空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系建議用時：45分鐘一、選擇題1．下列命題中，真命題的個數(shù)為()①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A．1B．2C．3D．4B[根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2.]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．垂直A[由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，則A1B與EF相交．]3．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥cC[對于A，B，D，a與c可能相交、平行或異面，因此A，B，D不正確，根據(jù)異面直線所成角的定義知C正確．]4．在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH相交于點P，那么()A．點P必在直線AC上B．點P必在直線BD上C．點P必在平面DBC內(nèi)D．點P必在平面ABC外A[如圖，因為EF?平面ABC，而GH?平面ADC，且EF和GH相交于點P，所以點P在兩平面的交線上，因為AC是兩平面的交線，所以點P必在直線AC上．]5．如圖所示，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)D[連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，則A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).]二、填空題6．已知AE是長方體ABCD-EFGH的一條棱，則在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱共有條．

4[作出長方體ABCD-EFGH.在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4條．]7．已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成角的度數(shù)為．30°[如圖，設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線．由此可得GF∥AB，且GF＝eq\f(1,2)AB＝1，GE∥CD，且GE＝eq\f(1,2)CD＝2，∴∠FEG或其補角即為EF與CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝eq\f(GF,GE)＝eq\f(1,2)，可得∠GEF＝30°，∴EF與CD所成角的度數(shù)為30°.]8．如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是．②③④[如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN垂直，故②③④正確．]三、解答題9．已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)三直線FH，EG，AC共點．[證明](1)連接EF，GH，因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD.又因為CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)易知FH與直線AC不平行，但共面，所以設(shè)FH∩AC＝M，所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又因為平面EFHG∩平面ABC＝EG，所以M∈EG，所以FH，EG，AC共點．10．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成角的大小為()A．30° B．60°C．75° D．90°D[將正三棱柱ABC-A1B1C1補為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補角．設(shè)BB1＝eq\r(2)，則BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2eq\r(3)，又因為BC1＝C1D＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝90°.]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱CC1，A1D1的中點，則異面直線A1B與MN所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°A[如圖，取C1D1的中點P，連接PM，PN，CD1.因為M為棱CC1的中點，P為C1D1的中點，所以PM∥CD1，所以PM∥A1B，則∠PMN是異面直線A1B與MN所成角的平面角．設(shè)AB＝2，在△PMN中，PM＝PN＝eq\r(2)，MN＝eq\r(6)，則cos∠PMN＝eq\f(2＋6－2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，即∠PMN＝30°.故選A.]3.如圖所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點M，RQ與DB的延長線交于點N，RP與DC的延長線交于點K.給出以下命題：①直線MN?平面PQR；②點K在直線MN上；③M，N，K，A四點共面．其中正確結(jié)論的序號為．①②③[由題意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，從而點M，N，K∈平面PQR.所以直線MN?平面PQR，故①正確．同理可得點M，N，K∈平面BCD.從而點M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點K在直線MN上，故②正確．因為A?直線MN，從而點M，N，K，A四點共面，故③正確．]4．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．(1)求四棱錐O-ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．[解](1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA中點，∴ME∥OC，則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，∵(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(5))2，即DE2＋EM2＝MD2，∴△DEM為直角三角形，且∠DEM＝90°，∴tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).∴異面直線OC與MD所成角的正切值為eq\f(\r(6),3).5．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCeq\f(1,2)AD，BEeq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？[解](1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GHeq\f(1,2)AD.又BCeq\f(1,2)AD，故GHBC.所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點共面．理由如下：由BEeq\f(1,2)FA，G是FA的中點知，BEGF，所以EFBG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面．又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面．1．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)A[根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角．設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).]2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)C[如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體EFBA-E1F1B1A1.連接B1F，由長方體性質(zhì)可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F