實驗七常微分方程【實驗目的】了解常微分方程的基本概念。了解常微分方程的解析解。了解常微分方程的數值解。學習、掌握MATLAB軟件有關的命令。【實驗內容】如下圖所示，一根長l的無彈性細線，一端固定，另一端懸掛一m的小球。在重力的作用下小球處于平衡位置。若使小球θ''mgsin,(0),'(0)00問該微分方程是線性還是非線性的？是否存在解析解？如果不存在解析解，能否求出其近似解？θθ【實驗準備】微分方程的概念常微分方程的解析解微分方程的數值解法解微分方程的MATLAB命令MATLAB中主要用dsolve求符號解析解，ode45,ode23,ode15s求數值解。matlab求解微分方程命令dsolve，調用格式為：dsolve(給出微分方程的解析解，表示為t的函數.dsolve)表示為t的函數.dsolve)x的函數.dsolvex問題的解，表示為x的函數.【實驗重點】1.常微分方程的解析解與數值解的計算【實驗難點】1.常微分方程的解析解與數值解的計算【實驗方法與步驟】練習1求下列微分方程的解析解。（1）y'ayb（2）y''sin(2x)y,y(0)0,y'(0)（3）f'fg,g'gf,f'(0)g'(0)1.方程（1）求解的MATLAB代碼為>>clear>>s=dsolve('dy=a*y+b)結果為s=-b/a+exp(a*t)*C1方程（2）求解的MATLAB代碼為>>clear>>s=dsolve('d2y=2*x-y)','y(0)=0','dy(0)=1','x')>>simplify(s) %以最簡形式顯示s結果為s=(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x))+sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x)ans=-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)方程（3）求解的MATLAB代碼為>>clear>>s=dsolve('df=f+g','dg=g-f','f(0)=1,'g(0)=1')>>simplify(s.f) %s是一個結構>>simplify(s.g)結果為ans=exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t)ans=exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)練習2求解微分方程y'yt1,y(0)1先求解析解，再求數值解，并進行比較。由>>close>>s=dsolve('dy=y+t+1','y(0)=1','t')>>simplify(s)ytetM文件fun8.m%m函數fun8.mfunctionf=fun8(t,y)f=y+t+1;再運行相應的MATLAB代碼：>>clear;close;t=0:0.1:1;y=t+exp(-t);plot(t,y);%化解解析的圖形>>holdon;%保留已經畫好的圖形，如果下面再畫圖，兩個圖形合并在一起>>[t,y]=ode45('fun8',[0,1],1];plot(t,y,'ro');%畫數值圖形，用紅色小圈畫>>xlabel('t'),ylabel('y')運行結果見圖7.2。7.2由圖7.2可見，解析解和數值解吻合地很好。【練習與思考】求下列微分方程的解析解。yx3y2；yx