一、數(shù)學(xué)期望的定義及性質(zhì)（一）數(shù)學(xué)期望分為離散型和連續(xù)型1、離散型離散型隨機(jī)變量的一切可能的取值Xi與對應(yīng)的概率Pi(=Xi)之積的和稱為該離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（設(shè)級數(shù)絕對收斂），記為E（X）。數(shù)學(xué)期望是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。又稱期望或均值。如果隨機(jī)變量只取得有限個值，稱之為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。它是簡單算術(shù)平均的一種推廣，類似加權(quán)平均。E(X)=X1*P(X1）+X2*P(X2)+……+Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn為這幾個數(shù)據(jù)，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)為這幾個數(shù)據(jù)的概率函數(shù)。在隨機(jī)出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù)中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函數(shù)就理解為數(shù)據(jù)X1,X2,X3，……，Xn出現(xiàn)的頻率f(Xi),則：E(X)=X1*P(X1）+X2*P(X2）+……+Xn*P(Xn)=X1*f1(X1）+X2*f2(X2）+……+Xn*fn(Xn)。2、連續(xù)型連續(xù)型則是：設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f（X），若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)。若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(X)可表示成一個非負(fù)可積函數(shù)f(X)的積分，則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，f(X)稱為X的概率密度函數(shù)（分布密度函數(shù)）。能按一定次序一一列出，其值域?yàn)橐粋€或若干個有限或無限區(qū)間，這樣的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。（二）數(shù)學(xué)期望的常用性質(zhì)1.設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則E（CX）=CE（X）；2.設(shè)X，Y是任意兩個隨機(jī)變量，則有E（X+Y）=E（X）+E（Y）；3.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E（XY）=E（X）E（Y）。對于第一條性質(zhì)，假設(shè)E（X）你的考試成績，C為你們?nèi)嗳藬?shù)，則你們?nèi)嗫偡值钠谕扔谌嗳藬?shù)乘以個人的期望，這很好理解。對于第二條性質(zhì)，E（X）為你的考試成績，E(Y)是小明的考試成績，你和他成績總和的期望當(dāng)然等于你和他的期望值和。對于第三條性質(zhì)，我們一再強(qiáng)調(diào)是獨(dú)立的，也就是相互沒有關(guān)聯(lián)，有關(guān)聯(lián)是肯定是不是不等的。二、數(shù)學(xué)期望在生活中的運(yùn)用（一）經(jīng)濟(jì)決策問題假設(shè)某一超市出售的某種商品，每周的需求量X在10至30范圍內(nèi)等可能取值，該商品的進(jìn)貨量也在10至30范圍內(nèi)等可能取值（每周只進(jìn)一次貨）超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，可從其他超市調(diào)撥，此時超市商品可獲利300元。試計算進(jìn)貨量多少時，超市可獲得最佳利潤？并求出最大利潤的期望值。

分析：由于該商品的需求量（銷售量）X是一個隨機(jī)變量，它在區(qū)間[10,30]上均勻分布，而銷售該商品的利潤值Y也是隨機(jī)變量，它是X的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量的函數(shù)。題中所涉及的最佳利潤只能是利潤的數(shù)學(xué)期望（即平均利潤的最大值）。因此，本問題的解算過程是先確定Y與X的函數(shù)關(guān)系，再求出Y的期望E（Y），最后利用極值法求出E（Y）的極大值點(diǎn)及最大值。

先假設(shè)每周的進(jìn)貨量為a，則

Y==利潤Y的數(shù)學(xué)期望為：

EY=+

=-7.52a2+350a+5250

=-15a+350=0

a=23.33

EY的最大值maxEY=-7.5×+350×+52509333.3元

根據(jù)結(jié)果可知，周最佳進(jìn)貨量為23.33（單位），最大利潤的期望值為9333.3元。在經(jīng)濟(jì)活動中，不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化，供大于求或供不應(yīng)求都不利于獲得最大利潤。但供應(yīng)量和需求量又不是預(yù)先知道的。理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)(概率），用數(shù)學(xué)期望結(jié)合微積分的有關(guān)知識，制定最佳的生產(chǎn)或銷售策略。（二）投資方案問題

假設(shè)某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票;二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢，若經(jīng)濟(jì)形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為8%，可得利息8000元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應(yīng)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

比較兩種投資方案獲利的期望大小：

購買股票的獲利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(萬元）,存入銀行的獲利期望是E(A2)=0.8（萬元），由于E(A1)>E(A2)，所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應(yīng)采用購買股票的方案。在這里，投資方案有兩種，但經(jīng)濟(jì)形勢是一個不確定因素,做出選擇的根據(jù)必須是數(shù)學(xué)期望高的方案。（三）體育比賽問題我國的羽毛球在世界上處于領(lǐng)先水平，技術(shù)風(fēng)格是“快速、兇狠、準(zhǔn)確、靈活”；指導(dǎo)思想是“以我為主，以快為主，以攻為主”。現(xiàn)以羽毛球比賽的安排提出一個問題：假設(shè)馬來西亞隊和中國隊比賽。賽制有兩種，一種是雙方各出3人,三局兩勝制,一種是雙方各出5人，五局三勝制,哪一種賽制對中國隊更有利？下面,我們利用數(shù)學(xué)期望解答這個問題。由于中國隊在這項(xiàng)比賽中的優(yōu)勢，我們不妨設(shè)中國隊中每一位隊員對馬來西亞隊員的勝率都為60%。根據(jù)前面的分析，下面我們只需要比較兩個隊對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望即可。在五局三勝制中，中國隊要取得勝利,獲勝的場數(shù)有3、4、5三種結(jié)果。我們計算三種結(jié)果對應(yīng)的概率。應(yīng)用二項(xiàng)式定理可知，恰好獲勝三場(即其中兩場失利)對應(yīng)的概率：；恰好獲勝四場對應(yīng)的概率為：；五場全部獲勝的概率為：。設(shè)隨機(jī)變量為x為為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù)，則可建立x分布律：X 345P0.34560.25920.07776計算隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望:E(X)=30.3465+40.2592+50.07776=2.4651；在三場兩勝制中，中國隊取得勝利，獲勝的場數(shù)有2、3兩種結(jié)果。對應(yīng)的概率分別為：恰好獲勝兩場(其中有一場失利)對應(yīng)的概率：；三場全部獲勝的概率為：。設(shè)隨機(jī)變量Y為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù),則可建立Y的分布律：Y23P0.4320.216計算隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望:E(Y)=2×0.432+3×0.216=1.512。比較兩個期望值得：E(X)>E(Y)。所以我們可以得出結(jié)論，五局三勝制對中國隊更有利。 （四）抽獎問題假設(shè)某百貨超市現(xiàn)有一批快到期的日用產(chǎn)品急需處理，超市老板設(shè)計了免費(fèi)抽獎活動來處理掉了這些商品。紙箱中裝有大小相同的個球，個分，個分，從中摸出個球，摸出的個球的分?jǐn)?shù)之和即為中獎分?jǐn)?shù)，獲獎如下：一等獎分，空調(diào)一個，價值元；二等獎分，微波爐一個，價值元；三等獎分，沐浴露6瓶，價值元；四等獎分，沐浴露3瓶，價值元；五等獎分，沐浴露1瓶，價值元；六等獎分，洗面奶一瓶，價值元；七等獎分，洗衣粉一袋，價值元；八等獎分，香皂一塊，價值元；九等獎分，牙刷一把，價值元；十等獎分與分為優(yōu)惠獎，只收成本價元，將獲得洗發(fā)露一瓶；解析：表面上看整個活動對顧客都是有利的，一等獎到就等獎都是白得的，只有十等獎才收取一點(diǎn)成本價。但經(jīng)過分析可以知道商家真的就虧損了嗎？顧客就真能從中獲得抽取大獎的機(jī)會嗎？用以上方法分析一下并求得其期望值真相就可大白了。摸出個球的分值只有種情況，用X表示摸獎?wù)攉@得的獎勵金額數(shù)，一等獎等分分，其對應(yīng)事件，的取值為，概率可以類似求出，其概率分布為：X250010001768844P0.0000050.0000050.0005410.0005410.01096X8532P0.0779410.2386930.0779410.010960.582411表明商家在平均每一次的抽獎中將獲得元，而平均每個抽獎?wù)邔⒒ㄔ獊硐硎苓@種免費(fèi)的抽獎。從而可以看出顧客根本沒有占到什么便宜。相反，商家采用這種方法不僅把快要到期的商品處理出去了，而且還為超市大量集聚了人氣，為一舉多得的手法。此百貨超市老板運(yùn)用數(shù)學(xué)期望估計出了他不會虧損而做了這個免費(fèi)抽獎活動，最后一舉多得，從中也看出了數(shù)學(xué)期望這一科學(xué)的方法在經(jīng)濟(jì)決策中的重要性。隨著社會生活的豐富，人們購買彩票，談?wù)摬势敝歇劦臒岢闭谂d起。報紙上不時發(fā)表談?wù)摬势钡奈恼拢袝r也談到摸彩與數(shù)學(xué)的關(guān)系。但眾所紛紜，也說不詳，論也不確。眾所周知，彩票抽獎屬于“獨(dú)立隨機(jī)事件”，彩票預(yù)測違背科學(xué)。但從總體上來說，中獎號碼有服從于某些統(tǒng)計規(guī)律。為了研究彩票中的概率統(tǒng)計問題，我們選取了體育彩票和七樂彩及一些簡單的模擬實(shí)驗(yàn)來幫助我們研究，例如：我們進(jìn)行了模紅白球的實(shí)驗(yàn)，先進(jìn)性簡單的概率計算問題，我們又以體育彩票和七樂彩為輔助實(shí)驗(yàn)并根據(jù)。由此我們計算出體彩的中獎概率如下（以一注為單位）特等獎P0=1/10000000；一等獎P1=1/1000000；二等獎P2=20/1000000；三等獎P3=300/1000000；四等獎P4=4000/1000000；五等獎P5=50000/1000000；P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543211。這就是說每1000注彩票約有54注中獎，經(jīng)過公式計算我們計算出了七樂彩的中獎概率：一等獎：C30~1/2035；二等獎：P1=1/290829；三等獎：P2=1/13219；四等獎：P3=1/4406；五等獎：P4=1/420；六等獎：P5=1/252；七等獎：P6=1/38。一般來說，各類彩票各獎級的中獎幾率總和在4%-5%左右。如果要中獎金數(shù)目大的最高獎，概率一般為幾十萬至幾百萬分之一，難度更為大，是可遇而不可求的。對于購買題材只能是本著對中國體育事業(yè)支持的想法，而不能對回報有過高的期望。彩票的中獎概率與數(shù)學(xué)里的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)有著密切的關(guān)系，通過統(tǒng)計概率，我們可以更好的發(fā)現(xiàn)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)與生活的密切關(guān)系。在彩票市場異常火爆的今天，我們要作一個理性的彩迷，對彩票持有正確的認(rèn)識，買彩票是彩民的一個愛好，一種自愿的活動，理智的彩民不該抱著賭博的心態(tài)，孤注一擲，投入極大的資金，應(yīng)量力而出以平常健康重在參與的心態(tài)買彩票。（六）醫(yī)療問題在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病普查，為此要檢驗(yàn)每個人的血液，如果當(dāng)?shù)赜蠳個人，若逐個檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)N次，現(xiàn)在要問：有沒有辦法減少檢驗(yàn)的工作量？我們先把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)的結(jié)果為陰性，這說明k個人的血液全為陰性，因而這k個人總共只要檢驗(yàn)一次就夠了，檢驗(yàn)的工作量顯然是減少了，但是如果檢驗(yàn)的結(jié)果是陽性，為了明確k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進(jìn)行檢驗(yàn)，這時k個人檢驗(yàn)的總次數(shù)為k+1次，檢驗(yàn)的工作量反而有所增加，顯然，這時k個人需要的檢驗(yàn)次數(shù)可能只要1次，也可能要檢驗(yàn)k+1次，是一個隨機(jī)變量，為了和老方法比較工作量的大小，應(yīng)該求出它的平均值（也是平均檢驗(yàn)次數(shù)）。在接受檢驗(yàn)的人群中，各個人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性，一般都是獨(dú)立的（如果這種病不是傳染病或遺傳吧遺傳病），并且每個人是陽性結(jié)果的概率為p，就是陰性結(jié)果的概率為q=1-p，這時k個人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為，呈陽性結(jié)果的概率則為1－,現(xiàn)在令η為k個人一組混合檢驗(yàn)時每人所需的檢驗(yàn)次數(shù)，由上述討論可知η的分布列為：η1+P1-由此即可求得每個人所需得平均檢驗(yàn)次數(shù)為Eη=.+（1+）（1-）=1-+而按原來得老方法每人應(yīng)該檢驗(yàn)1次，所以當(dāng)1-+＜1，即q＞時，用分組的辦法（k個人一組）就能減少檢驗(yàn)的次數(shù)，如果q是已知的，還可以從Eη=1-+中選取最合適的整數(shù)，使得平均檢驗(yàn)次數(shù)Eη達(dá)到最小值，從而使平均檢驗(yàn)次數(shù)減少。對一些不同的p值，如下表給出了使Eη達(dá)到最小的值：陽性反應(yīng)率陽性反應(yīng)率0.14030.01680.130390.120490.11040.01390.10040.012100.09040.011100.08040.010110.07040.009110.06050.008120.05050.007120.04060.006130.03060.005150.02080.015160.01980.014190.01880.002230.01780.00132我國某醫(yī)療機(jī)構(gòu)在一次普查中，由于采用了上述這種分組的方法，結(jié)果每100個人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為21，減少工作量達(dá)79%。當(dāng)然，減少的工作量的大小與p的數(shù)值由關(guān)，也與每組人數(shù)k有關(guān)。（七）求職決策問題有三家公司為大學(xué)畢業(yè)生甲提供應(yīng)聘機(jī)會，按面試的時間順序，這三家公司分別記為x、y、z，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位。每家公司根據(jù)面試情況決定給求職者何種職位或拒絕提供職位。按規(guī)定，雙方在面試后要立即做出決定提供，接受或拒絕某種職位，且不能毀約。咨詢專家在為甲的綜合素質(zhì)和學(xué)業(yè)成績進(jìn)行評估后，認(rèn)為甲獲得極好、較好和一般的可能性依次為0.2、0.3和0.4。則三家公司的工資承諾如表：公司極好好一般x350030002200y390029502500c400030002500如果甲在選擇時把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時，對該公司提供的各種職位應(yīng)作何種選擇？分析：由于面試從x公司開始，甲在選擇x公司三種職位是必須考慮后面y、z公司提供的工資待遇，同樣在y公司面試后，也必須考慮z公司的待遇。因此我們先從z公司開始討論。由于z公司工資期望值為：（）=40000.2+30000.3+25000.4=2700元再考慮y公司，由于y公司一般職位工資只有2500，低于z公司的平均工資，因此甲在面對y公司時，只接受極好和好兩種職位，否則去z公司。如此決策時加工資的期望值為：（）=39000.2+29500.3+27000.5=3015元最后考慮x公司，x公司只有極好職位工資超過3015，因此甲只接受公司的極好職位。否則去y公司。甲的整體決策應(yīng)是如此：先去x公司應(yīng)聘，若x公司提供極好職位就接受。否則去y公司，若y公司提供極好或好