..課時作業8全稱量詞、存在量詞知識點一全稱命題與特稱命題的判斷1.以下命題中全稱命題的個數是( )①任意一個自然數都是正整數；②有的等差數列也是等比數列；③三角形的內角和是180°.A．0B．1C．2D．3答案C剖析①③是全稱命題，②是特稱命題．2．以下命題為特稱命題的是( )A．偶函數的圖象關于y軸對稱B．正四棱柱都是平行六面體C．不訂交的兩條直線是平行直線D．存在實數大于等于3答案D剖析選項A、B、C均為全稱命題．應選D.3．用量詞符號“?”“?”表述以下命題：(1)凸n邊形的外角和等于2π；(2)2有一個有理數x0滿足x0＝3；(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)?x∈{x|x是凸n邊形}，x的外角和是2π.?x0∈Q，x20＝3.?α∈R，sin2α＋cos2α＝1.知識點二全稱命題與特稱命題的真假判斷4.以下命題中的假命題是()A．?x∈R，lgx＝0B．?x∈R，tanx＝1C．?x∈R，x3>0D．?x∈R,2x>0答案C剖析選項A，lgx＝0?＝1；選項B，tanx＝1?x＝π＋π(∈Z)；選項C，x3>0?x4kkx>0；選項D,2x>0?x∈R.5．四個命題：①?x∈R，2－3＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；xx?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命題的個數為________．答案0剖析①當x＝1時，x2－3x＋2＝0，故①為假命題；②由于x＝±2時，x2＝2，而±2為無理數，故②為假命題；③由于x2＋1>0(∈R)恒成立，故③為假命題；④原不等式可化為xx2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，當x＝1時(x－1)2＝0，故④為假命題.DOC版...知識點三全稱命題與特稱命題的應用6.已知函數f(x)＝x2，()＝1x－，若對?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，使得gx2mf(x)≥g(x)，則實數m的取值范圍是________．121答案m≥4剖析由于x1∈[－1,3]，因此f(x1)∈[0,9]，又由于對?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，使得(1)≥(2)，即?2∈[0,2]，(12－≤0，因此≥12，≥121fxxx2)≤0，即x2x2，即≥.xgg2mmmm4一、選擇題1．以下命題為特稱命題的是( )A．奇函數的圖象關于原點對稱．π－x＝cosxBsin2C．棱錐僅有一個底面D．存在大于等于3的實數x，使x2－2x－3≥0答案D剖析A，B，C中的命題都省略了全稱量詞“所有”，因此A，B，C都是全稱命題；D中的命題含有存在量詞“存在”，因此D是特稱命題，應選D.2．以下命題中，既是真命題又是特稱命題的是( )A．存在一個α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在實數x0，使sinx0＝π2C．對所有α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ答案A剖析只有A，B兩個選項中的命題是特稱命題．由于|sinx|≤1，因此sinx0＝π不行2立，故B中命題為假命題，又由于當α＝45°時，tan(90°－α)＝tanα，故A中命題為真命題．3．以下命題中，是正確的全稱命題的是( )A．對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對角線相等2C．?x0∈R，x0＝x0D．對數函數在定義域上是單調函數答案D剖析A中含有全稱量詞“任意”，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命DOC版...題．B，D在表達上沒有全稱量詞，實際上是指“所有的”，菱形的對角線不用然相等；C是特稱命題，應選D.4．已知a>0，函數f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0滿足關于x的方程2ax＋b＝0，則以下四個命題中假命題的是( )A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．?x∈R，f(x)≥f(x0)C．?x∈R，f(x)≤f(x0)D．?x∈R，f(x)≥f(x0)答案C剖析0b0由題意：x＝－2a為函數f(x)圖象的對稱軸方程，因此f(x)為函數的最小值，即對所有的實數x，都有f(x)≥(x0)，因此?x∈R，( )≤(x0)是錯誤的．ffxf5．以下4個命題：1：?x0∈(0，＋∞)，1x01x0p23p2：?x0∈(0,1)，log1x0>log1x0；231xp3：?x∈(0，＋∞)，2>log1x；24：?x∈0，1，1x<log.p321x3其中的真命題是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案D1x1x1x1x剖析由指數函數y＝2和y＝3的圖象，適合x∈(0，＋∞)時，2>3恒成立，故p1是假命題；由對數函數y＝log1x和y＝log1x的圖象，適合x∈(0,1)時，log1x>log12323x恒成立，故2是真命題；由指數函數y＝1x和對數函數y＝log1x的圖象，適合x∈(0，p221x1x＋∞)時，2>log1x不用然成立，故p3是假命題；在平面直角坐標系中畫出y＝2和y＝211113log1x的圖象，以下列圖，兩函數圖象在第一象限內有交點M，當x＝3時，log13>2，330，11x424故當x∈3時，2<log1x，故p是真命題．綜上，真命題是p，p.3DOC版...二、填空題6．給出以下四個命題：a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；?x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的兩條直線的斜率之積等于－1.其中全稱命題是________．答案①②④剖析①②④是全稱命題，③是特稱命題．7．給出以下命題：①?x∈R，有x4>x2；?α∈R，使得sin3α＝3sinα；③?a∈R，對?x∈R，使得x2＋2x＋a<0；?a∈R，有f(x)＝x2－ax－1的圖象與x軸恒有公共點．其中真命題的序號為________．答案②④剖析①中，當x＝0時，x4＝x2，故為假命題；②中，當α＝kπ(k∈Z)時，sin3α＝3sinα成立，故為真命題；③中，由于函數f(x)＝x2＋2x＋a的圖象張口向上，必然存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故為假命題；④中，對?a∈R，＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4>0，因此f(x)＝x2－ax－1的圖象與x軸恒有公共點，故為真命題．8．已知命題p：?22＋2ax＋2－a＝0.若命題000“p∧q”是真命題，則實數a的取值范圍是________．答案a≤－2或a＝1剖析?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，當x∈[1,2]時恒成立，∴≤1.a2?x0∈R，x0＋2ax0＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實根，2∴＝4a－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.DOC版...a≤1，∴a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1.三、解答題9．指出以下命題中哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假．若a>0，且a≠1，則對任意實數x，ax>0；對任意實數x1，x2，若x1<x2，則tanx1<tanx2；(3)?T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sinx|；2(4)?x0∈R，使x0＋1<0.解(1)是全稱命題．∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命題(1)是真命題．是全稱命題．存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命題(2)是假命題．是特稱命題．y＝|sinx|是周期函數，π就是它的一個周期，∴命題(3)是真命題．是特稱命題．2是假命題．0010．(1)命題p：?x∈R，sinxcos≥.若命題p是真命題，求實數的取值范圍；xmm(2)命題q：?x∈R，sinxcosx≥m.若命題q是真命題，求實數m的取值范圍．解設函數f(x)＝sinxcosx，x∈R，1則f(x)＝sin2x，21因此函數f(x)的值域是－2，2.由于命題p是真命題，即對任意x∈R，sinxcosx≥m恒成