.z.2016屆高考備考沖刺階段（查缺補漏）試題數學（理科）1.*中學在高二年級開設大學先修課程《線性代數》，共有50名同學選修，其中男同學30名，女同學20名.為了對這門課程的教學效果進行評估，學校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進行考核.（1）求抽取的5人中男、女同學的人數；（2）考核的第一輪是答辯，順序由已抽取的甲、乙等5位同學按抽簽方式決定.設甲、乙兩位同學間隔的人數為，的分布列為3210求數學期望；（3）考核的第二輪是筆試：5位同學的筆試成績分別為115，122，105，111，109；結合第一輪的答辯情況，他們的考核成績分別為125，132，115，121，119.這5位同學筆試成績與考核成績的方差分別記為，，試比較與的大小.解：（1）抽取的5人中男同學的人數為，女同學的人數為.（2）由題意可得：.因為，所以.所以.（3）.2().*中藥種植基地有兩處種植區的藥材需在下周一、下周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區的采摘．由于下雨會影響藥材品質，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元萬元若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務．無雨時收益為20萬元；有雨時，收益為10萬元．額外聘請工人的成本為萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為．（1）若不額外聘請工人，寫出基地收益的分布列及基地的預期收益；（2）該基地是否應該外聘工人，請說明理由．【解析】（1）設下周一有雨的概率為，由題意，，基地收益的可能取值為，則，，，∴基地收益的分布列為：201510，∴基地的預期收益為萬元．（2）設基地額外聘請工人時的收益為萬元，則其預期收益（萬元），，綜上，當額外聘請工人的成本高于萬元時，不外聘工人；成本低于萬元時，外聘工人；成本恰為萬元時，是否外聘工人均可以．3.高三年級有500名學生，為了了解數學學科的學習情況，現從中隨機抽出若干名學生在一次測試中的數學成績，制成如下頻率分布表：分組頻數頻率[85,95)①②[95,105)0.050[105,115)0.200[115,125)120.300[125,135)0.275[135,145)4③[145,155)0.050合計④根據上面圖表，①②③④處的數值分別為①________，②________，③________，④________；(2)在所給的坐標系中畫出[85,155]的頻率分布直方圖；(3)根據題中信息估計總體平均數，并估計總體落在[129,155]中的頻率．解析(1)隨機抽出的人數為eq\f(12,0.300)＝40，由統計知識知④處應填1；③處應填eq\f(4,40)＝0.1；②處應填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①處應填0.025×40＝1.(2)頻率分布直方圖如圖．(3)利用組中值算得平均數：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；總體落在[129,155]上的頻率為eq\f(6,10)×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.4.*中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調查，如下表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）平均每天鍛煉的時間（分鐘）總人數203644504010將學生日均課外課外體育運動時間在上的學生評價為"課外體育達標”．（Ⅰ）請根據上述表格中的統計數據填寫下面列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為"課外體育達標”與性別有關？課外體育不達標課外體育達標合計男女20110合計（Ⅱ）將上述調查所得到的頻率視為概率．現在從該校高三學生中，抽取3名學生，記被抽取的3名學生中的"課外體育達標”學生人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的數學期望和方差．參考公式：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828參考數據：解答：（Ⅰ）課外體育不達標課外體育達標合計男603090女9020110合計15050200………5分所以在犯錯誤的概率不超過的前提下不能判斷"課外體育達標”與性別有關．………6分（Ⅱ）由表中數據可得，抽到"課外體育達標”學生的頻率為0.25，將頻率視為概率，………8分．………12分5().*市環保知識競賽由甲乙兩支代表隊進行總決賽，每隊各有3名隊員，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或者不答都得0分，已知甲隊3人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊總得分。（1）求隨機變量的分布列及其數列期望；（2）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率。解：（1）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0………4分數學期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．……………6分（2）設"甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，"甲隊比乙隊得分高”為事件B，則SKIPIF1<0……8分SKIPIF1<0…………10分SKIPIF1<0…………12分6().已知四棱錐,底面是直角梯形，∥,,，是邊長為的等邊三角形，．（Ⅰ）求證：平面；E（Ⅱ）若點為中點,求二面角的余弦值．E解答：（Ⅰ）是邊長為的等邊三角形,底面是直角梯形，又又………6分（Ⅱ）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，則設平面的法向量為，則取………8分為中點，則，設平面的法向量為，則取………10分由．二面角的余弦值為．………12分7.如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2。（1）求證：BD⊥平面ACFE；（2）當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時，求CF的長度。（Ⅰ）證明：四邊形是菱形，.平面,平面.,平面.…….4分（Ⅱ）解：如圖以為原點，為軸正向，軸過且平行于，建立空間直角坐標系.則，.………6分設平面的法向量為，則有，即令，.…………8分由題意解得或.由，得.…….12分8.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC．（1）求證：AC⊥CD；（2）點E在棱PC上，滿足∠DAE=60°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．解答：（1）證明：因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因為∠PCD=90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC；（2）解：∵底面ABCD是平行四邊形，CD⊥AC，∴AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，∴AB，AC，AP兩兩垂直．如圖所示，以點A為原點，以為*軸正方向、以||為單位長度，建立空間直角坐標系．則B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（﹣1，1，0）．設=λ=λ（0，1，﹣1），則=+=（0，λ，1﹣λ），又∠DAE=60°，則cos＜，＞=，即=，解得λ=．則=（0，，），=﹣=（﹣1，，﹣），所以cos＜，＞==﹣．因為?=0，所以⊥．又⊥，故二面角B﹣AE﹣D的余弦值為﹣．9().如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，過作平面SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，交AB于D點，（1）求證：（2）若四邊形SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值。（1)證：連結AC1，設AC1與A1C相交于點E，連接DE，則E為AC1中點，2分∵BC1∥平面A1CD，∴DE∥BC1，4分∴D為AB的中點，又∵，∴6分(2)SKIPIF1<07分又∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<08分設BC的中點為O，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，以O為原點，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系SKIPIF1<0.9分則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<010分平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為SKIPIF1<012分10.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點G是EF的中點。（1）證明：AG⊥平面ABCD。（2）若直線BF與平面ACE所成角的正弦值為，求AG的長。（3）判斷線段AC上是否存在一點M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。11().已知直線為參數),曲線（為參數）.(I)設與相交于兩點,求；(II)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.解：（I）的普通方程為的普通方程為聯立方程組解得與的交點為,,則.……5分（II）的參數方程為為參數).故點的坐標是,從而點到直線的距離是,由此當時,取得最小值,且最小值為.…………10分12().在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），且曲線上的點對應的參數，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線是圓心在極軸上且經過極點的圓，射線與曲線交于點．（Ⅰ）求曲線的普通方程，的極坐標方程；（Ⅱ）若是曲線上的兩點，求的值．（Ⅰ）將及對應的參數代入為參數），得，所以，所以曲線的普通方程為；……4分設圓的半徑為，則圓的方程為，將點代入得，所以圓的極坐標方程為 ……6分（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，將代入得，，所以……10分13.在直角坐標系*OySKIPIF1<0中，直線的參數方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數），若以原點SKIPIF1<0為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知圓SKIPIF1<0的極坐標方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上任一點，連結SKIPIF1<0并延長到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.(Ⅰ)求點軌跡的直角坐標方程；(Ⅱ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：（Ⅰ）圓SKIPIF1<0的直角坐標方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0這就是所求的直角坐標方程………5分（Ⅱ）把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，即代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0對應參數分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0………………10分14().已知參數方程為（為參數）的直線經過橢圓的左焦點，且交軸正半軸于點，與橢圓交于兩點、（點位于點上方）．（I）求點對應的參數（用表示）；（II）若，求直線的傾斜角的值．解：（Ⅰ）在橢圓中，∵，，∴，即，2分故，在直線的參數方程中，令，解得；4分（Ⅱ）解法1：把代入橢圓方程，并整理得：，6分設點、對應的參數為、，由結合參數的幾何意義得：，即，8分解得，依題意知，∴．10分【解法2：設A、B兩點的橫坐標分別為、，將直線的普通方程代入橢圓方程并整理得：，6分則，7分∵8分∴,解得，依題意知，得.10分】15.在直角坐標系*Oy中，以坐標原點為極點，*軸的正半軸為極軸建立極坐標系．半圓C(圓心為點C)的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈(，)．(I)求半圓C的參數方程：(II)直線l與兩坐標軸的交點分別為A，B，其中A(O，-2)，點D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l傾斜角的2倍，若△ABD的面積為4，求點D的直角坐標．解：（Ⅰ）半圓C的直角坐標方程為*2＋(y－1)2＝1（y＞1），它的參數方程是eq\b\lc\{(\a\al(*＝cosφ，,y＝1＋sinφ，))φ是參數且φ∈(0，π)．…4分（Ⅱ）設直線l的傾斜角為α，則直線l的方程為y＝*tanα－2，D(cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB|＝eq\f(2,sinα)，點D到直線l的距離為|sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα|＝|3cosα－sinαcos2α＋cosαsin2α|＝3cosα＋sinα，由△ABD的面積為4得tanα＝1，即α＝eq\f(π,4)，故點D為(0，2)．…10分16().動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為.(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）已知定點，，動點在直線上，作直線與軌跡的另一個交點為,作