4.5.2用二分法求方程的近似解新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習課程標準(1)通過具體實例理解二分法的概念及其使用條件．(2)了解二分法求解方程近似解的步驟．(3)進一步加深對函數零點存在定理的理解．教

材

要

點要點用二分法求方程的近似解1．二分法對于在區間[a，b]上_____________________的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間__________，使區間的兩個端點逐步逼近________，進而得到零點近似值的方法叫做二分法?.圖象連續不斷且f(a)f(b)＜0一分為二零點2．給定精確度ε，用二分法求函數y＝f(x)零點x0的近似值的一般步驟第一步：確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f(a)f(b)＜0.第二步：求區間(a，b)的中點c.第三步：計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間．(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點；(2)若f(a)f(c)＜0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(3)若f(c)f(b)＜0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.第四步：判斷是否達到精確度ε，即若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)，否則重復第二步至第四步．助

學

批

注批注?二分法就是通過不斷地將所選區間[a，b]一分為二，逐步地逼近零點的方法，即找到零點附近足夠小的區間，根據所要求的精確度，用此區間內的某個數值近似地表示真正的零點．基

礎

自

測1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)用二分法可求所有函數零點的近似值．(

)(2)用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位．(

)(3)二分法無規律可循．(

)(4)只有在求函數的零點時才用二分法．(

)×√××2．用二分法求如圖所示的函數f(x)的零點時，不可能求出的零點是(

)A．x1

B．x2C．x3

D．x4答案：C解析：由二分法的思想可知，零點x1，x2，x4左右兩側的函數值符號相反，即存在區間(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)時均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求該零點．3．用二分法求函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區間是(

)A．[－2，1]

B．[－1，0]C．[0，1]

D．[1，2]答案：A解析：二分法求變號零點時所取初始區間[a，b]，應滿足使f(a)·f(b)<0.由于本題中函數f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3，f(1)＝6，顯然滿足f(－2)·f(1)<0，故函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區間是[－2，1].4．用二分法研究函數f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經計算f(0)<0，f(1)>0，可得其中一個零點x0∈(0，1)，那么經過下一次計算可得x0∈________(填區間)．

題型探究·課堂解透題型1二分法的概念例1下列選項中不能用二分法求圖中函數零點近似值的是(

)答案：B解析：由圖象可知B中零點是不變號零點，其他圖象中零點都是變號零點，故B不能用二分法求零點近似值．方法歸納判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據函數圖象在零點附近是連續不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適合，對函數的不變號零點不適合．鞏固訓練1

已知函數f(x)的圖象如圖所示，其中零點的個數與可以用二分法求解的個數分別為(

)A．4，4

B．3，4C．5，4

D．4，3答案：D解析：圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數為4；左右函數值異號的零點有3個，所以用二分法求解的個數為3.題型2用二分法求函數零點的近似值例2

(1)已知函數f(x)＝x－e－x的部分函數值如下表所示那么函數f(x)的一個零點的近似值(精確度為0.01)為(

)A．0.55

B．0.57C．0.65

D．0.7x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321－0.10650.27760.0897－0.007答案：B

(2)用“二分法”求函數y＝f(x)零點的近似值時，若第一次所取的區間是[0，m]，則第三次所取的區間可能是________________________________________．(只需寫出滿足條件的一個區間即可)

方法歸納用二分法求函數零點近似值的關注點鞏固訓練2

(1)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)內的近似解的過程中，構造函數f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，則該方程的根所在的區間是(

)A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75)

D．(1.75，2)答案：B解析：由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，又函數f(x)的圖象是連續不斷的，根據零點存在性定理可知，函數f(x)的一個零點x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的區間是(1.25，1.5)(2)若函數f(x)＝x3－x－1在區間[1，1.5]內的一個零點的近似值用二分法逐次計算列表如下：那么方程x3－x－1＝0的一個近似解為x＝________(精確到0.1)．f(1)<0