高等數學：（A）第三章 第4節 函數單調性與曲線的凹凸性_第1頁
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文檔簡介

1一、單調性的判別法2一、單調性的判別法定理3證應用拉氏定理,得45例2解注意:(1)函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性．6（2）函數在整個定義域上不一定是單調的，但在不同的區間上具有單調性，且改變單調性的點只可能是的點及導數不存在的點．7

（3）討論函數單調性的步驟：

1）確定函數的定義域；

2）求函數導數為零的點及一階導數不存在的點；

3）這些點將定義域分成若干個小區間，列表討論。（4）區間內個別點導數為零,不影響區間的單調性.例如,8例3.確定函數的單調區間.解:令得故的單調增區間為的單調減區間為9例4解單調區間為10例5證11證明：因此，單調減少,f(x)單調減少也就是1213問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于弦的上方圖形上任意弧段位于弦的下方141.曲線的凹凸與拐點的定義定義1.設函數

在區間上連續,(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形函數圖形上凹凸的分界點稱為拐點

.是凸的.152、曲線凹凸的判定定理116證:利用一階泰勒公式可得兩式相加17例1.判斷曲線的凹凸性.解:當時時故曲線在上是向上凹的.說明(1)在個別二階導數為0的點,若此點兩側二階導數不變號,則不改變曲線的凹凸性.18例2解注意到,19例3.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.20說明（2）判別曲線的凹凸性及拐點的方法步驟：（a）求出；（b）求出使的點及不存在的點；（c）檢查在這些點左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹凸區間及拐點。21例4.求曲線的凹凸區間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)

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