《高等數學（二）》期末復習題一、選擇題1、若向量b與向量a=（2,-1,2）平行，且滿足a-b=-18,則b=（）(A)(-4,2,-4)⑻(2,-4,-4)(C)(4,-2,4)(D)(-4,-4,2).2、在空間直角坐標系中，方程組J"2+尸一z=0代表的圖形為z=1V.()（A）直線（B）拋物線（C）圓（D）圓柱面3、設I=fj（兀2+y2）dxdy，其中區域D由兀2+y2=a2所圍成，則I=D（）(A)J(A)J2兀d0jaa2rdr=ma400(B)j2冗defaa2adr=2冗a400(c)f(c)f2兀defar2dr=—兀a3003(D)f2兀de\ar2rdr=-兀a40024、設L為：=4、設L為：=1，0<y<3的弧段，則警=（A)9(B)6C)3(D)—TOC\o"1-5"\h\z5、級數才(_1)丄的斂散性為()nn=1(A)發散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)6、斂散性不確定6、一重積分定義式JJf(x,y)db=lim為f(g，耳)Ag中的九代表的是(D—i=1—1(A)小區間的長度(B)小區域的面積(C)小區域的半徑(D)以上結果都不對7、設f(x,y)為連續函數，則二次積分『dxJ1-xf(x,y)dy等于()00(A)J1dyJ1-xf(x,y)dx(B)J1dyJ1-yf(x,y)dx0000(C)J1-xdyJ1f(x,y)dx(D)J1dyJ1f(x,y)dx00008、方程2z=x2+y2表示的二次曲面是()(A)拋物面(B)柱面(C)圓錐面(D)橢球面9、二元函數z=f(x,y)在點(x,y)可微是其在該點偏導數存在的().(A)必要條件(B)充分條件(C)充要條件(D)無關條件

10、設平面曲線L為下半圓周y=71二五，則曲線積分TOC\o"1-5"\h\zJ(x2+y2)ds=()L(A)0(B)2兀(0兀(D)4兀11、若級數刀收斂，則下列結論錯誤的是()nn=1(A)刀2a收斂⑻刀(a+2)收斂(0￡a收斂(D)n=1n=1nnn=1n=1刀3a收斂刀3a收斂nn=112、一重積分口；「|.八..-.：的值與()12、一重積分口；「|.八..-.：的值與(A)函數f及變量x,y有關;關;(B)(A)函數f及變量x,y有關;關;(C)函數f及區域D有關;(D)(C)函數f及區域D有關;TOC\o"1-5"\h\z13、已知a//f且CL=(1,2,-1),H=(x,4,-2),則X=()(A)-2(B)2(C)-3(D)314、在空間直角坐標系中，方程組p2=x2+y2代表的圖形為()Iy=111((A)拋物線(B)雙曲線(C)圓(D)直線15、(A)拋物線(B)雙曲線(C)圓(D)直線15、設z=arctan(x+y)，則竺=

dy(A)sec2(x+y)1+(x+y)2(B)1+(x+y)2c)z!__1+(x+y)2(D)—V'1-(x+y)216、二重積分f1dyf1f(x,y)dx16、0y2(A)fi(A)fidxfxf(x,y)dy00(B)fy2dxf1f(x,y)dy00(C)(C)J1dxf1f(x,y)dy00(D)f1dxfx2f(x,y)dy0017、若已知級數￡u收斂,nn17、若已知級數￡u收斂,nn=1S是它的前n項之和，則此級數的和是nA)S(B)(C)limSnns(D)limunns18、設18、設l為圓周：x2+y2=16,則曲線積分i=b2xyds的值為(L(A)_i(B)(A)_i(B)2C)1(D)019、設直線方程為蘭=丄=￡，則該直線必(012(B)過原點且丄y(A)過原點且(B)過原點且丄ynn=1(D)過原點且//x(C)過原點且(D)過原點且//x軸20、平面2x+y+Z-6二0與直線二2二□二□的交點坐標為()112(A)(1，1，2)(B)(2，3，4)(C)(1，2，2)(D)(2，1，1)21、考慮二元函數的下面4條性質：①f(x,y)在點(x,y)處連續；②f(x,y)在點(x,y)處的兩個偏導0000數連續；③f(x,y)在點(x,y)處可微；④f(x,y)在點(x,y)處的兩個偏導0000數存在.若用“PnQ”表示可由性質p推出性質Q，則有()(A)②n③n①(B)③n②n①(C)③n④n①(D)③n①n④22、下列級數中絕對收斂的級數是()(A)(B)刀tan丄n=(A)(B)刀tan丄n=1n2n=1(C)慶D”磊n=1(D)刀ln(1+丄)n23、設z=xsiny，則竺九=((A)-亞2(B)三2C)<2(D)—邁24、設a為常數，則級數￡(-1)n123、設z=xsiny，則竺九=((A)-亞2(B)三2C)<2(D)—邁24、設a為常數，則級數￡(-1)n1-COS—n=1(A)發散(B)條件收斂(C)絕對收斂)(D)收斂性與a的取值有關25、設常數k〉0，則級數￡(-1)n=1k+nn2(A)發散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)斂散性與k的取值有關26、J1dxf1ey2dy=0x(a)eil2(C)(D)二、填空題1、limZ=xto、：1+xy—1yT02、二元函數z=血(2x+3y)，則害=

3、4、5、6、7、8、9、101112131415、積分I=JJex2+y2de的值為x2+y2<4若a,H為互相垂直的單位向量，則a-T)=交換積分次序J1dxJx2f(x,y)dy=00級數藝(丄+丄)的和是2n3nn=1lim2一?4+可=xa0xyya0二元函數z=sin(2x+3y)，則芻=設f(x,y)連續，交換積分次序J1dxLf(x,y)dy=0x2設曲線L：x2+y2=a2，貝Ub(2sinx+3ycosx)ds=L若級數另(u+1)收斂，則limu=’nnann=1若f(x+y,x一y)=x2一y2則f(x,y)=lim1-、吋=xa0xyya0已知a丄a且a=(1,1,3),a=(0,x,-1),則Hx=設z=設z=ln(x3+y3),貝?dz(1,1)16、171819202122232425262728、設f(X,y)連續，交換積分次序Jidyfyf(x,y)dx=0y2級數送u=S，則級數刀(u+u)的和是nn=1nn+1n=1設l為圓周：x2+y2=R2，則曲線積分I=bxsinyds的值為L1-COS（X2+y2）lim=（x,y）t（o,o）（x2+y2）ex2y2已知a=i+j,b=—k,貝Uaxb=lim沁=XT0Xy^a已知向量a、b滿足a+b=0,a=2，則Ua-b=設l為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，則f(x+y)ds=LlimX2+y2（X,y）t（0,0）Jx2+y2+1—1a=3,b=4,a與b的夾角是?，則axb=2已知三角形的頂點A（i,i,-i）,b（2,1,0）,C（0,0,2）,則AABC的面積等于點M（2,3,1）到點M（2,7,4）的距離|MM|=1212若a=3T—T—2k,b=T+2T—k則T?T=

29、lim卩+1一1=xt0xyy—030、函數f(x,y)=x2(y_3)+(x-1)exy,求f(1,3)=x三、解答題1、(本題滿分12分)求曲面z_ez+2xy=3在點(1,2,0)處的切平面方程。2、(本題滿分12分)計算二重積分口e'dxdy，其中D由y軸及開口D向右的拋物線y2=x和直線y=1圍成的平面區域。3、(本題滿分12分)求函數u=ln(2x+3y+4z2)的全微分du。x2y4、(本題滿分12分)證明：函數f(x,y)=ix4+y29(x,y)豐(0,0)在點(0,、0,(x,y)=(0,0)0)的兩個偏導數存在，但函數f(x,y)在點(0,0)處不連續。5、(本題滿分10分)用比較法判別級數￡(n)n的斂散性。2n+1n=16、(本題滿分12分)求球面x2+y2+z2=14在點(1,2,3)處的法線方程。7、(本題滿分12分)計算I=fj(x2+y2)dxdy，其中D=｛（x,j）1<x2+y2<4｝。8、（本題滿分12分）力F=｛x,-y,x｝的作用下，質點從（0,0,0）點沿x=tL=?y=2t移至Z=12（1,2,1）點，求力F所做的功W。9、（本題滿分12分）計算函數u=xsin（yz）的全微分。10、（本題滿分10分）求級數￡1的和。n（n+1）n=111、（本題滿分12分）求球面x2+y2+z2=14在點（1,2,3）處的切平面方程。12、（本題滿分12分）設z=ln（x2+xy+y2）,求x?竺+y?竺。dxdy13、（本題滿分12分）求”（1-x2-y2）dxdy，其中d是由y=x，y=0，Dx2+y2=1在第一象限內所圍成的區域。x=014、（本題滿分12分）一質點沿曲線L=t從點（0,0,0）移動到點、z=12（0,1,1），求在此過程中，力F=*1+x4i—yj+k所作的功W。15、（本題滿分10分）判別級數才nsin1的斂散性。nn=116、（本題滿分20分）求一條過點A（-1,0,4）與一平面兀：3x-4y+z+10=0平行，且與直線l:=z-3=三相交的直線方程.■11217、（本題滿分20分）求橢球面x2+2y2+3z2=21上的點M，使直線L:^-6=二3=二1在過M21-2點的切平面上.18、（本題滿分12分）計算二重積分I=口|xy|dxdy。xLlyL119、（本題滿分12分）已知yz+zx+xy=1，確定的z=z（x,y），求dz。20、（本題滿分12分）設z=f（x,y）是由方程e；+e：=2e所確定的隱函數，求z、z.xy21、（本題滿分10分）計算二次積分"dyjycosx2dx+J2dyf1cosx2dx?0:1:22、（本題滿分10分）計算函數z=2esinxy的全微分.23、（本題滿分10分）計算二重積分ff2以其中D：0WxW1,01+xDWyW1?

24、(本題滿分10分)已知向量a=(1,1,1),b=i+2j+4k,求a?b和axb.25、(本題滿分10分)求曲面x+Xy+xyz=9在點(1,2,3)處的切平面方程.《高等數學(二)》期末復習題答案一選擇題1、A解：利用平行向量對應的坐標成比例，設b=(21,-1,2t)，又因a-b=-18=(2,—1,2)-(21,—t,2t)=4t+1+4t=9tnt=—2nb=(—4,2,—4)2、C解：將z=1代入x2+y2—z=0得到x2+y2=1，此時圖形為圓。3、D解：用極坐標計算方便，I=口(xI=口(x2+y2)dxdy=J2^a00Dr2rdr=2冗?丄a4=1兀a4424、A解：利用曲線積分的性質，則J6ds=dJds=6-(3-0)=9LL25、B解：由萊布尼茲判別法可得到級數￡(—1)?1收斂，但n=1n=1刀(一1)“-nn=刀(一1)“-nn=1發散，所以￡(一1)n1是條件收斂。nn=16、D解：二重積分定義式JJf(x,y)dG=lim刀f(g)An中的九是分A^0.1iiiDi=1割細度，代表的是n個小閉區域直徑中的最大值。7、B解：畫出積分區域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得J1dxJ1~xf(x,y)dy=J1dyJ1-yf(x,y)dx00008、A解：2z=x2+y2在三維空間里表示的是拋物面。9、B解：z=f(x,y)在點(x°,y°)可微一定能推出偏導數存在，所以是充分條件。10、C解：利用曲線積分的性質，則沿著下半圓周y=一五二石的曲線積分J(x2+y2)ds=J1ds=—-2k=KLL211、B解：若級數刀a收斂，由收斂的性質A,C,D三個選項依然是nn=1收斂的，而刀(a+2)未必收斂，或者排除法選擇B。nn=1IJ12、C解：二重積分欣“血心的值與函數有關，與積分區域有關,IJ112V.112V.而與積分變量的字母表達沒關系。13、B解：利用平行向量對應的坐標成比例，H=(1,2,-1),方=(x,4,-2),則x=214、B解：將y=1代入z2=x2+y2得到z2=X2+1代表的圖形為雙曲線。15、B解:對y求偏導時,X看作常數，z=arctan(x+y)，則竺=dy1+(x+y)216、A解：畫出積分區域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得f1dyJ1f(x,y)dx=f1dxJxf(x,y)dy0y20017、C17、C解：利用級數收斂的定義可得￡u=limSnn=118、D解：利用曲線積分的性質，被積函數關于x是奇函數，由對稱性，可得則曲線積分I=62xyds=0L19、A解：直線方程為蘭=2=三，則原點坐標(o,o,o)滿足方程，該直012線必過原點，直線的方向向量為(0,1,2)，x軸的方向向量為(1,0,0)，又因為(0,1,2)-(1,0,0)=0，所以直線過原點且丄x軸。20、C解：將直線方程寫成參數式，代入平面方程求交點坐標，或者代入法驗證也可。x=2+1代入法驗證也可。=tn<y=3+1代入2x+y+z-6=0z=4+2t得/=-1n交點坐標為(1,2,2)21、A解：熟悉二元函數的概念之間的聯系，偏導數連續=可微n連續；或者偏導數連續n可微n偏導數存在22、B解：tan—~—ntan—絕對收斂。n2n2n2n=123、B解：對y求偏導時，x看作常數，z=xsinyn翌=xcosy,代入點的坐標竺=返彷代)224、C解：n級數￡24、C解：n級數￡(-1)nf1-cosa1絕對收斂。In丿25、B解：(-1)“^~(-1)nk+(-1)n1n級數￡(-1)n匕條件收斂n2n2nn2n=126、C解：交換積分次序后計算簡單0=2(一1)J1dxJ1ey2dy=J1dyfyey2dx=J1ey2-ydy=丄J1ey2dy0=2(一1)0x000202二、填空題仁解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子,第四步利用連續性求解極限。

lim藝=lim叫J1dxJx2f(x,y)dy=J1dy\Lf(x,y)dx000-y16、3解：￡(丄+丄)=J1dxJx2f(x,y)dy=J1dy\Lf(x,y)dx000-y16、3解：￡(丄+丄)=2+3=1+1=-y—Oy—0y—0y—02、2cos(2x+3y)解：對X求偏導時，y看作常數，z=sin(2x+3y)n=2cos(2x+3y)dx3、“(e4-1)解：用極坐標求解簡單I=JJex(2n十3n丿1十T11+22n=11—1—23+y2db=J$兀doj2(2n十3n丿1十T11+22n=11—1—23002020”(e4-1)x20”(e4-1)4、0解：兩個向量垂直，則點積為0?—=05、J1dyjLf(x,y)dx解：畫出積分域，再確定積分限lim24+xyx—0xyy—lim24+xyx—0xyy—0(2一、4+xy)C=limx—0xyy—0上4詔=lim4-(4連+\：4+xy/x—0y—0+\：'4+xy)=—limx—02+\：4+xyy—08、3cos(2x+3刃解：對y求偏導時，X看作常數,zz-sin(2x+3y)n=3cos(2x+3y)9、丿彷丿yf(x,y)dx解：畫出積分域，再確定積分限0y11dxJxf(x,y)dy=yf(x,y)dx0x20y10、0解：利用曲線積分的性質，奇函數在對稱區域上的積分為0b(2sinx+3ycosx)ds=0L11、-1解：h(u+111、-1解：h(u+1)收斂nn=1nlim(u+1)=0nlimu=-1nsns12xy設x+y=u,x一y=vnx2一y2=uvnf(u,v)=uvnf(x,y)=xy13、-1解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第2三步分子分母約去公因子，第四步利用連續性求解極限。yt0=yt0=lim1一G+xy)、xtoxyM+pl+xy/yT014、3解：兩個向量垂直，則點積為0nb=0nx—3=0nx=315、3dx+3dy解：考查全微分的概念，先求兩個偏導'求全微分,再代入定點又因為dz=zdx+zdyxyz=ln(x3+y3)nz=3x又因為dz=zdx+zdyxyXx3+y3yx3+y3ndzndz33(1,1=2必+2d16、J1dx\xf(x,y)dy解：畫出積分域，再確定積分限0xJ1dyJyf(x,y)dx=J1dx[xf(x,y)dy0y20x17、2S-u17、2S-u解：刀u=Snn=1n刀un+1

n=1刀(unn=1+u)=2S—un+1118、0解:利用曲線積分的性質，奇函數在對稱區域上的積分為0,貝UI=6xsinyds=0L1—cos(x21—cos(x2+y2)(x2+y2)lim1—cos(x2+y2)=lim1一cos(x2+y2)=lim(x,y)T(0,0)(x2+y2)exy2(x,y)t(0,0)(x2+y2)e0(x,y)T(0,0)=lim(=lim(x,y)t(0,0)(x2+y2)=020、—i+j解：本題用到向量積的求解方法TOC\o"1-5"\h\z——?—?—?ijka=i+j,b=—k,貝Uaxb=110=—i+j00—1

21…解：lim^n^=iimsin（^）.y=1y=aXT。xxtoxyy—ayTa22、—4解：a+b=0nb=—a,又同=2,na-b=a-b-cos兀=—423、、/2解：l為連接（i,o）與（o,i）兩點的直線段，此線段的方程是x+y=1，此線段的長度是.2，nf（x+yds=fIds=y/2LL24、2解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續性求解極限。iimx2+y二=iim(x2+y2)(Jx2+y2+]+p(x,y)t(0,0)x2+y2+1—1(x,y)t(0,0)(x2+y2+1—1)(x2+y2+1+1)=iim(x2+y%X2+y2+1+D=iim\冃石+1=225、(x,y)t(0,0)x2+y2+1—1(x,y)t(0,0)25、12解：利用向量積的模的求解方法b\b\=allbl-si吟=3x4x1=1226、2解：利用向量積的模的幾何意義，三角形的面積、：AB、：ABxAC=??ij10—1—1k1=(1,—4,—1)3...S=1ABxA^\=^12+(—4)2+(—1)2=乎=學=1.

27、5解：利用兩點間的距離公式\MM^\=g-2”+(7-3)2+(4-1)2=g+32=528、3解：利用點積公式抑=(3,-1,-2)?(1,2,-1)=3-2+2=329、1解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三2_藥壬1=iimxy藥壬1=iimxyxtOytO+必恤”+1-1)xtOxyyTOlimxtOyT0=lim=lim——x：0xy（笳+J==第（靠+1）=230、e3解：對x求偏導時，y看作常數，求完偏導以后代入已知點的坐標f(x,y)=x2(y-3)+(x-1)exnf(x,y)=2x(y-3)+exy+(x一1)?y?exy代入點的坐x標f(1,3)=2?1?(3一3)+e3+(1一1)?3?e3=e3x三、解答題1、（本題滿分12分）解：設F(x,y,z)=z-ez+2xy-3則F=2y，F=2xxy對應的切平面法向量in=(F,F,F)xyz(1,2,0)代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0）則切平面方程：4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=02、本題滿分2、本題滿分12分）2xy22xy2eydx0=f10yeyy2dy0:Jfeydxdy=f1dy\0D=f1(yey—y)dy0yey-ey~203、yey-ey~203、本題滿分12分）解：因為理=2dx2x+3y+4z2du'dy2x+3y+4z2du=8zdz2x+3y+4z2TOC\o"1-5"\h\z-dududu-du=dx+dy+d!zdxdydz9、（9、（本題滿分12分）6、6、（本題滿分12分）所以du=dx所以du=dx+2x+3y+4z2dy+2x+3y+4z28z2x+3y+4z2x2-kx2x2-kx2x4+k2x4解：f(0,0)=limf(0+Ax,0)-f(0'°)=lim0=0xAxtOAxAxtOAx同理f(0,0)=0y所以函數在（0，0）點兩個偏導數存在。limf(x,y)=limy=kx2xtOxtO.?.limf(x,y)不存在xtOytO因此函數在（0，0）點不連續5、（本題滿分10分）解：???(n2解：???(n2n+1)nv(石)n而F（￡）n是收斂的等比級數n=1.原級數收斂

解：設F(x,y