(shù)連接條件，有：*(0)=*(0)nA+A'=BB*'(0)=*'(0)nik(A—A)=—kBTOC\o"1-5"\h\z2 A=ik^+k2A 2ik—kd， ~i2k24B= A解得：ik—k1 2解得：據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)—?力k —?力k —?i力J=—11A|2 e,J =—―11 A'|2 e,J =——(*V** —**V* )=0— xR— xD2— 2 2 2 2―??IJI IA'I ik+k、 1R=—A= =(—1 )2=1IJIIAIik—k12―?D=JI=0IJI滿足R+D=1可見，總能量小于勢壘高度的粒子必全部被反射，但在x<0的區(qū)域找到電子的幾

率不為零。類似于光的“全內(nèi)反射”。⑵E>0寫出分區(qū)薛定諤方程為：力2d2W ―c—2-"dl —U0*1=E*1，x<0加d2*— =E*,x>02-dx2 27 ；2-(E+U)]乖匕―k2=\：訂令：' ， 1 可將上述方程簡化為:d2* 八八d^ 12*1 ，X<01d2*二U+k2*=0,X>0Idx2 22一般解可寫為：=Aeik1x+Ae-gx,x<0=Beik2x+Be-派2x,x>0考慮到?jīng)]有從右向左的入射波，B‘=0由波函數(shù)連接條件，有：*(0)=*(0)nA+A'=B*2(0)=*2(0)nk1(A—A)=k2BA=k1—k2Ak+kD 2k2B= 1—A解得:k+k12解得:據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)-方k一一方k,--方k-J=T|A|2e,J=—TIA|2e,J=—IB|2e- xR- xD- xR=JU=也=(二)2=(M^)2一U一|J| |A|七+k2pE+U0+^E質(zhì)E+U0+.、：E)4

—? ?—D_IJDI_k2IBl_曳(2k1工_4JE(E+U0)IJIkIAIk*k+k(:E+U+JE)2

1 1 1 2 '% o滿足R+D=1可見，盡管E>0,但仍有粒子被反射。⑶E>0,粒子從右向左入射仿⑵，有W_Aeik1x+Ae-kx,x<0W_Beik2x+Be-派2x,x>0但8‘為入射波系數(shù)，B為反射波系數(shù)，A’為透射波系數(shù)，A=0.由波函數(shù)的標準條件，有W(0)=W(0)nA'=B+B'W2(0)_W2(0)n-k1A_k2(B-Bf)解得:A，=—B'k+kB_k1-k2B'k+k據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)TOC\o"1-5"\h\z- 方k ,一一 方k -- 方k ,J_-—IBrI2一，J=—IBI2一，J=—IA'I2e日 xR日 xD日 xr_Ji_也_(二)2_(MW)2_-氣一IJI IB'I k1+k2 、；E+U0+.E (/E+U0+wE)4—*■ ■D_IJDI_k1IA，I_￡(2k2)2_%E(E+U0)IJIk2IB'Ik2W+k： (、；E+U+、IE)2滿足R+D=1W(xW(x,0)_0(x)+W°2(x)+"4(x)2.一維諧振子在t=0時處于歸一化波函數(shù)

所描述的態(tài)中，式中^0（X），^2（^）,"卜”均為一維諧振子的歸一化定態(tài)波函數(shù)，求:（所描述的態(tài)中，式中^0（X），^2（^）,"卜”均為一維諧振子的歸一化定態(tài)波函數(shù)，求:（1） 待定系數(shù)C；（2） t=0時，體系能量的可能取值及相應的幾率;（3） t>0時，體系的狀態(tài)波函數(shù)貴（x,,）。（4） t=0與t>0時體系的工（0）,x（t）。解：用Dirac算符IV(x,0)>=?10>+「！12>+C14>2 5C='—⑴由<w（x，0）|V（x，0）>=1，可求得 E1+ 5壬9+ 力①力3 力①⑵能量可能取值 2 ，2 ，2相應的幾率 1/2， 1/5， 3/10因為n=0,2,4都為偶數(shù)，，、,|v(x,t)>=、,虧10>e~12叫故宇稱為偶:T = 項，，F(xiàn)+I2>e-:3t+，一|4>e~1羿^\，5 2 \'10 2利用x=( —)12(a+a+)2呻，有x(0)=<V(x,0)|x|V(x,0)=顯必（<。：v2方，一一.一一>=( )12<V(x,0)|(a+a+)|V(x,0)>2呻■I■T 4 ，3 T 1 ，30| +<2|、：_+<4|."一)(a+a+)( |0>+ |2>+、：一|4>\'2 V5 10 2 \5 V10=0x(t)=<v(x,t)|x|v(x,t)>=(—)12<v(x,t)|(