2021年河北省衡水市圈頭中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若變量滿足條件，則的最小值為A. B.0 C. D.參考答案：A2.定義函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D由得，故函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)和函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由可得，函數(shù)是以區(qū)間為一段，其圖象為在水平方向上伸長為原來的2倍，同時(shí)在豎方向上縮短為原來的．從而先作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，再依次作出在上的圖象（如圖）．然后再作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得兩圖象的交點(diǎn)在函數(shù)的極大值的位置，由此可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為，故所有零點(diǎn)之和為．故選D．

3.各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱的高是2，體積是16，則這個(gè)球的表面積是（）A．16π B．20π C．24π D．32π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】先求出正四棱柱的底面邊長，再求其對角線的長，就是外接球的直徑，然后求出球的表面積．【解答】解：各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為2，體積為16，它的底面邊長是：2，所以它的體對角線的長是：2，球的直徑是：2，所以這個(gè)球的表面積是：4π（）2=20π故選：B．【點(diǎn)評】本題考查正四棱柱的外接球的表面積．考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題4.某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的各棱中，最長棱的長度為A．

B．

C.2

D．1參考答案：A5.當(dāng)時(shí)，則下列大小關(guān)系正確的是

（

） A.

B.

C.D.參考答案：C略6.已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．2

C．

D．3參考答案：B雙曲線的一條漸近線方程為，即，因?yàn)闈u近線與圓相切，所以，即，所以e=2。【答案】【解析】略7.已知在R上是奇函數(shù)，且

(

)

A.

B.2

C.

D.98參考答案：A8.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．2 B．3 C．5 D．5參考答案：D考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是正三棱柱與一球體的組合體，結(jié)合數(shù)據(jù)求出它的體積．解答：解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底部為正三棱柱，上部為一球體的組合體；且正三棱柱的底面三角形的邊長為2，高為5，球的半徑為×=；∴該組合體的體積為V=V三棱柱+V球=×2××5+π×=5+π．故選：D．點(diǎn)評：本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題目．9.已知三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為則的大小關(guān)系為A．

B．

C．

D．參考答案：C10.如果右邊程序框圖的輸出結(jié)果是6，那么在判斷框中①表示的“條件”應(yīng)該是

A．i≥3

B．i≥4

C．i≥5

D．i≥6參考答案：D第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，；第五次循環(huán)，；此時(shí)滿足條件輸出，所以條件應(yīng)為，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為______．參考答案：20π【分析】將三視圖還原利用體積公式求解即可【詳解】由三視圖還原為如圖幾何體：一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐可得，.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查圓柱和圓錐的體積公式，熟記公式準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12.一個(gè)球的球心到過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面的距離等于球半徑的一半，若AB=BC=CA=3，則球的半徑是

,球的體積為

.參考答案：答案：2,13.設(shè)，變量在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則________.參考答案：作出可行域如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，解之得或（舍去），所以.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.14.已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長都等于1，則三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積

．參考答案：考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：求出三棱錐P﹣ABC的高為=，利用三棱錐P﹣ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑的比為3：1，可得三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的半徑，即可求出三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積．解答： 解：∵三棱錐P﹣ABC的所有棱長都等于1，∴底面外接圓的半徑為，∴三棱錐P﹣ABC的高為=，∵三棱錐P﹣ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑的比為3：1，∴三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的半徑為，∴三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積為4π×=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵．15.計(jì)算：

參考答案：略16.已知四面體ABCD的頂點(diǎn)都在球O球面上，且球心O在BC上，平面ADC平面

BDC,AD=AC=BD，DAC=90,若四面體ABCD的體積為，則球O的體積為________.參考答案：17.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)，有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

．參考答案：因?yàn)榍沂瞧婧瘮?shù)，所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，令，，則，由，得，，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)，的大致圖象如圖所示，因?yàn)橛袀€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得；②當(dāng)時(shí)，，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)，的大致圖象如圖所示，因?yàn)橛袀€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得，綜上，的取值范圍是．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟1.已知，，求曲線在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程．參考答案：本題考查矩陣的乘法，MN==，………………4分設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣MN對應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)，則有

于是，.

……8分代入得，所以曲線在MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為．

……………10分【解析】19.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1（a＞b＞0），焦距為2，長軸長為4．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個(gè)定值；（2）求|AB|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）首先根據(jù)條件求出橢圓的方程，（Ⅱ）（1）用分類討論的方法先設(shè)直線的特殊形式，再設(shè)一般式，建立直線和橢圓的方程組，再利用韋達(dá)定理的應(yīng)用求出關(guān)系量，（2）用三角形的面積相等，則利用點(diǎn)到直線的距離求出定值，最后利用不等式求出最小值．【解答】解：（Ⅰ），所以：則：b2=a2﹣c2=1所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：解：（Ⅱ）（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：y=x將y=x代入，解得所以點(diǎn)O到直線AB的距離為，②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓聯(lián)立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0則：，因?yàn)镺A⊥OB，所以：x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0即所以：，整理得：5m2=4（1+k2），所以點(diǎn)O到直線AB的距離=綜上可知點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．解：（2）在Rt△AOB中，利用三角形面積相等，利用點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則：d?|AB|=|OA|?|OB|又因?yàn)?|OA|?|OB|≤|OA|2+|OB|2=|AB|2，所以|AB|2≥2d?|AB|所以|AB|≥，當(dāng)|OA|=|OB|時(shí)取等號，即|AB|的最小值是【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線和曲線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，韋達(dá)定理的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用．屬于中檔題型．20. (本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn=2X4n一2，n∈N*.(I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an(II）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=log2an，求的表達(dá)式(用含n的代數(shù)式表示)參考答案：略21.已知橢圓的左焦點(diǎn)是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為

（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線軸時(shí)，求的值；

（2）求的值。參考答案：Ⅰ）解：由題意橢圓的離心率，，所以，故橢圓方程為，

┄┄┄┄┄┄3分則直線，，

故或，

當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，，

所以，

當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，同理可求得，

綜上，為所求．

┄┄┄┄┄┄6分

(Ⅱ)解：因?yàn)椋裕?/p>

橢圓方程為,,直線，設(shè)，

由消得，，

所以┄┄┄┄┄┄8分

故

①

由，及，┄┄10分得，將①代入上式得