作者：劉坤張亞（2006年“高教”杯賽B題國家一等獎為止還沒有關于這些療法療效的評價和方法，因此合理評價療法及其療在處理問題(1)時，本文首先將D4與IV之間的相互作用與人類類比，利用一階常系數微分方程組建立了模型,即“模型”。基于該模型，給出了接受C4與HV與HV含量的變化趨勢曲線。另外，還建立了基于P神經網絡的模型Ⅲ，對測試期后的D4和HV含量變化進行了三個模型得出的結論均為應該從第8周起建立了模型Ⅳ，即藥效評價模型。將分為25歲以下、25歲至45歲、45歲以上等三個段，得到這些段的最優療法分別是第4種、第3種和第4種。接著，本文用BP神經網絡了這幾種最優療法繼續使用的療效，發現采用第4種療法的第一類應該在第40周停藥，另外兩類可以在一段時間內繼續使用他們的最優療的規劃模型Ⅴ。從中得出在治療期內最佳的治療方案為：第一類和第三類一直使用第4種療法；第二類使用第3種療法31周，使用第四種療法9周。問題(3)要求考慮的經濟承受能力。本文建立了以療效最大和花費最少為目標 模 一、問題經吞噬了近3000萬人的生命。的醫學全名為“獲得性免疫缺損綜合癥英文簡稱AIDS，它是由（醫學全名為“免疫缺損”,英文簡稱HIV）引起的。這種破的免疫少，HIV將迅速增加，導致AIDS發作。治療的目的，是盡量減少內HIV的數量，同時產生的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高免疫能力。AIDSAIDS療法不僅對二、問題的提出與重現在得到了醫療試驗機構ACTG的兩組數據。ACTG320（見附件lamivudin（3種藥物的300多名每隔幾試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數量193A（見附件2）是將1300多名隨機地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8試的CD4濃度（這組數據缺HIV濃度，它的測試成本很高。4種療法的日用藥分別為：600mgzidovudine400mgdidanosine（去羥基苷600400mgdidanosine；600mgzidovudine400mgdidanosine400mgnevirapine（奈韋拉平法繼續治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。(3)藥品的主要供給商對不發達國家提供的藥品價格如下：600mgzidovudine1.60，400mgdidanosine0.85，2.25mgzalcitabine1.85，400mgnevirapine1.20。如果需要考慮4種療法的費用，對（2）中的評價和（或三、基本假2、同 段（問題分析中體 3 5、HIV只CD4細胞，而不再其它細胞9、均積極配合治療四、主要變量符號說為了便于描述問題，用一些符號來代替問題中涉及的一些基本變量，如表1所1tx1t問題1中第t得的CD4含量x2t問題1中第t得的HIVy問題2、3中，第t得的CD4含量Tsk五、問題題目的第一問要求利用附件1的數據該種療法的治療效果。從附件1中我人CD4的含量情況不同，所以必須分段進行處理。而且，應該能夠建立一個六、1建立首先將附件一中的數據利用EXCEL進行處理，將數據匯總之后，將同一周進 HIV(單位不)6測試測試指20

測試時根據圖1，采用了三種方法來對藥效進行：1、用模型解釋變化過程從圖1中可以看出，CD4與HIV基本呈現出一種此消彼長的態勢。就像兩支，在這個戰場上你爭我奪，進行一場大戰。因此，決定用模型[1]來解HIVCD4CD4。反之，當CD4得到有力的增援后，將會成功地抵擋住HIV的進攻，同時對HIV造成極大的消耗。藥物看作是在這場中大大增加CD4增援率與大大降低HIV增用x1(t)與x2(t)來表示交戰雙方t時刻的由于兩軍進行的是短兵相接的正面，認為，其中一方的戰斗減員率只與敵方有關，可以簡單認為與對方軍力成正比。用b表示HIV對CD4的率，于是，CD4的戰斗減員率即為bx2。同理，HIV的戰斗減員率為cx1將CD4和HIV數量增多看作它們得到了增援。這個增援是由自身的等原因引 令CD4和HIV的增援率為ax1和x2。dx1ax 2 2cx 2 1dx11

x22

d[(dx1ax) cx[(dx1ax)

1d2 a

1( 1(c )x1b 1r2ar(ac)

r1,2

aa (a)24(abbb(a)24(abc)(a)24bc (a)2(a)24(a xCer1tCer2tx 令第i次戰役中CD4的濃度為：x1i,(i1,2,3,4,5)HIV濃度為r1r2x1x2的表達式：第一次戰役t[2,

第二次戰役t第三次戰役t[1420]第四次戰役t[2028]

x121.242e826t3.784e0x1241548.1357e0558t0.000294e0x2211.937e02t0.154e0x131.07e0258t0.446e0x2340.738e0144t10.631e0x141514.5e0087t78.64e0第五次戰役t[2837]

0.057e017t0.021e0x154.03e011t2.65e0x2510.8085e00342t0.99179e0根據藥理學，知道對藥物有一個適應的過程，同時由于量變引起質變的原理，知道可能服用一段時間后才能見效果。即服用一段時間后，才對CD4的與此同時，也在慢慢適應藥物。根據物種進化論的知識知道，當生存環境強的存，并將它們的傳給下一代。這樣這一代含抵抗力強的的就大于上一代同樣特征的，依次類推。最后將會出現所有的抵抗力均抗力了。此類藥物對已不起作用了。此后，CD4HIV并不隨之下降，反而逐漸呈上升趨勢。所以，當第5次戰役結束后，即從第38周開始，應該停止用藥，更換其它療法。CD4HIV基本變用ORIGIN對這些數據進行擬合，得到能夠反映CD4和HIV變化趨勢的x11.74150.4041t0.0637t20.0037t38.36105t46.39107x24.49370.3609t0.0382t20.0017t33.07105t41.87107CD4實際值CD4實際值擬合曲線6420 時間

HIV實際值HIV實際值擬合曲線420 時間從圖2中可以更明顯看出，隨著時間的推移，藥物對于CD4的作用已經越來37周左右開始，CD4的個數開始減少；另一方面，在剛開始時藥物確到第37周左右開始，HIV明顯增多。所以，應該從第38周開始停藥。 采用這種方法來進行。而BP網絡在中應用廣泛，它是利用非線性可微分函數近性好，故采用BP網絡來以后六周的CD4和HIV的含量指標。1112132.n圖 BP神經網絡的原理示意網絡的輸入有1個元素，即測試時刻（周網絡的輸出有2個元素，即測得的CD4含量指標和測得的HIV含量指標。這樣輸入層有1個神經元，輸出層也有2個神經元，網絡中間層神經元函數采用S型正切函數tansigS型對數logsigthreshold1，最小值為0，設定網絡的訓練函數為trainlm，它采用Levenberg-Marquardt算法進行網絡模型準備（數據歸一化測得的HIV的含量指標，采用的歸一化函數是：Y=log(x)/5；對于測得的CD4含量指標，采用的歸一化函數是：Y=log(x)/10。試時刻均加1。返回結果時均減1即可。用這種方法第47，48，49，50，51，52周的CD4及HIV的含量指標。6000，0.01,0.1，11時誤差最小（圖4為訓練誤差曲線）測試時刻（周3737七、2建立前面，一般而言，在服用藥物的最初階段，對藥物有一適應過程，藥效不大。但如果是較好的藥物，一開始就出現較好的效果，且由于起初抗藥性并不好，故效用力會保持或增強。服用藥物一段時間后，對藥物已漸漸適應。故效用力增加的趨勢將逐漸緩和，當對藥物的適應性增加到一定程度時，藥的效用力將不會：5在本題中，用CD4的含量指標表示藥物的效用力。當CD4的含量基本以原趨勢減少，認為藥物的效用力為零；當CD4的含量基本保持不變一小段時間后上升或直接上升至最大值，認為藥物的效用力逐漸增加；當CD4的含量達到最大時，CD4的含量直接下降或基本保持不變一小段時間后下在自動控制理論中，一個二階系統輸入單位階躍信號，定義輸出用c(t)表示。輸出在自動控制理論中，動態響應的性能指標中最為重要的兩個指標為峰值時間tp調量p。其中，超調量為：pc(max)c()超調量pc(max)c(0) 前面已經用CD4的含量來標征藥物效力，又根據以上分析，此處認定CD4的含量為輸出c(t)。上式中c(0)為服藥前的CD4的含量，也就是藥效為峰值時間tp零階段時間t0由上文定義知道零階段時間 即：幾乎不能抑制CD4減少的速度，亦不能產生的CD4，的病情在越長的時當t0>20超調量p超調量p越大，根據p的定義公式，可知給藥后CD4含量相對于未服藥的超調量相同時，以tp來衡量藥效。在t0均比較小時，認為tp齡段劃分為325歲，2545歲，45歲以上。將在同一周內進行檢測的數據進行平均化。用對這些值進行擬合人的療效情況，由于篇幅有限，僅列出25歲以下的療效函數及圖像，其余的將在附錄4中列出。25歲以下的療效函數y113.204546.9208101t1.1953101t27.64103t32.07822104t4y1.989011.5439101t3.748102t23.33103t31.12606104t4

2.994963.437102t1.287102t21.35103t35.42247105t46.97045107y412.622231.3131101t1.574102t22.35742105t32.74944105t44.88319107第1種療

第2種療3CD4濃度CD4濃度CD4濃度210

時間第3種療

時間第4種療8 CD4濃度CD4濃CD4濃度CD4濃度 00 00時間時間圖 25歲以下療效情

p1=-p3p4>p3>p2>

p2p4類似的，可以得到對于25歲到45歲的：p1 p3

p2=—p4 p3>p4>p1>p所以得到四種療法按療效從優到差排序為：3，4，1，2p1p3= p4>p3>p1>p

p2=—p4所以得到四種療法按療效從優到差排序為：4，3，1，2題目要求對較優療法進行療效。仍然采BP神經網絡方法，其原理和方法與第一問中采用的BPBP網絡的輸入只有CD4含量指標，與此對應，目標向量也只用CD4含量指標。結果如下：表 25歲以下繼續采用第四種療法的情時間（周CD4含量表 25至45歲繼續采用第三種療法的情時間（周CD4含量表 45歲以上繼續采用第四種療法的情時間（周CD4含量t0y'dty(t)t令ti為第i種療法采用的時間，T為治療期長。這樣，很容易得到下面的規劃 maxYyij(t)yijj

jtis.t:0tit對于題目中的情況，T=40。根據前面得到的模型，知道了yij(t)的表達式，62500025~4500945000相印證，也證明了的模型的正確性。八、3建立均每月花費不高于（kk0）。 maxYyij(t)yijj4minS

jiti0tis.tti為整

T(kk47ts 4i4注意到，YSyCD41 maxfw(yij(t)yij(0))(1j

j ti0tis.t:ti為整

T(kk47ts 4i4以中國的情況為例，尋找最優治療方案。均月收入k為1000元/月[9]，取治療期為40周，考慮一般情況，w取為0.5，即療效與費用同等重視。通過LINGO8.0編程求解，得到最優治療方案如表所示：表 考慮經濟承受能力后的最佳治療方250025~450334500九、用藥量的最優選擇問題（1）～（3）僅僅要求對療法的療效進行評價和，并且在考慮療法費能力，患者在選擇療法時會充分考慮藥物的使用量，所以認為很有必要建立模型，t，共有m種療法，每種療法使用的藥物種類數為xi,i1,,m，共有n個患者，患者對藥物的消耗值為Nj(j ,n)，患者j使用療法i時，實際使用的藥物量為Mij0，應的療法能力系數為Cij0法對同一類患者會產生不同的療效，這里引入有效系數來解釋這種現象。定義療法i患者j中的有效系數ij

j1,

100%i ,xi0時，需求exi1[7]mmaxzi1jx xe1tN

jxMije1ti1,,ms.t.j1,,MijijNjj

MM

在實際求解過程中，只有Mij為未知量，其余變量都可以根據實際情況給出，因此這是包含ijLINGO求解，若無解，則分析找出被破壞的約首先，取第j個患者對療法k中藥物i的實際需求量Mijk為決策變量。共有m法患者總數為n每種療法有q種藥物因此模型中的決策變量總數為mnq個。其次，定義患者j與療法k之間的供需關系矩陣Rkijrk(k1, ,m)。當患者j與療法k之間存在供需關系時rk1，否則rk0 然后，把決策向量記為X，易知，當rk0時，xk0 fXoptf1X,f2X

maxf1xbkckx

k1j1式中，bk、ck分別為療法k中藥物ij i 產生副作用故引入副作用系數；k為療法k中藥物i的服用次序系數ikj使用療法kw為患者選擇療法kjik

1 k

1maxk 式中，k為療法k中藥物i的服用次序 k為療法k中藥物i的服用次序最大值 min

X

k1j1

kdpdp

dik為療法k中藥物ipjkj使用療法k

k1jWik為所有療法中藥物i xkQki

,q;j ,n;k ,

Qik為療法k中藥物ikDjmaxk

k

kk ,m;j , DjmaxkDjminkj在使用療法kB1BB1B2121式中B1為藥物使用量與藥物價格相平衡的模糊子集，隸屬函數 1表示平衡度1

w kk

qxijkx 11B1

j1

Djj

1exp(4(1)21

2mmk2wkkk

k

exp(4( fkfk分別為起始治療時刻和終止治療時刻的第k

xk 巨大，因此該模型具有大系統、非線性等特點，傳統的求解方法受到限制。認為可十、模型的科學性分問題1運用模型分析了CD4和HIV數量之間的變化關系并最佳治療終止時圖7所示：較優療法繼續治以第二問規劃模型為以第二問規劃模型為基礎建立雙目標規劃7本文針對不同問題，使用了各種可靠的科學的建模方法，其間運用了BP神經明求解模型的方法是可靠的，結果是的。1

十一、模型的通過處理數據、分析圖形，巧妙地應用了模型，對CD4與HIV的變化過2姜啟源，數學模型，：高等教育，2004胡壽松，自動控制原理簡明，：科 ，2003謝金星薛毅，優化建模與LINGO/LINDO ，數學建模方法及其應用 ：高等教 ，2005 ，200420042盧萍，江蘇人均月收入1192元 917城市低保標準調高19人每月為146元 .cn/GB/14748/4655185.html，20060801-0123456789療法1：<250890045678907890789023456789023247890467890034567890678906780345678906789Title"Typeyourtitle//Parameters//Function; 25歲以下的療效函數y113.204546.9208101t1.1953101t27.64103t32.07822104t4y1.989011.5439101t3.748102t23.33103t31.12606104t4

2.994963.437102t1.287102t21.35103t35.42247105t46.97045107y412.622231.3131101t1.574102t22.35742105t32.74944105t44.88319107第1種療

第2種療3CD4濃度CD4濃度CD4濃度210

時間第3種療

時間第4種療8 CD4濃度CD4濃CD4濃度CD4濃度 0000時間時間25歲以下療效情y122.92081.0843101t1.841102t21.34103t34.03241105t44.21655107t5y223.681056.254102t5.16103t25.1372104t31.47946105t41.41745107t5y322.766561.8649101t3.21