相似三角形與函數結合的問題

需要更完整的資源請到新世紀教育網-相似三角形與函數結合的問題需要更完整的資源請到新世紀教1ABCDEABDEC

這是兩個極具代表性的相似三角形的基本模型：“A”型和“8”型這兩個模型在解題的過程中作用很大,你可要認真噢！需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEABDEC這是兩個極具代表性的相似三角形的2ACBPFMNGEDS3S1S210.如圖，DE//BC,FG//AB,MN//AC,且

DE、FG、MN交于點P，若記SΔDPM=S1,

SΔPEF=S2,SΔGNP=S3SΔABC=S、猜想S與S1、S2、S3之間的關系？并加以驗證。拓展練習需要更完整的資源請到新世紀教育網-ACBPFMNGEDS3S1S210.如圖，DE//BC3歸納與猜想如圖，已知三角形ABC的面積為1，取各邊中點為A1B1C1，得第一個三角形A1B1C1，又取各邊中點，得第二個三角形A2B2C2。仿此繼續下去，試求第100個三角形A100B100C100的面積。你能寫出第n個三角形AnBnCn的面積嗎？△AnBnCn與△ABC的相似比是1/2n，面積比是1/4n。若把題目中的三角形改為正方形，那么結論又如何？需要更完整的資源請到新世紀教育網-歸納與猜想如圖，已知三角形ABC的面積為1，取各邊中點為A14你來答一答：1、已知△ABC中，DE∥BC，AE=5，AD=3，AB=7，則CD=

ABCDE63、已知△ABC中，BC=12，高AD=8，正方形PQMN內接于△ABC，一邊在BC上，則正方形的邊長為ABCPQNMD2、已知CD是Rt△ABC邊上的高線，AD，BD是方程的兩根，則△ABC的面積是

CABD需要更完整的資源請到新世紀教育網-你來答一答：1、已知△ABC中，DE∥BC，AE=5，AD=5

例1、有一塊等腰三角形ABC鐵板的余料，其中AB=AC=20，BC=24，若在△ABC上截出一個矩形零件DEFG，使點E、F在BC邊上，點D、G分別在邊AB、AC上。設EF=x，S矩形DEFG=y.（1）試求y關于x的函數的關系式。ABCDEFG你來算一算：202024x需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEFG你來算一算：202024x需要更完整的資源請到6ABCDEFG2024MN解:(1)過點A作AN⊥BC交BC于點N,交DG于點M.設DE=a∵等腰△ABC,AN⊥BC,AB=AC=20，BC=24，∴DG=x,AN=16,AM=16-a

(0＜x＜24)（2）x（2）當x為何值時，矩形DEFG的面積最大？∵DG∥BC,∴△ADG∽△ABC需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEFG2024MN解:(1)過點A作AN⊥BC交BC7ABCDEFG

你能行：（3）連結EG，當EG∥AB時，矩形DEFG的面積等于多少？2024ABCDEFG（4）當EG⊥AC時，矩形DEFG的面積等于多少？HH需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEFG你能行：（3）連結EG，當EG∥AB時，矩形8（5）當∠BAC=90°，AB=4，AC=3，內接正方形DEFG時，求：BE：EF：FC的值ABCDEFG435需要更完整的資源請到新世紀教育網-（5）當∠BAC=90°，AB=4，AC=3，內接正方形DE9動態幾何問題動態幾何問題概述例題分析與講解練習與作業需要更完整的資源請到新世紀教育網-動態幾何問題動態幾何問題概述例題分析與講解練習與作業需要更完10動態幾何問題概述這類問題是近兩年以來各省市中考題的一個亮點，它出現的位置一般是最后的壓軸題，分值在12分以上，綜合性很強，往往設多問，問題由易而難，難度梯進。是典型的數形結合問題。這類問題往往以幾何圖形的運動為背景，探索在運動過程中，圖形的變化情況。如果在這個變化過程中，確定兩個變量，還要研究這兩個變量在不同情況下的函數變化關系。這類問題所用到的數學知識有：不同幾何圖形的性質，如三角形的全等相似，四邊形中特殊四邊形的性質等；數學思想有：函數思想，分類討論思想等。BACK需要更完整的資源請到新世紀教育網-動態幾何問題概述這類問題是近兩年以來各省市中考題的一個亮點，11例

例如圖1，菱形OABC的邊長為4cm，∠AOC=60°，動點P從O出發，以每秒1cm的速度沿OAB路線運動，點P出發2秒后，動點Q從O出發，在OA上以每秒1cm的速度，在AB上以每秒2cm的速度沿OAB路線運動，過P，Q兩點分別作對角線AC的平行線，設點P運動的時間為x秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形（圖1中陰影部分）的周長為ycm。請你回答下列問題：⑴當x=3時，y的值是多少？⑵就下列各種情況，求y與x之間的函數關系式：

①0≤x≤2②2≤x≤4③4≤x≤6④6≤x≤8⑶在直角坐標系中，用圖象表示⑵中各種情況下y與x的關系③④圖1①②MN需要更完整的資源請到新世紀教育網-例例如12⑴當x=3時②MN陰影部分的周長y==PM+QN+PQ+MNOPOQ22=+++33-2=++2+2=8答：當x=3時，陰影部分的周長y=8。需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑴當x=3時②MN陰影部分的周長y=OPOQ22=13⑵情況①：當0≤x≤2時陰影部分的周長y=C正△OPM=3·OP=3x①M答：當0≤x≤2時，陰影部分的周長y與x的函數關系式為：y=3x需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況①：當0≤x≤2時陰影部分的周長y=C正△OPM14⑵情況②：當2≤x≤4時陰影部分的周長y==PM+QN+PQ+MN②MNOPOQ22=+++xx-2=++2+2=2x+4答：當2≤x≤4時，陰影部分的周長y與x的函數關系式為：y=2x+4需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況②：當2≤x≤4時陰影部分的周長y=②MNOPO15⑵情況③：當4≤x≤6時陰影部分的周長y==PM+QN+PAQ+MCNBPOQ22=+++8-xx-2=++2+2=10答：當4≤x≤6時，陰影部分的周長y=10③MNQ需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況③：當4≤x≤6時陰影部分的周長y=BPOQ2216⑵情況④：當6≤x≤8時陰影部分的周長y==PM+QN+PQ+MNBPBQ2（BQ-BP）=++8-x(16-2x)=++=-5x+40答：當6≤x≤8時，陰影部分的周長y與x的函數關系式為：y=-5x+40④MQN(16-2x)需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況④：當6≤x≤8時陰影部分的周長y=BPBQ2（17動畫①0≤x≤2②0≤x≤2③4≤x≤6④6≤x≤8需要更完整的資源請到新世紀教育網-動畫①0≤x≤2②0≤x≤2③4≤x≤6④6≤x≤18⑶在直角坐標系中，用圖象表示⑵中各種情況下y與x的關系xyy=3x(0≤x≤2)2x+4(2≤x≤4)10(4≤x≤6)-5x+40(6≤x≤8)需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑶在直角坐標系中，用圖象表示⑵中各種情況下y與x的關系xyy19本題小結由于在這個圖形運動過程中，賦予了P點運動的一些屬性（如速度，時間，路程），所以出現了兩個變量：P點運動時間為自變量，某圖形的周長為函數。這樣，把圖形運動與函數關系對應起來，在圖形位置不同的情況下，分類討論了不同的函數關系。本題用到的數學知識有：菱形性質，等邊三角形性質，行程問題的數量關系等。本題用到的數學思想有：函數思想，分類討論，數形結合思想。本題的關鍵是：找到圖形運動的臨界點，據此，考慮函數關系。該題是以菱形為背景，描述了一系列的圖形運動：點動線動形動，需要更完整的資源請到新世紀教育網-本題小結由于在這個圖形運動過程中，該題是以菱形為背景，線動形20例2、已知拋物線的頂點坐標為（4，-1），與y軸交于點C（0，3），O為原點。（1）求這條拋物線的解析式；（2）設此拋物線與x軸的交點為A，B（A在B的左邊），問在y軸上是否存在點P，使以O、B、P為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。A(2,0)B(6,0)xyABCOPPP(0,4)(0,-4)P(0,9)(0-9)

今年的中考題中就有一題是在直角坐標系中找點使之構成等腰三角形。需要更完整的資源請到新世紀教育網-例2、已知拋物線21已知如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,P、M、N分別是AD、AB、CD上的點且PM∥BD，PN∥AC，（1）求證：（2）若AC⊥BD，AC=BD=12，設PM=x，△PMN的面積為y，求y與x的函數關系式；（3）在（2）中，當x取什么值時，△PMN面積最大？并指出此時點P在線段AD上的位置。DPABCMNO我思，我進步需要更完整的資源請到新世紀教育網-DPABCMNO我思，我進步需要更完整的資源請到新世紀教22在△ABC中，已知AC=，AB=2，∠A=30°，D是AB上的一個動點，（D與A、B不重合），過D、B、C作⊙O交AC于E。（1）若AD=x，y=，求y與x之間的函數關系式及x的取值范圍（2）當y取最小值時，求四邊形DBCE的面積BDCAFE我思，我進步需要更完整的資源請到新世紀教育網-在△ABC中，已知AC=，AB=2，∠A=23如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動t秒（0<t<5)后,四邊形ABQP的面積為S平方米。（1）求出面積S與時間t的關系式BCDPA6.拓展練習Q需要更完整的資源請到新世紀教育網-如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動24（2）探究:在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時點P的位置；若不能，請說明理由。拓展練習BCDPAQ需要更完整的資源請到新世紀教育網-（2）探究:在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CP258.如圖,有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=RP,PE=3cm,QR=8cm,點B,C,Q,R共線.當C與Q重合時,△PQR以1cm/s的速度沿著直線l按箭頭的方向勻速運動,t秒后正方形ABCD與△PQR重合部分的面積為Scm2ABCDl(1)當t=3秒時,求S的值.PREQG(2)t=5秒呢?

需要更完整的資源請到新世紀教育網-8.如圖,有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,P26小結

與三角形內接矩形有關問題時，一般來說要作對應邊上的高線，相似三角形對應邊上的高之比等于相似比。

對于同一類型的問題，要有比較、有變化。舉一反三。

相似三角形與函數聯系緊密，運用相似三角形中對應邊的比找到函數中變量之間的關系，從而確定函數解析式。加強各知識點之間的聯系。你有些收獲！你還有哪些疑問？需要更完整的資源請到新世紀教育網-小結27下課了!結束寄語不經歷風雨，怎么見彩虹.,沒有人能隨隨便便成功!

再見需要更完整的資源請到新世紀教育網-下課了!結束寄語不經歷風雨，怎么見彩虹.,沒有人能隨隨便便成287.如圖，△ABC中，高線AD與CE相交于點H，P為AD上的一點，連結BP，PC，且PC2=CH·CE。求證：(1)∠BPC=90°EDCBAHP(2)求CD·CB的值需要更完整的資源請到新世紀教育網-7.如圖，△ABC中，高線AD與CE相交于點H，P為AD上的29相似三角形與函數結合的問題

需要更完整的資源請到新世紀教育網-相似三角形與函數結合的問題需要更完整的資源請到新世紀教30ABCDEABDEC

這是兩個極具代表性的相似三角形的基本模型：“A”型和“8”型這兩個模型在解題的過程中作用很大,你可要認真噢！需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEABDEC這是兩個極具代表性的相似三角形的31ACBPFMNGEDS3S1S210.如圖，DE//BC,FG//AB,MN//AC,且

DE、FG、MN交于點P，若記SΔDPM=S1,

SΔPEF=S2,SΔGNP=S3SΔABC=S、猜想S與S1、S2、S3之間的關系？并加以驗證。拓展練習需要更完整的資源請到新世紀教育網-ACBPFMNGEDS3S1S210.如圖，DE//BC32歸納與猜想如圖，已知三角形ABC的面積為1，取各邊中點為A1B1C1，得第一個三角形A1B1C1，又取各邊中點，得第二個三角形A2B2C2。仿此繼續下去，試求第100個三角形A100B100C100的面積。你能寫出第n個三角形AnBnCn的面積嗎？△AnBnCn與△ABC的相似比是1/2n，面積比是1/4n。若把題目中的三角形改為正方形，那么結論又如何？需要更完整的資源請到新世紀教育網-歸納與猜想如圖，已知三角形ABC的面積為1，取各邊中點為A133你來答一答：1、已知△ABC中，DE∥BC，AE=5，AD=3，AB=7，則CD=

ABCDE63、已知△ABC中，BC=12，高AD=8，正方形PQMN內接于△ABC，一邊在BC上，則正方形的邊長為ABCPQNMD2、已知CD是Rt△ABC邊上的高線，AD，BD是方程的兩根，則△ABC的面積是

CABD需要更完整的資源請到新世紀教育網-你來答一答：1、已知△ABC中，DE∥BC，AE=5，AD=34

例1、有一塊等腰三角形ABC鐵板的余料，其中AB=AC=20，BC=24，若在△ABC上截出一個矩形零件DEFG，使點E、F在BC邊上，點D、G分別在邊AB、AC上。設EF=x，S矩形DEFG=y.（1）試求y關于x的函數的關系式。ABCDEFG你來算一算：202024x需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEFG你來算一算：202024x需要更完整的資源請到35ABCDEFG2024MN解:(1)過點A作AN⊥BC交BC于點N,交DG于點M.設DE=a∵等腰△ABC,AN⊥BC,AB=AC=20，BC=24，∴DG=x,AN=16,AM=16-a

(0＜x＜24)（2）x（2）當x為何值時，矩形DEFG的面積最大？∵DG∥BC,∴△ADG∽△ABC需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEFG2024MN解:(1)過點A作AN⊥BC交BC36ABCDEFG

你能行：（3）連結EG，當EG∥AB時，矩形DEFG的面積等于多少？2024ABCDEFG（4）當EG⊥AC時，矩形DEFG的面積等于多少？HH需要更完整的資源請到新世紀教育網-ABCDEFG你能行：（3）連結EG，當EG∥AB時，矩形37（5）當∠BAC=90°，AB=4，AC=3，內接正方形DEFG時，求：BE：EF：FC的值ABCDEFG435需要更完整的資源請到新世紀教育網-（5）當∠BAC=90°，AB=4，AC=3，內接正方形DE38動態幾何問題動態幾何問題概述例題分析與講解練習與作業需要更完整的資源請到新世紀教育網-動態幾何問題動態幾何問題概述例題分析與講解練習與作業需要更完39動態幾何問題概述這類問題是近兩年以來各省市中考題的一個亮點，它出現的位置一般是最后的壓軸題，分值在12分以上，綜合性很強，往往設多問，問題由易而難，難度梯進。是典型的數形結合問題。這類問題往往以幾何圖形的運動為背景，探索在運動過程中，圖形的變化情況。如果在這個變化過程中，確定兩個變量，還要研究這兩個變量在不同情況下的函數變化關系。這類問題所用到的數學知識有：不同幾何圖形的性質，如三角形的全等相似，四邊形中特殊四邊形的性質等；數學思想有：函數思想，分類討論思想等。BACK需要更完整的資源請到新世紀教育網-動態幾何問題概述這類問題是近兩年以來各省市中考題的一個亮點，40例

例如圖1，菱形OABC的邊長為4cm，∠AOC=60°，動點P從O出發，以每秒1cm的速度沿OAB路線運動，點P出發2秒后，動點Q從O出發，在OA上以每秒1cm的速度，在AB上以每秒2cm的速度沿OAB路線運動，過P，Q兩點分別作對角線AC的平行線，設點P運動的時間為x秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形（圖1中陰影部分）的周長為ycm。請你回答下列問題：⑴當x=3時，y的值是多少？⑵就下列各種情況，求y與x之間的函數關系式：

①0≤x≤2②2≤x≤4③4≤x≤6④6≤x≤8⑶在直角坐標系中，用圖象表示⑵中各種情況下y與x的關系③④圖1①②MN需要更完整的資源請到新世紀教育網-例例如41⑴當x=3時②MN陰影部分的周長y==PM+QN+PQ+MNOPOQ22=+++33-2=++2+2=8答：當x=3時，陰影部分的周長y=8。需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑴當x=3時②MN陰影部分的周長y=OPOQ22=42⑵情況①：當0≤x≤2時陰影部分的周長y=C正△OPM=3·OP=3x①M答：當0≤x≤2時，陰影部分的周長y與x的函數關系式為：y=3x需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況①：當0≤x≤2時陰影部分的周長y=C正△OPM43⑵情況②：當2≤x≤4時陰影部分的周長y==PM+QN+PQ+MN②MNOPOQ22=+++xx-2=++2+2=2x+4答：當2≤x≤4時，陰影部分的周長y與x的函數關系式為：y=2x+4需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況②：當2≤x≤4時陰影部分的周長y=②MNOPO44⑵情況③：當4≤x≤6時陰影部分的周長y==PM+QN+PAQ+MCNBPOQ22=+++8-xx-2=++2+2=10答：當4≤x≤6時，陰影部分的周長y=10③MNQ需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況③：當4≤x≤6時陰影部分的周長y=BPOQ2245⑵情況④：當6≤x≤8時陰影部分的周長y==PM+QN+PQ+MNBPBQ2（BQ-BP）=++8-x(16-2x)=++=-5x+40答：當6≤x≤8時，陰影部分的周長y與x的函數關系式為：y=-5x+40④MQN(16-2x)需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑵情況④：當6≤x≤8時陰影部分的周長y=BPBQ2（46動畫①0≤x≤2②0≤x≤2③4≤x≤6④6≤x≤8需要更完整的資源請到新世紀教育網-動畫①0≤x≤2②0≤x≤2③4≤x≤6④6≤x≤47⑶在直角坐標系中，用圖象表示⑵中各種情況下y與x的關系xyy=3x(0≤x≤2)2x+4(2≤x≤4)10(4≤x≤6)-5x+40(6≤x≤8)需要更完整的資源請到新世紀教育網-⑶在直角坐標系中，用圖象表示⑵中各種情況下y與x的關系xyy48本題小結由于在這個圖形運動過程中，賦予了P點運動的一些屬性（如速度，時間，路程），所以出現了兩個變量：P點運動時間為自變量，某圖形的周長為函數。這樣，把圖形運動與函數關系對應起來，在圖形位置不同的情況下，分類討論了不同的函數關系。本題用到的數學知識有：菱形性質，等邊三角形性質，行程問題的數量關系等。本題用到的數學思想有：函數思想，分類討論，數形結合思想。本題的關鍵是：找到圖形運動的臨界點，據此，考慮函數關系。該題是以菱形為背景，描述了一系列的圖形運動：點動線動形動，需要更完整的資源請到新世紀教育網-本題小結由于在這個圖形運動過程中，該題是以菱形為背景，線動形49例2、已知拋物線的頂點坐標為（4，-1），與y軸交于點C（0，3），O為原點。（1）求這條拋物線的解析式；（2）設此拋物線與x軸的交點為A，B（A在B的左邊），問在y軸上是否存在點P，使以O、B、P為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。A(2,0)B(6,0)xyABCOPPP(0,4)(0,-4)P(0,9)(0-9)

今年的中考題中就有一題是在直角坐標系中找點使之構成等腰三角形。需要更完整的資源請到新世紀教育網-例2、已知拋物線50已知如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,P、M、N分別是AD、AB、CD上的點且PM∥BD，PN∥AC，（1）求證：（2）若AC⊥BD，AC=BD=12，設PM=x，△PMN的面積為y，求y與x的函數關系式；（3）在（2）中，當x取什么值時，△PMN面積最大？并指出此時點P在線段AD上的位置。DPABCMNO我思，我進步需要更完整的資源請到新世紀教育網-DPABCMNO我思，我進步需要更完整的資源請到新世紀教51在△ABC中，已知AC=，AB=2，∠A=30°，D是AB上的一個動點，（D與A、B不重合），過D、B、C作⊙O交AC于E。（1）若AD=x，y=，求y與x之間的函數關系式及x的取值范圍（2