第十三章軸對稱課題學習§最短路徑（第一課時將軍飲馬）教學設計瀘州七中羅穎教學目標：1.利用軸對稱解決兩點之間最短路徑問題.2.將生活中的實際問題抽象為數學問題.3.體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉化的數學思想。重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間、線段最短”問題。難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。

教學方法：問題引導式教學法、自主探究、小組合作相結合教具準備：三角板、課件教學過程設計：教學環節教學內容及教師活動學生活動設計意圖一導課題引入【情境一】打了勝仗的將士們準備班師回朝，可是人困馬乏，將軍打算先帶馬兒到一條筆直的河邊飲水，稍事休息再回軍營。你能幫將軍找到一條總路程最短的路嗎?這就是我們數學史上久負盛名的“將軍飲馬”問題。（板書：§最短路徑問題——將軍飲馬）欣賞視頻，激發學習動機和興趣.以一個生活中的簡單例子引出課題，既可以吸引學生注意力，激發學習興趣，又降低了課題學習的門檻，讓大多數學生輕松入門.二導模型探究二導模型探究活動一：復習舊知，明確結論為了解決這個問題，我們需要先復習這些知識。一環：課前精準復習回顧1.看圖猜結論：兩點之間，線段最短。>點A、B關于直線成軸對稱，則PA=PB.方法點津：軸對稱,可改變點和線段的位置，但不改變線段的長度.3.如圖，點A、B在直線的異側，點C是直線上的一個動點，當點C在的什么位置時，AC與CB的和最小？兩點之間，線段最短.連接AB，與交點即為點C.這也是最短路徑問題的一種典型模型。（板書）在這個問題中，點A、B在直線異側，我們可以總結為兩定一動一路徑.有了這樣一個模型引領，接下來，我們嘗試解決之前提出的將軍飲馬問題。二環：課中精準釋疑【情境一】打了勝仗的將士們準備班師回朝，可是人困馬乏，將軍打算先帶馬兒到一條筆直的河邊飲水，稍事休息再回軍營。你能幫將軍找到一條總路程最短的路嗎?問題1：解決這個實際問題，第一步做什么？問題2：如何抽象出數學問題？一般地,A、B兩地可以抽象成A、B兩點,“河流”可以抽象成“直線l”（板書：抽象）問題3：題目已知什么？要求什么？請用自己的語言描述。【問題】如圖，點A,B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？

這就是我們數學建模的過程（板書：建模）問題4：我們能否類比模型一，解決“將軍飲馬”模型呢？（板書：類比）課前完成導學案（一環：課前精準復習）3個習題自我評價、訂正兩點之間，線段最短。連接AB與l的交點即為C點學生稍作思考回答：將實際問題轉化成數學問題。學生眾說紛紜把A地和軍營抽象成A、B兩點,河邊抽象成“直線l”在直線l上找一點C，使得CA＋CB最小。課前精準前置學習，利用舊知解決新知。學生們暢所欲言,激發他們的語言表述,并有意識地規范他們的幾何表達.二導模型探究二導模型探究活動二：類比猜想，啟迪新知問題5：同學們請觀察，模型一與模型二的區別和相同點分別是什么?師：兩個問題的相同之處在于求作點C使得AC與CB的和最小？問題6：如何轉化為已解決的模型一？異側問題,只需連接AB，與l的交點即為點C.當點A，B在l同側時,我們想類比模型一來解決，那如何轉化才是關鍵。問題7：什么方法可以在不改變線段長度的前提下改變其位置呢？那就是我們本章的精髓——軸對稱.（板書）問題8：你能利用軸對稱的有關知識，找到符合條件的A'點嗎？接下來，請小組合作學習，在直線上找到點C,并畫出最短路徑；學生小組活動一:（5分鐘）獨立思考，再小組討論、合作學習，通過作圖嘗試解決問題.（明確小組合作學習要求）1.確定小組發言人，起立討論；2.在左圖直線上找到點C,并畫出最短路徑；3.討論完成請坐下。那還有其他作法嗎？那我們作點B關于直線l的對稱點B′，再連接B′A可以嗎？當然是可以的，這樣作出來的點C仍然在這個位置。教師投屏典型錯例，這些畫法是否為最短路徑呢？我們可以通過幾何畫板來直觀感受線段長度的變化.幾何畫板雖然是一種科學的實驗驗證方式，但它仍達不到幾何證明的精準，所以我們還得通過幾何證明去驗證猜想。證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，C′B，C′A′請1分鐘時間完成導學案上的證明填空。由軸對稱的性質知，CA=CA′，C′A=C′A′∴CA+CB=CA′+CB=A′BC′A+C′B=C′A′+C′B在△A′BC′中，A′B＜BC′+A′C′∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．問題9：我們在證明時為什么要另選一點C′呢?由于C′點是任意選取的,都有AC+BC＜AC′+BC′,從而說明C為距離之和最小的點.我們證明過程的核心，就是通過軸對稱變換，把幾條線段轉化到了同一個三角形中。學生對比發現：模型一,A，B在直線l的異側模型二,A，B在直線l的同側通過思考,討論，作出圖形，并讓學生代表表達自己的想法,到黑板上作圖。作A關于l的對稱點A',原來的同側兩點A、B就轉化為異側兩點A'、B。然后按照問題1的解決方法，再連接A'B與l形成的交點C即為所求。學生嘗試給出證明過程.完成導學案老師引導從模型一入手,找出異同,并思考如何把模型二轉化為模型一.問題引導式教學將學生的思維引導到需要的位置，幫助學生捋清頭緒，形成思維的模式.通過問導式和啟發式教學,學生的模型意識逐漸建立,規范的幾何語言逐漸使用.學生通過類比問題一的解決過程,開始自主探究,小組合作。通過幾何畫板直觀感受數量的大小關系,并且對結論的證明有著提示作用,符合學生的最近發展區.讓學生們熟練這種證明方式,它將在高中的學習中尤為重要.突出C′的任意性,強調思維的嚴密.二導模型探究活動三：觀察發現，歸納總結將軍飲馬問題的作法分兩步:（1）作任意已知點關于直線l的對稱點；（2）連接對稱點與另一個點，其連線段與直線l的交點即為所求．關注三個重點：問題10：這種作法的理論依據是什么？問題11：這種作法是通過什么實現的？問題12：這種作法的核心思想是什么？我們這種作法的理論依據是兩點之間線段最短，通過軸對稱，把不在同一直線上的兩條線段，轉化到同一直線上，達到“化折為直”的目的.同學們能用簡潔的語言來概括這個數學問題的中心思想嗎?還有補充嗎？飲馬問題通過軸對稱，解決了和最小的問題，可以用6個字歸納飲馬問題的核心:“和最小，對稱找”（板書）兩點之間線段最短軸對稱轉化生自由發言、補充.讓學生們體會“軸對稱”變換在解決最短路徑中所起到的橋梁作用,感悟轉化的數學思想.三導模型應用活動四：模型應用，拓展強化通過我們的共同努力，終于幫將軍找到了這條馬兒先飲水再回軍營的最短路徑。【情景二】戰爭結束了，將軍終于可以休息幾天。這天將軍從家里出發，先牽馬到草地吃草，再到河邊飲水,最后迎著晚霞散步回家。請問，怎么走才能使得路程最短?問題13：首先將實際問題抽象成什么？問題14：如何抽象成數學問題？問題15：題目已知什么？要求什么？【問題】如圖，在∠AOB的邊OA，OB上分別找一點C，D使得PC+CD+PD最小．問題16：類比想想之前解決的問題，我們是怎樣“化折為直”的呢？軸對稱。“和最小，對稱找.”問題17：有兩條路徑，需作幾個對稱點？學生小組活動二:（5分鐘）出示小組探究活動要求,小組討論交流,如何找出C，D點,展示小組作品.最后由學生代表作出圖形.選擇具有代表性的圖,哪幅圖才是正確的最短路徑呢?歸納作法：（所以對于這個一定兩動兩路徑模型，我們只需分別作......）1.過點P分別作關于OA，OB的對稱點P’，P"2.連接P’P"并與OA，OB分別交于點C、D，此時PC+CD+PD最小，則點C、D即為所求。（理論證明留給同學們課后完成）生:首先將實際問題轉化成數學問題。把家抽象成一個點P,把草地、河邊抽象成直線OA,OB，題目可轉化為在∠AOB的邊OA，OB上分別找一點C，D使得PC+CD+PD最小．軸對稱兩個生:本題要解決PC+CD+PD三條線段之和最小,只有將這三條不共線的線段轉化為共線以后,才能利用兩點之間線段最短來解決．那么,什么方法可以不改變路徑和只改變位置呢?因此本題需要做P點的對稱點了.

對剛剛建立的數學模型飲馬問題進行變式和拓展,讓學生們解決生活中的實際問題,切實感受到學以致用.培養學生類比猜想,高度概括的能力.給與學生充分的思考時間,鼓勵通過作圖,表達意見,擦出思維的火花,從感性的猜想逐步過渡到理性的驗證中.通過對比引起學生的認知沖突，激烈的爭論,大膽的猜想，細心的求證,通過交流尋求解決問題的方法.課堂測評活動六：自我反思，精準檢測八年級5班同學做游戲，在活動區域邊OP放了一些球(如圖)，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，才能最快到達目的地A呢？請你幫小明設計游戲路線.2.如圖，點P關于OA、OB的對稱點分別為C、D,連接CD,CD＝18,M、N分別為OA、OB邊上的動點，則△PMN的周長最小值為________.3.【情景三】這天，將軍迎著朝陽散步，他牽著馬兒先到河邊喝水，再到草地吃草，然后再到軍營去處理公務，怎么走才能使得路程最短呢？【問題】如圖，在∠AOB的邊OA,OB上分別找一點M，N，使得CM+MN+ND最小．通過微課小視頻來學習，課后完成在導學案上。課堂3分鐘，讓學生們利用所學獨立當堂檢測。1題是不同的生活背景下的實際運用，能增強學生們的應變能力，加深理解.2題是考察學生能否將結論運用在解題中，學以致用.3題作為飲馬模型的拓展延伸，訓練發散思維，讓學生得到長遠的發展。四導小結提升四導小結提升活動五：精準總結，提高認識1.本節課研究了平面圖形最短路徑的幾種經典模型：（一）兩定一動一路徑：AB異側直接連，AB同側找對稱，轉化異側再解決.（1）AB異側（2）AB同側一定兩動兩路徑：則需兩個對稱點，借助軸對稱來轉化.（三）兩定兩動兩路徑:留給同學們課后完成.2.解決模型問題的步驟：一找二作三連四算，始終體現轉化思想.利用軸對稱轉化為兩點之間線段最短來解決,那么,平移變換又能否解決呢?我們將在下一節課揭曉答案.學生們及時回顧本節課的知識,并高度總結概括.引導學生們慢慢沉淀,積累，最后對于課題研究的基本過程也相應小結,為學生們種下建模的種子.課后作業三環：課后精準作業【分層課后作業】（必做題）解決“兩定兩動兩路徑”模型的作圖.（選做題）(1)如圖1所示，在直線的同側有兩點A、B,在直線上找一點P，使得最大；(2)如圖2所示，在直線的異側有兩點A、B,在直線上找一點P，使得最大.學生課后完成分層作業,分類要求,讓不同層次的學生都得到不同的發展.板書設計最短路徑問題——將軍飲馬軸對稱軸對稱“化折為直”類比“化折為直”轉化和最小，對稱找抽象和最小，對稱找建模教學反思：1.關于設計定位的反思“課題學習”作為初中數學四大領域之一，是新課程標準的一大特色，它是一種新型的“綜合實踐”活動,強調的是以“課題”研究為標志的研究性學習方式。在平面幾何中,往往借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究。本課設計旨在讓學生理解軸對稱在解決線段最值中的“橋梁”作用。并讓學生們意識到任何復雜的圖形實質都是由各種基本圖形組合而成的,所以構建模型思想,樹立建模意識,幫助學生利用知識解決實際問題,充分感悟生活中處處有數學。在教學過程設計中,始終堅持兩條教學路線，一條是“以學生的發展為本”的教育理念,給學生構建動手實踐、自主探究、合作交流的舞臺的“明線”,一條是注重數學思想方法的滲透，培養學生學習、研究、解決問題的通法的“暗線”。充分鼓勵和贊揚學生敢于嘗試、敢于創造的精神。2.關于教學難點的突破本節課的難點是將實際問題轉化成數學問題,再將數學問題固化成數學模型,所以，用學生們熟知的異側問題過渡到同側問題，減少知識的唐突。證明中另選一點的方法也是不易想到，于是借助幾何畫板的動點演示，讓抽象變成具體。總而言之，知識的掌握程度容易