2007年入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試x一、選擇題：110小題，每4分，共40分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)x1 1 1 1 x

等價(jià)的無窮小量是 A.1e

111函數(shù)f(x)(exe)tanx在,上的第一類間斷點(diǎn)是x x(ex0

1

2

2如圖，連續(xù)函數(shù)y

f(x)在區(qū)間3,2,2,3上的圖形分別是直徑為1的上、下半0周,在區(qū)間20,02上的圖形分別是直徑為2.F(x)xf(t)dt0下列結(jié)論正確的是 yy---O123xF(3)34

F(3)5F4F

3F4

F(3)54設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù)，則下列命題錯(cuò)誤的是 A.若limf(x)存在，則f(0) B.若limf(x)f(x)存在，則f(0) C.若limf(x)存在，則f(0)存 D.若limf(x)f(x)存在，則f(0)存 曲線y1ln(1ex)漸近線的條數(shù)為 xA.

C.

)，則設(shè)函fx在(0f(x)0，令unf(n)(n1)，則下列結(jié)論正確的是 A.若u1u2，則un必收 B.若u1u2，則un必發(fā)C.若u1u2，則un必收 D.若u1u2，則un必發(fā)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微的一個(gè)充分條件是 (x,

f(x,y)f(0,0)limf(x0f(00)0且limf(0yf(00)

f(x,y)f(0,

(x,y

x2

設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù)，則二次積分dxsinxf(x,y)dy等于 2 A.0dyarcsinyf(x, B.0dyarcsinyf(x, C.02

f(x,

D.02

f(x,設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 A.12,23,3C.122,223,3

B.21,23,3D.122,223,3

設(shè)矩陣A 1，B 0，則A與B 2 A.合同，且相 B.合同，但不相C.不合同，但相 D.既不合同，也不相二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上

limarctanxsinx

xcostcos2 曲線y1sin

上對(duì)應(yīng)于t 的點(diǎn)處的法線斜率為 4設(shè)函數(shù)y

2x

y(n0二階常系數(shù)非線性微分方程y4y3y2e2x的通解為y f(uvzfy,xxzyzx 01000010設(shè)矩陣A ,則A3的秩為0001 0000 (t)dt 三、解答題：17－24小題86分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說(t)dt (17)(本題滿分10分設(shè)是區(qū)間 ]上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且滿f設(shè)是區(qū)間 ]上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且滿

ff( f

costsinx4xf1ffx

0sintcos(18)(本題滿分11分Dy

xa2a(a1,0x)下方、x軸上方的區(qū)域求區(qū)域Dx軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積Vaa為何值時(shí)，Va最小？并求出最小值(19)(本題滿分11分y(xy2yy(1y(11的特解.(20)(10分)d2f(uf(0)1yy(xyxeyd2z

f(lnysinx，

x0

x0(21)(本題滿分11分設(shè)函數(shù)fx)g(x)在ab上連續(xù)，在(abf(a＝g(af(b＝g(b，證明：存在(abf''()g''((22)(本題滿分11分

x2

xy

f(x,y)x2x2

1x

yf(xy)dD(xD

xy(23)(本題滿分11分x2x3設(shè)線性方程組x2x

x4xa2x

2x2x3a1 a得值及所有公共解(24)(本題滿分11分3A的特征值122,11,1)TA的屬于 個(gè)特征向量.BA54A3EE3階單位矩陣驗(yàn)證1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量求矩陣B2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解一、選擇【答案】x22()xx22()x x;1x;1x 1x;1cos2

,x

時(shí)，此時(shí)x01ex

(x);1

x

x;1 2

1(x)22A、CD，所以選 x x x x

xx 當(dāng)x0xx

0x0ln1x x

] ~x x

1

xxxxx x xx

1

1

1 1 1 方法3：lim 1 x lim 1 1 1

x

1x2xx 11x x

1

x

2x

1 1x2x

1x1 x2x2x1設(shè)

A

xB1x4x

xxx1x1 x

1 xA2xB1x2x21

x2 1 x原式

1x1 x

lim xx01 x22x01

011，選【答案】(fxfx在間斷點(diǎn)處的極限fx的不連續(xù)點(diǎn)為0、1，第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)及跳躍間斷點(diǎn).2慮各個(gè)選項(xiàng)即可limf(limf(x)lim11A

))

f(x)lim

exe11x11xe

ex0 fxx0limfxlimfxx0fx間斷點(diǎn)，選

同樣可驗(yàn)證其余選項(xiàng)是第二類間斷點(diǎn)，limfx，limfx，limfx

2

2【答案】xfxxf(xf(xF(x)x

f(t)dt,F(x)

f(t)dt令tu

)

f(u)duF(x)2FxxF(3)F(322F(2)2

f(t)dtR1F(2)

f(t)dt

， F(3)3f(t)dt2f(t)dt3f(t)dt3f(t)dtr1 1 的負(fù)值，所以

f(t)dt2

所 F(3)

f(t)dt

f

3 3F2 2

4 所 F(3)F(3)3F(2)，選擇4【答案】由limf(xfxx0 f(0)limf(x)lim(f

0所以(A)正確由選項(xiàng)(A)知，f(0)0，所以limf(xf(0)limf(x)存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，

x

f'(0)

f(x)fxfxx0f(xx0limf(x)f(x)limf(x)limf(x)f(0)f(0)2f0所以2f(0

f(x)

0limf(x)f(x) f(0)0.所以(B)正確，故此題選擇2：舉例法，舉例說明(D)不正確.例如取f(x

x

f(x)fx

xx

0

fxf

x

1，

fxf

x

x

x

x

x0xf(xxx0f'(0)不存在.(D)不正確，選【答案】【詳解】因?yàn)閘imylim1ln(1exlim1limln(1ex)

x0

x0

x0limylim1ln(1exlim1limln(1ex)000

x

x-

x- y0x a y

1ln(1ex

1

ex)

1x

法則0 blimyaxlim1ln(1ex)x

x lim1limln(1ex)

xln

)lnexx

1

lim )lim 1)ln1

yx3條，選擇【答案】【詳解】unf(n)， 日中值定理，)un1unf(n1)f(n)f'(n)(n1n)f'(n),(n1,)其中nnn1，12 nf'(n) f'(1f'(n)

.f''(x)0f'(x f'(n) 若u1u2，則f'(1u2u10,所以0f f'(n) un1u1(uk1uk)u1f'(k)u1nfk kf'(1是一個(gè)確定的正數(shù).于是推知limun1故un發(fā)散.選【答案】【詳解】一般提到的全微分存在的一個(gè)充分條件是：設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)x0y0處存在全f(xy在點(diǎn)x0y0f(xy在點(diǎn)x0y0全增量可以寫成fx0x,y0yfx0y0AxByo，其中AB為與xy

oxy ， 0，則稱f(xy AxByf(xy在點(diǎn)x0y0處的全微分，對(duì)照此定義，就可解決本題

相當(dāng)于已知f(x,y在點(diǎn)(00)

f00f00A.Bf(xy在點(diǎn)(00處可微.D x于已知兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)x

f0,0

fy00存在不能推導(dǎo)出兩個(gè)一階偏導(dǎo)函 fxyfxy在點(diǎn)(00f(xy在點(diǎn)(00 f(x,y)f(0,由 0，推(x,y

x2

f(x,y)f(0,0)x2x2x2，

0x0ylim0.

x00,y00,xx,yy,A0,Bf(x,y在(00點(diǎn)可微，故選擇【答案】D2

x,sinxyxy0y1,arcsinyx 所 dxsinxf(x,y)dy0dyarcsinyf(x,y)dx 所以選擇2【答案】成立，則稱1,2,3線性相關(guān)因(1223310，故12，23，31線性相關(guān)，方法2：因?yàn)?2,23,31,

1 0

其中

1 0

1

1 C2 01行(1)2行

C2是可逆矩陣，由可逆矩陣可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積，C2右乘1,2,3時(shí)，等于作若干次初等變換，初等變換不改變矩陣的秩，故r(12,23,31)所以，12,23,31線性無關(guān)，排除因?yàn)?22,223,3211010101010其中C10

1

1 行+ 行+C3

4 C3是可逆矩陣，由可逆矩陣可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積

C3右乘1,2,3時(shí)，等于作若干次初等變換，初等變換不改變矩陣的秩，故r(122,223,3所以，122,223,321線性無關(guān)，排除因?yàn)?22,223,321,

2 0

其中

2 0，

1

1 C 01行(2)2行 4

C4是可逆矩陣，由可逆矩陣可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積

C4右乘1,2,3時(shí)，等于作若干次初等變換，初等變換不改變矩陣的秩，故r(122,223,321)r(1,2,3)所以，122,223,321線性無關(guān)，排除(D).【答案】

方法1：EA

提出

0

32 A3，3，0;BB

ABA與B不相似ABAB22AB合同，應(yīng)選(B).EA(3)2EB(1)2，AB是同階實(shí)對(duì)稱矩陣，其秩AB合同.二、填空【答案】6【詳解】由法則2lim2

x2116【答案】

22dydt

1sint

cos

dx

costcos2t

sint2sintcos把t 代入4

t 1

,所以法線斜率為12【答案

(1)n2nyy

2x

2x31

311,y''(1)(2)222x33(1)22!222x321,

y(n)(1)n2nn!2x3n1x0

y(n)(0)

(1)n2n【答案】CeCe3x 【詳解】這是二階常系數(shù)非線性微分方程，且函Pmx2,2

fx

xex型其中所給方程對(duì)應(yīng)的方程為y4y3y0，它的特征方程為r24r30,得

對(duì)應(yīng)方程的通解yCer 由于這里2不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)該非方程的一個(gè)特解為y*Ae 所以y*2Ae2xy*4Ae2x，代入原方程

2e2xA2y*2e2x.yCeCe3x2e2x y【答案】 f'xf'yx yy x x y

y

f' f'

' f

1 x2 y xxxf

'

f'1

x

1 2 y2' ' y 1 x所 xxyyxf1'x2f2'yyf1'xf2'y2 yf'f'xf'yf'

2(yf'xf' x 1

x y 【答案】01000100 0010 00100010 A 00010001 0000 00000000 000000100100 0001 00010010 AAA 00000001 0000 00000000 0000由階梯矩陣的行秩等于列秩，其值等于階梯形矩陣的非零行的行數(shù)，知rA3三、解答題【分析】本題要求函數(shù)詳解式，已知條件當(dāng)中關(guān)于函數(shù)有關(guān)的式子只f(x

xcostsin

(t)dt0tsintcostdt這是一個(gè)帶有積分符號(hào)的式子，如果想求出函數(shù)的詳解式，首先要去掉積分符號(hào)，即求導(dǎo)f(

xcostsinxxsincosf

(t)dt0tsintcostdtxcoscos當(dāng)x0時(shí)，對(duì)上式兩邊同時(shí)除以x，得f ，所f d(sinxcosx)lnsinxcosx sinxcosx0f(0)f1(t)dt0.fx是[0f

f(0)0x04limf(x)f(0)C

lnsinxcosx，因?yàn)閤

4

ln(sinxcosx),x 【詳解】

Va

xaadx

xa0

a

a2aln2a2aln2aa22lnaaln4

[xaa0

0

adx lna

alna1

Va[lna]

2

ln3 2alna2alnaln3令Va0，得lna1ae.當(dāng)1ae時(shí)，Va0，Vaae時(shí)，Va0，Va單調(diào)增加.所以ae時(shí)V最小，最小體積為Vmina2【詳解】令ypypp(xp2pppxp pdpdxx x

(

1

dpC)elnpC(

1

dp)p[dpC]p(p帶入初始條件得C0

p2x.由y(1)1知p ，即dyxxxx2 2 y

x2C1，帶入初始條件得C1 ，所以特解為y

x2 【詳解】在yxey11x0y1y(0)yxey11xy(xey1)10yxey1x(ey1)yey1xey1y0(yy(xx的函數(shù)，故ey1x用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則2yyey1

(yxey11xey1y1，把它代入在(*)x0x0,y1yx0在(*)兩邊求導(dǎo)2yyy2ey1y0.x0

x0y1y1

x0zf(lnysinx，令ulnysinxdzdzudzu

du duy在ulnysinxxyx求導(dǎo)，得uxcos在ulnysinxxyy求導(dǎo)，得u 把以上兩式代入(**)dzf(ucosxf(u1 dzf(lnysinx)(ycosx)

x0y1y1代入(***)在(***)x

f(ln1sin0)(1cos0)1d2z

y

y [

(ln

sinx)]y

cos

f(ln

siny

cos dz dzu

du duy[f(lnysinx)]f(lnysinx)(cosx)f(lnysinx)yy

y

yyyyyd2

y

(lnysin cosy

f(lnysinx)y2ysin x0y1y1y2d2z

1 2

f(ln1sin f(ln1sin0)2 sin

f(0)(2 【詳解】欲證明存在(ab)f()g(，可構(gòu)造函數(shù)(f(xg(x))0，令(x)f(xg(x)，由題設(shè)f(xg(x存在相等的最大值x1(a,bx2使得f(x1maxf(xg(x2maxg(x.于是(x1f(x1g(x10，(x2f(x2g(x2 若(x1)0，則取x1(a,b有()0若(x2)0，則取x2(a,b有()0若(x1)0,(x2)0，則由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在(x1x2使()0不論以上哪種情況，總存在(ab使()0再(af(ag(a)0,(b)f(bg(b)0(x)在區(qū)間[a,],[b分別應(yīng)用羅爾定理，得存在1(a,),2(,b使得(1)＝0,(2)0；再由羅爾定理知，存在(1,2使()0.f()g(.【詳解】記D1(x

xy2f(x,y)df(x,y)df(x,

x2d dx2x2再記1(xy)0xy1x0y0，2(xy1xy2x0yx2由于D與D都與x軸對(duì)稱，也都與y軸對(duì)稱，函數(shù)x2

x y3x2d4x2d41dx1xx2dy41x2(1x)dx41(x2x3)dx3 x2x2 dx2x2 xrcosyrsin0.xy121rcossin1

xy2r

cossin

x2x2

d

20

cos1

420

cossindr

cos1120cos

(r(rcos)2(rsind40

2cos(42 2sec(2

22lnsec(

))tan()222 2222 2

422ln

1

1222222

22ln(32所 f(x,D

f(x,y)df(x,

122ln(322)3【詳解方法1：因?yàn)榉匠探M(1)、(2)有公共解，將方程組聯(lián)立x2x3x2xax x4xa2x 2xxa 1 0

0

a Ab 0

2 a

0

a 0

a2 0

a 0

1a4

0

a

a1 換行 a 1a a2133a 由此知，要使此線性方程組有解，a必須滿足(a1)(a20，即a1或a2a1rA)2，聯(lián)立方程組(3)的同解方程組為x

x2x3，由r(A)2，方程組有nr321 未知量.選x1 a2時(shí),聯(lián)立方程組(3)的同解方程組為x2

3

x方法2：將方程組(1)的系數(shù)矩陣A作初等行變 11 1 A a1

a2

a1

a

a2

(a1)(aa1時(shí)，rA)2，方程組(1)的同解方程組為x

x2x30rA2方程組有nr321 未知量.選x1 .k成立，故當(dāng)a1k101T是(1)、(2)的公共解.當(dāng)a2時(shí)，r(A)2，方程組(1)的同解方程組為 x2x30，由r(A)2xx 方程組有nr321 未知量.選x2 未知量，取x21，解得(1)的通0,11T,是任意常數(shù).0,11T代入方程(2)21，即1a2時(shí)，(1)和(2)的公共解為0,11T【詳解】(IA，可得

Ak1(AAk1 k是正整數(shù), B(A54A3E) 1于是1B的特征向量(對(duì)應(yīng)的特征值為21若Ax

，則(kA)x